Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

прогноз имеет вид xp (z) = 0 при среднем квадрате ошибки прогноза равном

= 2.В то же время прогноз по нелинейной формуле xp (z) = z2 − 1

будет безошибочным(средний квадрат ошибки прогноза равен

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

5.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 7439 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

382 Глава11.Основные понятия в анализе временных рядов

В общем случае оптимальный линейный прогноз(11.19)не совпадает с условным математическим ожиданием E (x|z).Другими словами,он не является оптимальным среди всех возможных прогнозов.Пусть,например, z имеет стандартное нормальное распределение: z N (0, 1), а x связан с z формулой x = z2 − 1. Тогда,поскольку x и z некоррелированы,то α = 0,и оптимальный линейный

В частном случае,когда совместное распределение x и z является многомерным нормальным распределением:

x	N	0
z		0n

,	σx2	Mxz	,
	Mzx	Mzz

оптимальный линейный прогноз является просто оптимальным.Это связано с тем, что по свойствам многомерного нормального распределения(см.Приложение

A.3.2)условное распределение	x относительно z будет иметь следующий вид:
x\|z N (z!Mzz−1Mzx, σx2 − Mxz Mzz−1Mzx).
Таким образом, E (x z) = z!M −1M		zx	,что совпадает с формулой оптимального
\|	zz

линейного прогноза(11.19).

11.10.3.Линейное прогнозирование стационарного временного ряда

Пусть xt Ñслабо стационарный процесс с н улевым математическим ожиданием.Рассмотрим проблему построения оп тимального линейного прогноза этого процесса,если в момент t известны значения ряда,начиная с момента 1,т.е.толькоконечный ряд x = (x1, . . . , xt ).Предположим,что делается прогноз на τ шагов вперед,т.е.прогноз величины xt+τ .Для получения оптимального линейного(по x)прогноза можно воспользоваться формулой(11.19).В случае стационарного временного ряда ее можно переписать в виде:

xt (τ ) = x!"t−1γt,τ ,

(11.21)

11.10Оптимальное в среднеквадратическом смысле прогнозирование 383

где

		γ0	γ1	ááá		γt−1
"t =		γ1	γ0	ááá		γt 2
"t =			.	ááá		−
	.		.	.		.
	..		..		.. ..


		γt 1	γt 2			γ0
		γt 1	γt 2			γ0
		−	−
				ááá

Ñавтоковариационная матрица ряда (x1, . . . , xt ),а вектор γt,τ составлен из ковариаций xt+τ с (x1, . . . , xt ),т.е.

γt,τ = (γt+τ −1, . . . ,γ τ )! .

Можно заметить,что автоковариации здесь нужно знать только с точностью до множителя.Например,их можно з аменить автокорреляциями.

Рассмотрим теперь прогнозирование на один шаг вперед.Обозначим через γt

вектор,составленный из ковариаций xt+1 с (x1, . . . , xt ),т.е. γt = (γt , . . . ,γ 1)! = = γt,1.Прогноз задается формулой:

	t
xt (1) = x!"t−1γt = x!αt =	!i
xt (1) = x!"t−1γt = x!αt =	αit xt−i .
	=1

Прогноз по этой формуле можно построить только если матрица "t неособенная. Коэффициенты αti ,минимизирующие средний квадрат ошибки прогноза,задаются нормальными уравнениями "t α = γt или,в развернутом виде,

αti γ|k−i| = γk , k = 1, . . . , t.

i=1

Ошибка прогноза равна

η = xt+1 − xt (1).

Применив(11.20),получим,что средний квадрат этой ошибки равен

				(	)
				E η2 = γ0 − γt!"t−1γt.
Заметим,что γ	0	−	γt!"−1	γt = "		/	"	t\|	,т.е предыдущую формулу можно пере-
писать как	0	−	t	\| t+1\|		\|		t\|
писать как				(	)
				(	)

E η2 = |"t+1|/ |"t |.

(11.22)

384	Глава11.Основные понятия в анализе временных рядов

Действительно,матрицу "t+1 можно представить в следующей блочной форме:

"t+1	=	"t	γt	.

