Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

14.4.Процессы скользящего среднего

Другой частный случай модели линейного фильтра,широко распространенный в анализе временных рядов, Ñмодель скользящего среднего,когда xt линейно зависит от конечного числа q предыдущих значений ε:

Модель скользящего среднего q-го порядка обозначают MA(q) (от английского moving average).

Данную модель можно записать и более сжато:

Легко видеть,что процесс MA(q) является стационарным без каких-либо ограничений на параметры θj .

Действительно,математическое ожидание процесса

E(xt) = 0,

а дисперсия

γ0 = (1 + θ12 + θ22 + . . . + θq2)σε2,

т.е.равна дисперсии белого шума,умноженной на конечную величину (1 + θ12 + + θ22 + . . . + θq2).

Остальные моменты второго порядка (γk , ρk ) также от времени не зависят.

Автоковариационная функция и спектр процессаMA(q)

Автоковариационная функция MA(q)

В частном случае для MA(1) имеем:

γ0 = (1 + θ12)σε2,

В общем случае автоковариационная матрица процесса скользящего среднего порядка q имеет q ненулевых поддиагоналей и q ненулевых наддиагоналей,все же остальные элементы матрицы равны нулю.

Автокорреляционная функция имеет вид:

Таким образом,автокорреляционная функция процесса MA(q) обрывается на задержке q, ивэтомотличительная особенность процессов скользящегосреднего.

С другой стороны,частная автокорреляционная функция,в отличие от авторегрессий,не обрывается изатухает экспоненциально.Например,для MA(1) частная автокорреляционная функция имеет вид

Ясно,что модель скользящего среднего является частным случаем модели ли-

нейного фильтра(14.1),где ψj = −θj при j = 1, . . . , q и ψj = 0 при j > q. Фактически модель линейного фильтра является моделью MA(∞).

Формула спектра для процесса скользящего среднего следует из общей формулы для модели линейного фильтра(14.6):

Обратимость процессаMA( q)

Авторегрессию,как мы видели выше,можно представить как MA(∞).С другой стороны,процесс скользящего сред него можно представить в виде AR(∞).

Рассмотрим,например, MA(1) (будем для упрощения писать θ вместо θ1):

xt = εt − θxt−1 − θ2xt−2 −ááá− θk xt−k − θk+1εt−k−1.

Если |θ| < 1, то последнее слагаемое стремится к нулю при k → ∞.Переходя к пределу,получаем представление AR(∞) для MA(1):

стационарен только при |θ| < 1.При |θ| " 1 веса −θj в разложении(14.38) растут(при |θ| = 1 не меняются)по абсолютной величине по мере увеличения j . Тем самым,нарушается разумная связь те кущих событий с событиями в прошлом. Говорят,что при |θ| < 1 процесс MA(1) является обратимым,а при |θ| " 1 Ñ необратимым.

В общем случае уравнение процесса MA(q) в обращенной форме можно записать как

εt = θ−1(L)xt = π(L)xt = !∞ πj xt−j .

j =0

ПроцессMA(q) называется обратимым,еслиабсолютные значения весов πj в обращенном разложении образуют сходящийся ряд.Стационарным процесс MA(q) является всегда,но для того,чтобы он обл адал свойством обратимости,параметры процесса должны удовлетворять определенным ограничениям.

Выведем условия,которым должны удовлетворять параметры θ1, θ2, . . . ,θ q процесса MA(q),чтобы этот процесс был обратимым.

Пусть Hi−1, i = 1, . . . , q Ñкорни характеристического уравнения θ(L) = 0 (будем предполагать,что они различны).Оператор скользящего среднего θ(L) через обратные корни характеристического уравнения можно разложить на множители:

θ(L) = 4q (1 − HiL).

i=1

Тогда обратный к θ(L) оператор π(L) можно представить в следующем виде:

и он стационарен,если корни характеристического уравнения θ(L) = 0 лежат вне единичного круга.Иными словами, MA(q) обладает свойством обратимости,если для всех корней выполнено |Hi−1| > 1,т.е. |Hi| < 1 i.Если же для одного из корней |Hi| " 1, то ряд не будет сходиться,и процесс MA(q) будет необратимым.

Для каждого необратимого процесса MA(q),у которого корни характеристического уравнения не равны по модулю единице,существует неотличимый от него обратимый процесс того же порядка.Например,процесс MA(1) (14.37)с |θ| >1 можно записать в виде

являетсябелымшумом,посколькуэтотехническисложно.Вместоэтогомыукажем напростойфакт:пусть ξt Ñнекоторыйбелыйшум.Тогдапроцесс ξt −1θ ξt−1 имеет такую же автоковариационную функцию,как и процесс xt ,заданный уравнением (14.37),если дисперсии связаны соотношением σξ2 = θ2σε2.Для того чтобы в этом убедиться,достаточно проверить совпадение дисперсий и автоковариаций первого порядка(остальные ав токовариации равны нулю).

