VM_pidr

Sповн = πR(R + l ) .

R

Зрізаний конус

R1 и R2 - радіуси основ;

441

Sбіч = πl(R1 + R2 );

V = 1 πH (R12 + R1 R2 + R22 ).

3

Призма

V = Sосн × H ;

пряма: Sбіч = Pосн × H ;

Sповн = Sбіч + 2Sосн ; похила:

Sбіч = Pпп × a ;

V = Sпп × a , де a - бічне ребро, Pпп - периметр, Sпп - площа перпендикулярного перерізу.

Циліндр

V = πR2 H ;

Sбіч = 2πRH ;

Sповн = 2πR(H + R) .

Сфера і куля

V= 4 πR3 - об’єм кулі; S = 4πR2 - площа сфери.

3

Кульовий сегмент

442

Комплексні числа. Коротка довідка

Комплексним числом називається число виду а+bi, де a,b R, i i2=-1. Число a називається дійсною частиною, а число b уявною частиною комплексного числа. Число “ i ” таке, що i2=-1 називається уявною одиницею.

Числа а+bi та с+di називаються рівними, якщо а=с і b=d. Сумою двох комплексних чисел а+bi і с+di є число

(а+с)+(b+d)i.

Різницею двох комплексних чисел а+bi і с+di є комплексне число (а-с)+(b-d)i.

Добутком двох комплексних чисел а+bi і с+di є комплексне число (ас-bd)+(аd+bс)i.

Числа а+bi та а-bi називаються комплексно-спряженими і

добуток (а+bi)·(а-bi)=а2-b2 є дійсне число.

Часткою двох комплексних чисел а+bi і с+di є комплексне

позначається |a+bi| або r. На малюнку r=|a+bi|=|OM|.

Мa+bi, називається аргументом комплексного числа a+bi.

bЗ прямокутного трикутника ОМ1М

φзапишемо a=rcos φ, b=rsin φ, і тоді

комплексне число a+bi =rcos φ+іrsinа хО

називається тригонометричною формою комплексного числа.

З означення добутку комплексних чисел та враховуючи тригонометричну форму комплексного числа, виводиться формула для степеня комплексного числа (a+bi)m =rm (cosm φ+і sinm φ).

В випадку, якщо m – ціле число і r=1 одержуємо формулу Му-

авра: (a+bi)m =cosm φ+і sinm φ.

Комплексне число можна подати і в показниковій формі, ви-

користовуючи формулу Ейлера (еіϕ =cos φ+і sin φ): a+bi =r(cos φ+і sin φ) = rеіϕ .

443

Графіки деяких елементарних функцій

y

y

b

y

у

444

Криві Торнквіста та Енгеля

Криві Торнквіста, засновані на законі Енгеля прогнозують міс-

ткість ринку в залежності від рівня середніх доходів на людину. Відповідно до даного підходу вся сукупність товарів і послуг може бути класифікована на 3 основні групи.

2

а

1

Дохід

I) Залежність місткості ринку від рівня доходів по групі товарів першої необхідності має вигляд: Е = Е1 − ае− bІ (крива 1);

де Е - місткість ринку досліджуваної групи товарів чи послуг; Еl - верхня межа споживання товарів першої необхідності;

II) Залежність місткості ринку від середнього доходу на людину для товарів другої групи необхідності має вигляд:

Е = ЕІІ − ае− b( І− І2 ) (крива 2). При цьому попит на дану групу товарів виникає після того, як дохід досягає визначеного розміру, після якого виникає можливість придбання товарів даної групи.

де ЕІІ - верхня межа споживання товарів другої необхідності;

І2- граничне значення доходу; а, b - параметри регресії; а > 0, b > 0.

III) Предмети розкоші, споживання яких не має верхньої межі, у міру зростання доходів зростає більш швидкими темпами і виникає після того, як дохід перевищує нижнє граничне значення, до досягнення якого можливість здобувати товари даної групи відсутня. Крива місткості ринку товарів розкоші має опуклу форму й описується функціональною

залежністю: Е = а( І − І3 )n (крива 3);

де I3 - граничне значення доходу; при I > I3 місткість ринку Е=0; n - показник ступеня, n >2; а - параметр регресії, а >0.

448

Таблиця значень експоненціальних функцій

449

Таблиця відсотків рахунків накопичення

450