		γt!	γ0
		γt!	γ0

По правилу вычисления определителя блочной матрицы имеем:

		(		γt!"−1		)
\|	"	= γ	0 −	γt!"−1	γt	\|	"	t\|	.
\|	t+1\|		0 −	t		\|		t\|

Если |"t+1| = 0,т.е.если матрица "t+1 вырождена,то средний квадрат ошибки прогноза окажется равным нулю,т.е.оптимальный линейный прогноз будет безошибочным.Процесс,для которого существует такой безошибочный линейный прогноз,называют линейно детерминированным.

Укажем без доказательства следующее свойство автоковариационных матриц: если матрица "t является вырожденной,то матрица "t+1 также будет вырожденной.

Отсюда	следует,что на основе конечного отрезка стационарного ряда
(x1, . . . , xt )	можно сделать безошибочный линейный прогноз на один шаг впе-

ред в том и только в том случае,если автоковариационная матрица "t+1 является вырожденной( |"t+1| = 0).

Действительно,пусть существует безош ибочный линейный прогноз.Возможны два случая: |"t| =! 0 и |"t| = 0.Если |"t| =! 0,то средний квадрат ошибки прогноза

равен |"t+1|/ |"t|,откуда |"t+1| = 0,если же |"t| = 0, то из этого также следует

|"t+1| = 0.

Наоборот,если |"t+1| = 0,тонайдется s ( s ! t)такое,что |"s+1| = 0,но |"s| =! 0. Тогда можно сделать безошибочный прогноз для xt+1 на основе (x1+t−s , . . . , xt),

а,значит,и на основе (x1, . . . , xt).

При использовании приведенных формул на практике возникает трудность, связанная с тем,что обычно теоретические автоковариации γk неизвестны.Требуется каким-то образом получить оценки автоковариаций.Обычные выборочные автоковариации ck здесь не подойдут,поскольку при больших k (сопоставимых с длиной ряда)они являются очень неточными оценками γk .Можно предложить следующий подход11:

1)Взять заоснову некоторую параметрическуюмодель временного ряда.Пусть β Ñсоответствующий вектор параметров.Р ассчитать теоретические автоковариации для данной модели в зависимости от параметров: γk = γk (β).

11Этот подход,в частности,годится для стационарных процессов ARMA.В пункте14.8дается альтернативный способ прогнозирования в рамках модели ARMA.

11.10Оптимальное в среднеквадратическом смысле прогнозирование 385

2)Оценить параметры на основ е имеющихся данных.Пусть b Ñсоответствующие оценки.

3)Получить оценки автоковариаций,подставив b в формулы теоретических автоковариаций: γk ≈ γk (b).

4)Использоватьдляпрогнозированияформулу(11.21),заменяятеоретические автоковариации полученными оценками автоковариаций.

11.10.4.Прогнозирование по полной предыстории. Разложение Вольда

Можно распространить представленную выше теорию на прогнозирование ряда в случае,когда в момент t известна полная предыстория Ωt = (xt, xt−1, . . . ). Можно определить соответствующий прогноз как предел прогнозов,полученных

на основе конечных рядов (xt, xt−1, . . . , xt−j ), j = t, t − 1, . . . , −∞.Без доказательства отметим,что этот прогноз будет оптимальным в среднеквадратическом

смысле.Если рассматривается процесс,для которого |"t | =! 0 t,то по аналогии с (11.22)средний квадрат ошибки такого прогноза равен

E (η	)	= t→∞		\| \|"t \| \|.
	2		lim	"t+1

Заметим,что всегда выполнено	0	<	\|#t+1\|	≤	\|#t\|	,т.е.средний квадрат ошиб-
			\|#t\|		\|#t−1\|

ки не увеличивается с увеличением длины ряда,на основе которого делается прогноз,и ограничен снизу нулем,поэтому указанный предел существует всегда.

Существуют процессы,для которых |"t | =! 0 t,т.е.для них нельзя сделать безошибочный прогноз,имея только конечный отрезок ряда,однако

lim |"t+1| = 0.

t→∞ |"t|

Такой процесс по аналогии можно назвать линейно детерминированным.Его фактически можно безошибочно предсказать,если имеется полная предыстория про-

цесса Ωt = (xt, xt−1, . . . ).

Если же данный предел положителен,то линейный прогноз связан с ошибкой: E 0η21 > 0.Такой процесс можно назвать регулярным.

