Теория верятностей и математическая статистика
Общее вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятности.
Условная вероятность. Независимость. Независимость в совокупности.
Случайные величины. Закон распределения и функция распределения случайной величины. Виды случайных величин. Примеры.
Независимость случайных величин. Критерии независимости непрерывных и дискретных случайных величин. Формула композиции (свертки).
Математическое ожидание случайной величины. Свойства. Мультипликативное свойство. Формулы вычисления математического ожидания.
Характеристические функций. Свойства. Метод характеристических функции.
Центральные предельные теоремы для последовательностей независимых случайных величин и их следствия.
Выборки. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Теоремы Гливенко и Колмогорова.
Точечные оценки и их классификация (несмещенность, состоятельность и эффективность). Примеры.
Метод максимального правдоподобия. Метод моментов. Примеры
Дифференциальные уравнения
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения первого порядка разрешенной относительно производной.
Структура общего решения линейного дифференциального уравнения
-го
порядка.Структура общего решения линейных дифференциальных систем.
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами.
Построения решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений высшего порядка методом Лагранжа.
Построения решений линейных неоднородных дифференциальных систем методом Лагранжа.
Построение фундаментальной системы решений для системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Случай различных корней характеристического уравнения.
Вронскиан системы решений и формула Остроградского-Лиувилля для линейного дифференциального уравнения
-го
порядка.Вронскиан и формула Остроградского-Лиувилля для линейной системы дифференциальных уравнений.
Уравнения математической физики
Классификация дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка и их приведение к каноническому виду.
Задача Коши для однородного и неоднородного волнового уравнения. Принцип Дюамеля.
Решение краевой задачи для волнового уравнения методом Фурье (МРП).
Задача Коши для однородного и неоднородного уравнения теплопроводности.
Принцип экстремума для уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа, его приложения.
Решение смешанной задачи для неоднородного уравнения теплопроводности методом Фурье.
Свойства гармонических функций.
Постановка краевых задач для уравнения Лапласа и теоремы единственности.
Метод функций Грина для уравнения Лапласа.
Формула Пуассона для шара и круга.
Методы оптимизации
Критерии выпуклости гладких функций.
Функция Лагранжа. Седловая точка. Основная теорема.
Алгоритм решения задачи нелинейного программирования.
Теория двойственности.
Симплекс-метод. Решение задачи линейного программирования.
Уравнение Эйлера-Пуассона.
Вариационное исчисление. Простейшая задача. Сильный минимум. Слабый минимум. Приращение функционала.
Необходимые условия слабого минимума. Лемма Лагранжа. Первый вывод уравнения Эйлера.
Изопериметрическая задача. Условный экстремум.