В общем случае процесса MA(q),чтобы сделать его обратимым,требуется обратить все корни характеристического уравнения,которые по модулю меньше

единицы.А именно,пусть θ(L) = 3q (1−HiL), Ñхарактеристическиймногочлен

i=1

где |Hi| < 1 при i = 1, . . . , m и |Hi| > 1 при i = m + 1, . . . , q.Тогда

Ñхарактеристический многочлен эквивалентного обратимого процесса.

Заметим,что хотя уравнение(14.33)по форме напоминает разложение Вольда процесса xt ,оно будет таким,только если все корни характеристического уравнения по модулю будут не меньше единицы.Для получения разложения Вольда произвольного процесса MA(q) требуется проделать описанную операцию обращения корней,которые по модулю меньше единицы.

14.5.Смешанные проце ссы авторегрессииÑ скользящего среднегоARMA

(модель БоксаÑДженкинса)

На практике иногда бывает целесообразно ввести в модель как элементы авторегрессии,так и элементы скользящего сре днего.Это делается для того,чтобы с использованием как можно меньшего числа параметров уловить характеристики исследуемого эмпирического ряда.Такойпроцесс называется смешанным процес-

сом авторегрессииÑскользящего среднего и обозначается ARMA(p, q):

или,с использован ием оператора лага,

(1 − ϕ1L − ϕ2L2 − . . . − ϕp Lp )xt = (1 − θ1L − θ2L2 − . . . − θq Lq )εt .

В операторной форме смешанная модель выглядит так:

ϕ(L)xt = θ(L)εt ,

где ϕ(L) Ñоператор авторегрессии, θ(L) Ñоператор скользящего среднего.

Модель(14.41)получиланазвание модели БоксаÑДженкинса,посколькубыла популяризирована Дж.Боксом и Г.Дженкинсом в их известной книгеÇАнализ временных рядовÈ [3].Методология моделирования с помощью(14.41)получила название методологии БоксаÑДженкинса.

Автокорреляционная функция и спектр процессаARMA( p, q)

Рассмотрим,как можно получить авток овариационную и автокорреляционную функции стационарного процесса ARMA(p, q),зная параметры этого процесса. Для этого умножим обе части уравнения(14.41)на xt−k ,где k " 0,и перейдем к математическим ожиданиям:

E(xt−k xt ) = ϕ1E(xt−k xt−1) + ϕ2E(xt−k xt−2) + . . . + ϕp E(xt−k xt−p ) +

+ E(xt−k εt ) − θ1E(xt−k εt−1) − θ2E(xt−k εt−2) − . . . − θq E(xt−k εt−q ).

Обозначим через δs кросс-ковариацию изучаемого ряда xt и ошибки εt с задержкой s,т.е.

δs = E(xtεt−s ).

Посколькупроцессстационарен,то этакросс-ковариационная функция не зависит от момента времени t.В этих обозначениях

Так как xt−k зависит только от импульсов,к оторые произошли до момента t − k,то

εt−q и перейти к математическим ожиданиям.В итоге получится следующая система уравнений:

δ0 = σε2, δ1 = ϕ1δ0 − θ1σε2,

δ2 = ϕ1δ1 + ϕ2δ0 − θ2σε2,

. . .

Общая формула для всех 1 ! s ! p имеет вид:

δs = ϕ1δs−1 + ááá + ϕs δ0 − θsσε2.

При s > p (такой случай может встретиться,если p < q)

δs = ϕ1δs−1 + ááá + ϕp δs−p − θsσε2.

Отсюда рекуррентно,предполагая σε2 и параметры ϕ и θ известными,найдем δs .

Далее,зная δs ,по аналогии с уравнениями ЮлаÑУокера(14.21)по формуле (14.42)при k = 0, . . . , p с учетом того,что γ−k = γk найдем автоковариации γ0, . . . ,γ p .Остальные автоковариации вычисляются рекуррентнопо формуле

(14.42).

Автокорреляции рассчитываются как ρk = γk /γ0.Заметим,что если требуется найти только автокорреляции,то без потери общности можно взять ошибку εt с единичной дисперсией: σε2 = 1.

Еслив уравнении(14.42) k > q,то все кросс-корреляцииравны нулю,поэтому

Чтобы найти второе слагаемое,умнож им уравнение процесса(14.45)на εt

δ1 = E(xt εt−1) = ϕE(xt−1εt−1) + E(εt−1εt ) − θE(εt−1εt−1) = (ϕ − θ)σε2.

При k = 1 равенство(14.46)преобразуется в

γ1 = ϕγ0 + δ−1 − θδ0.

Используя ранее приведенные доводы относительно математических ожиданий, стоящих в этом уравнении,имеем:

С учетом того,что ρk = γk /γ0,получаем выражения для автокорреляционной функции процесса ARMA(1, 1):

На рисунке14.4изображены графики автокорреляционной функции процесса ARMA(1, 1) при различных сочетаниях значений параметров ϕ и θ.

ПоаналогииспроцессамиAR(p) иMA(q) выводится формуласпектрапроцесса ARMA(p, q).Пусть {ηt } Ñтакой процесс,что

ηt = εt − θ1εt−1 − . . . − θq εt−q .

Тогда xt ,описываемый уравнением(14.41),можно записать в виде xt = ϕ1xt−1 + . . . + ϕp xt−p + ηt .