Выполнены следующие свойства стационарных рядов.

A.Пусть xt Ñслабо стационарный временной ряд,и пусть ηt Ñошибки одношагового оптимального линейного прогноза по полной предыстории процесса (xt−1, xt−2, . . .).Тогда ошибки ηt являются белым шумом,т.е.имеют нулевое ма-

386	Глава11.Основные понятия в анализе временных рядов

тематическое ожидание,не автокоррелированы и имеют одинаковую дисперсию:

E (ηt) = 0, t,

E ((ηsη)t ) = 0, при s =! t,

E η2 = ση2, t.

B.Пусть,кроме того,

x является регулярным,т.е. E

η2

= σ2

> 0.Тогда он

представим в следующем видеt

xt =

∞

ψiηt−i + vt ,

(11.23)

= 1,

∞

где ψ

ψ2 <

∞

;процесс

v здесь является слабо стационарным,

i=0

E (ηs vt ) = 0

линейно

детерминированным и не коррелирован с ошибками

ηt

при

s, t.Такое представление единственно.

Утверждения A и B составляют теорему Вольда.Эта теорема является одним из самых фундаментальных результатов в теории временных рядов.Утверждение B говорит о том,что любой стационарный процесс можно представить в виде так называемого линейного фильтра от белого шума12 плюс линейно детерминированная компонента.Это так называемое разложение Вольда.

Доказательство теоремы Вольда достаточно громоздко.Мы не делаем попытки егоизлагатьидаже обсуждать;отсылаемзаинтересованных читателейк гл.7книги Т.Андерсона[2].

Заметим,что коэффициенты разложения			ψi удовлетворяют соотношению
ψi =	E (ηt−ixt )	=	E (ηt−ixt )	.
	E (ηt2−i)		ση2

Для того чтобы это показать,достаточно умножить(11.23)на ηt−i и взять математическое ожидание от обеих частей.

Разложение Вольда имеет в своей основе прогнозирование на один шаг вперед.С другой стороны,если мы знаем разл ожение Вольда для процесса,то с помощью него можно делать прогнозы.Предположим,что в момент t делается прогноз на τ шагов вперед,т.е.прогноз величины xt+τ на основе предыстории Ωt = (xt, xt−1, . . . ).Сдвинем формулу разложения Вольда(11.23)на τ периодов вперед:

xt+τ = !∞ ψiηt+τ −i + τt+τ . i=0

12Можно назвать первое слагаемое в11.23также процессом скользящего среднего бесконечного порядка MA(∞).Процессы скользящего среднего обсуждаются в пункте14.4.

11.10Оптимальное в среднеквадратическом смысле прогнозирование 387

Второе слагаемое, vt+τ ,можно предсказать без ошибки,зная Ωt .Из первой суммы первые τ слагаемых не предсказуемы на основе Ωt .При прогнозировании их можно заменить ожидаемыми значениямиÑнулями.Из этих рассуждений следует следующая формула прогноза:

xt(τ ) = !∞ ψi ηt+τ −i + τt+τ . i=τ

Без доказательства отметим,что xt (τ ) является оптимальным линейным прогнозом.Ошибка прогноза при этом будет равна

τ!−1

ψi ηt+τ −i.

i=0

Поскольку ηt Ñбелый шум с дисперсией ση2,то средний квадрат ошибки прогноза равен

τ!−1

ση2 ψi2.

i=0

Напоследок обсудим природу компоненты vt .Простейший пример линейно детерминированного рядаÑэто,говоря неформально, Çслучайная константаÈ:

vt = ξ,

где ξ Ñнаперед заданная случайная величина, Eξ = 0.

ТипичныйслучайлинейнодетерминированногорядаÑэто,говорянеформально, Çслучайная синусоидаÈ:

vt = ξ cos(ωt + ϕ),

где ω Ñфиксированная частота, ξ и ϕ Ñнезависимые случайные величины, причем ϕ имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2π].

Это два примера случайных слабо стационарных рядов,которые можно безошибочно предсказывать на основе предыстории.Первый процесс можно моделироватьспомощьюконстанты,авторойÑспомощьюлинейнойкомбинациисинуса и косинуса:

αcos(ωt) + β sin(ωt).

