Практическая работа №12

Регрессионный анализ

Основные понятия и формулы
Форма связи
линейная положительная	линейная отрицательная		отсутствует			нелинейная
Метод наименьших квадратов (МНК)
Регрессионный анализ
линейная регрессия		нелинейная регрессия		–факторы - коэффициенты множественная регрессия
Основные умения и навыки: выдвигать предположения о виде зависимости исследуемых параметров; предполагать форму модели (уравнения) регрессии; оценивать параметры регрессионной модели; делать выводы о соответствии принятой модели экспериментальным данным; использовать Exel для проведения регрессионного анализа.

Уравнение регрессии

Основная цель регрессионного анализасостоит в определении связи между некоторой характеристикойYнаблюдаемого явления или объекта и величинамих₁, х₂, …, х_n, которые обусловливают, объясняют измененияY. ПеременнаяYназываетсязависимой переменной(откликом), влияющие переменныех₁, х₂, …, х_nназываютсяфакторами(регрессорами). Установление формы зависимости, подбор модели (уравнения) регрессии и оценка ее параметров являются задачами регрессионного анализа.

В регрессионном анализе изучаются модели вида Y = φ(X) + ε, гдеY - результирующий признак (отклик, случайная зависимая переменная);X– фактор (неслучайная независимая переменная);ε– случайная переменная, характеризующая отклонение фактора Х от линии регрессии (остаточная переменная).Уравнение регрессиизаписывается в виде:y_x = φ(x, b₀, b₁, …, b_p), где х – значения величины Х; y_x = M_х(Y);b₀, b₁, …, b_p– параметры функции регрессииφ. Таким образом, задача регрессионного анализа состоит в определении функции и ее параметров и последующего статистического исследования уравнения.

В зависимости от типа выбранного уравнения различают линейнуюинелинейнуюрегрессию (в последнем случае возможно дальнейшее уточнение: квадратичная, экспоненциальная, логарифмическая и т.д.). В зависимости от числа взаимосвязанных признаков различаютпарнуюимножественнуюрегрессию. Если исследуется связь между двумя признаками (результативным и факторным), то регрессия называется парной, если между тремя и более признаками – множественной (многофакторной) регрессией.

На первом этапе регрессионного анализа данные наблюдений или эксперимента представляют графически.

	Зависимость между переменными ХиYизображают точками на координатной плоскости (х, y) и соединяют их ломаной линией. Этот ломаный график называетсяэмпирической линией регрессии Y по Х.По виду эмпирической линии регрессии делают предположение о виде (форме) зависимости переменнойYотХ. В данном случае логично предположить линейную зависимость.
Рис. 1.

Если вид функции φв уравнении регрессии выбран, то для оценки неизвестных параметровb₀, b₁, …, b_pиспользуетсяметод наименьших квадратов(МНК). Согласно методу неизвестные параметры функции выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных (эмпирических) значенийy_iот их расчетных (теоретических) значений была минимальной, т.е.

где – значение, вычисленное по уравнению регрессии;– отклонение (ошибка, остаток);n– количество пар исходных данных.