31.Означення планів задачі лінійного програмування (допустимий, опорний, оптимальний).

Допустимий план Х = (х₁, х₂, …, х_n) називається опорним планом задачі лінійного програмування, якщо він задовольняє не менше, ніж m лінійно незалежних обмежень системи (3.2) у вигляді рівностей, а також обмеження (3.3) щодо невід’ємності змінних. Опорний план Х = (х₁, х₂, …, х_n), називається невиродженим, якщо він містить точно m додатних змінних, інакше він вироджений. Опорний план , за якого цільова функція (3.1) досягає масимального (чи мінімального) значення, називаєтьсяоптимальним розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.Кожна нерівність цієї системи геометрично визначає півплощину з граничною прямою a_i1x₁ + a_i2x₂ = b_i (i = 1, 2, ...,т). Умови невід’ємності змінних визначають півплощини з граничними прямими х₁ = 0 та х₂ = 0. Система сумісна, тому півплощини як опуклі множини, перетинаючись, утворюють спільну частину, що є опуклою множиною і являє собою сукупність точок, координати кожної з яких є розв’язком даної системи. Сукупність цих точок (розв’язків) називають багатокутником розв’язків, або областю допустимих планів (розв’язків) задачі лінйного програмування. Це може бути точка (єдиний розв’язок), відрізок, промінь, багатокутник, необмежена багатокутна область. 

32.Знаходження оптимального розв’язку задачі лінійного програмування. Алгоритм симплексного методу.Суть симплексного методу полягає в тому, що спочатку отримують допустимий розв'язок, який задовольняє всім обмеженням, але не обов'язково оптимальний (початковий опорний план); оптимальність досягається послідовним поліпшуванням початкового варіанту за декілька ітерацій. Напрямок переходу від одного опорного плану до другого вибирається за критерієм оптимальності (цільової функції).Симплекс-метод основується на властивостях ЗЛП: 1. Якщо є екстремум, то він єдиний. 2. Множина всіх планів ЗЛП опукла.3. Цільова функція досягає свого оптимального значення у вершині багатокутника розв'язків..4. Кожній вершині багатокутника розв'язків відповідає опорний план ЗЛП. Для того, щоб вирішити задачу симплексним методом необхідно виконати наступне:

1)Привести завдання до канонічного виду 2)Знайти початкове опорне рішення з "одиничним базисом" (якщо опорне рішення відсутнє, то завдання не має рішення зважаючи несумісності системи обмежень) 3)Обчислити оцінки розкладів векторів по базису опорного рішення і заповнити таблицю симплексного методу Якщо виконується ознака єдиності оптимального рішення, то рішення задачі закінчується Якщо виконується умова існування множини оптимальних рішень, то шляхом простого перебору знаходять все оптимальні рішення

Якщо потрібно максимізувати цільову функцію, то можна перейти до мінімуму max Ly = min(-Ly).Зведемо задачу (13.12), (13.13) до канонічного виду шляхом введення додаткових змінних - y5, y6, y7.

Якщо нерівність в системі обмежень ЗЛП має знак " ≤ ", то додаткову змінну вводять зі знаком "+"; якщо нерівність має знак " ≥ ", то додаткову змінну вводять зі знаком "- ".