Сточки зрения практики неформальный вывод из теоремы Вольда состоит

втом,что любые стационарные временные ряды можно моделировать при помощи моделей линейного фильтра с добавлением констант и гармонических трендов.

388	Глава11.Основные понятия в анализе временных рядов

11.11.Упражнения и задачи

Упражнение1

1.1.Дан временной ряд x = (5, 1, 1, −3, 2, 9, 6, 2, 5, 2)!.

Вычислите среднее,дисперсию(смещенную),автоковариационную и автокорреляционную матрицы.

1.2.Для временного ряда y = (6, 6, 1, 6, 0, 6, 6, 4, 3, 2)! повторите упражнение1.1.

1.3.Вычислите кросс-ковариаци иикросс-корреляциидлярядов x и y изпредыдущих упражнений для сдвигов −9, . . . , 0, . . . , 9.

1.4.Для временного ряда x = (7, −9, 10, −2, 21, 13, 40, 36, 67, 67) оцените параметры полиномиального тренда второго порядка.Постройте точечный и интервальный прогнозы по тренду на2шага вперед.

1.5.Сгенерируйте 20 рядов,задаваемых полиномиал ьным трендом третьего порядка τt = 5+ 4t −0.07t2 + 0.0005t3 длиной 100 наблюдений,с добавлением белого шума с нормальным распределением и дисперсией 20 .

Допустим,истинные значения п араметров тренда неизвестны.

а)Для 5 рядов из 20 оцените полиномиальный тренд первого,второго и третьего порядков и выберите модель,которая наиболее точно аппроксимирует сгенерированные данные.

б)Для 20 рядов оцените полиномиальный тренд третьего порядка по первым 50 наблюдениям.Вычислите оценкипараметров тренда иих ошибки.Сравните оценки с истинными значениями параметров.

в)Проведитетежевычисления,чтоивпункте(б),для 20 рядов,используя 100 наблюдений.Результаты сравните.

г)Используя предшествующие расч еты,найдите точечные и интервальные прогнозы на три шага вперед с уровнем доверия95%.

1.6.Найдите данные о динамике денежного агрегатаM0в России за 10 последовательных лет и оцените параметры экспоненциального тренда.

1.7.Ряд x = (0.02, 0.05, 0.06, 0.13, 0.15, 0.2, 0.31, 0.46, 0.58, 0.69, 0.78, 0.81,

0.95, 0.97, 0.98)! характеризует долю семей,имеющих телевизор.Оцените параметры логиcтического тренда.

1.8.По ряду x из упражнения3рассчитайте ранго вый коэффициент корреляции Спирмена и сделайте вывод о наличии тенденции.

11.11Упражнения и задачи											389
				Таблица11.1

	Расходы на рекламу	10	100	50	200	20	70	100	50	300	80

	Объем продаж	1011	1030	1193	1149	1398	1148	1141	1223	1151	1576

1.9.Дан ряд:

x = (10, 9, 12, 11, 14, 12, 17, 14, 19, 16, 18, 21, 20, 23, 22, 26, 23, 28, 25, 30)! .

а)Оцените модель линейного тренда.Остатки,полученные после исключения тренда,проверьте настационарность сиспользованием рангового коэффициента корреляции Спирмена.

б)Рассчитайте для остатков статистику Бартлетта,разбив ряд на4интервала по5наблюдений.Проверьте о днородность выборки по дисперсии.

в)Рассчитайте для остатков статистику ГолдфельдаÑКвандта,исключив 6наблюдений из середины ряда.Проверьте однородность выборки по дисперсии.Сравните с выводами,полученными на основе критерия Бартлетта.

1.10.По данным таблицы11.1оцените модель распределенного лага зависимости объема продаж от расходов на рекламу с лагом 2 .

Определите величину максимального лага в модели распределенного лага, используя различные критерии( t-статистики, F -статистики,информацион- ные критерии).

Задачи

1.Перечислить статистики,использую щиеся в расчете коэффициента автокорреляции,и записать их формулы.

2.Чем различается расчет коэффициента автокорреляции для стационарных и нестационарных процессов?Записать формулы.

3.Вычислить значение коэффициента корреляции для двух рядов:

x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . ) и y = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . . ).

4.Посчитать коэффициент автокорреляции первого порядка для ряда x = (2, 4, 6, 8)!.

5.Есть ли разница между автокорреляционной функцией и трендом автокорреляции?

390	Глава11.Основные понятия в анализе временных рядов

6.Записать уравнения экспоненциаль ного и полиномиального трендов и привести формулы для оценивания их параметров.

7.Записать формулу для оценки темпа п рироста экспоненциального тренда.

8.Привести формулу логистической кривой и указать особенности оценивания ее параметров.

9.Оценить параметры линейного тренда для временного ряда x = (1, 2, 5, 6) и записать формулу доверительного интервала для прогноза на1шаг вперед.

10.Данвременнойряд: x = (1, 0.5, 2, 5,							1.5).Проверитьегонаналичие тренда
среднего.
11.Пусть		L Ñлаговый оператор.Представьте в виде степенного ряда следую-
щие выражения:
а)		2	;б)	−1, 5	;в)	2.8		;г)	−3	.
	1 − 0.8L					1 + 0.4L
				1 − 0.9L					1 + 0.5L

Рекомендуемая литература

1.Айвазян С.А. Основы эконометрики.Т.2. ÑМ.: ÇЮнитиÈ, 2001.

2.Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. ÑМ.: ÇМирÈ, 1976. (Гл. 1, 3, 7).

3.Бокс Дж.,Дженкинс Г. Анализ временных рядов.Прогноз и управление.

Вып. 1. ÑМ.: ÇМирÈ, 1974. (Гл. 1).

4.Кендалл М.Дж.,Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и вре-

менные ряды. ÑМ.: ÇНаукаÈ, 1976. (Гл. 45Ð47).

Маленво Э. Статистическиеметоды эконометрии.Вып.2. ÑМ.:ÇСтатисти-

каÈ, 1976. (Гл. 12).

5.Магнус Я.Р.,Катышев П.К.,Пересецкий А.А. ЭконометрикаÑначальный курс. ÑМ.: ÇДелоÈ, 2000. (Гл. 12).

6.Enders Walter. Applied Econometric Time Series. Ñ Iowa State University, 1995. (Ch. 1).

7.Mills Terence C. Time Series Techniques for Economists, Cambridge University Press, 1990 (Ch. 5).

8.Wooldridge Jeffrey M. IntroductoryEconometrics:AModernApproach,2nded., Thomson, 2003 (Ch. 10).

Глава12

Сглаживание временного ряда

12.1.Метод скользящих средних

Одним из альтернативных по отношению к функциональному описанию тренда вариантов сглаживания временного ряда являетсяметод скользящих или,как еще говорят, подвижных средних.

Суть метода заключается в замене исходного временного ряда последовательностью средних,вычисляемых на отрезке,который перемещается вдоль временного ряда,как бы скользит по нему.Задается длина отрезка скольжения (2m + 1) по временной оси,т.е.берется нечетное число наблюдений.Подбирается полином

			p
		=	k!
τ	t	=	a tk	(12.1)
	t		k
			=0

к группе первых (2m + 1) членов ряда,и этот полином используется для определения значения тренда в средней (m + 1)-й точке группы.Затем производится сдвиг на один уровень ряда вперед и подбирается полином того же порядкак группе точек,состоящей из2-го, 3-го , . . . , (2m + 2)-го наблюдения.Находится значение тренда в (m + 2)-й точке и т.д.тем же способом вдоль всего ряда до последней группы из (2m + 1) наблюдения.В действительности нет необходимости строить полином для каждого отрезка.Как будет показано,эта процедура эквивалентна нахождению линейной комбинации уровней временного ряда с коэффициентами,

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 7439 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Диплом

#
24.03.201581 б16.~lock.NonParametrics1.pdf#
#
24.03.201581 б19.~lock.suslov_ibragimov_ekonometrika.pdf#
#
24.03.2015247.12 Кб14112_Регрессионный_анализ.docx
#
24.03.20152.49 Mб42Algebra_lineynoy_regressii.docx
#
24.03.2015160.08 Кб25NonParametrics1.pdf
#
24.03.20155.55 Mб42suslov_ibragimov_ekonometrika.pdf
#
24.03.201530.82 Кб29vopros gosy.docx
#
24.03.201559.9 Кб41Лекция 16 регр анализ.doc