VM_pidr

випадку, коли в точці x0 функція набуває найменшого значення. Теорема Ролля припускає просте геометричне тлумачення.

Якщо крива AB є графік функції y = f ( x ) на [a,b], f ( a ) = f ( b ), то існує точка, в якій дотична до кривої паралельна осі Ox (мал.6).

12.3. Теорема Лагранжа

Цю теорему ще називають теоремою про скінчені прирости.

ТЕОРЕМА. Якщо функція у = f ( x ) неперервна на замкнутому проміжку [a,b] і має похідну в кожній внутрішній то-

чці цього проміжку, то знайдеться принаймні одна така точка х = с всередині проміжку, що справедлива рівність

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію F( x ) = f ( x )− kx.

Ця функція неперервна, як різниця двох неперервних функцій, а також має похідну у внутрішніх точках проміжку [a,b], бо її мають

Отже, при такому k буде F ( a ) = F ( b ).

Застосуємо до F ( x ) теорему Ролля . Знайдемо похідну

F' ( x ) = f' ( x ) − k .

Тоді існує точка х = с , а < c < b, що F' ( c ) = f' ( c ) − k = 0.

Звідки k = f'(c). Підставивши це значення k у формулу (4.6), одержимо

241

Це означає, що приріст функції дорівнює приросту аргументу, помноженому на похідну в деякій проміжній точці с, що знаходить-

точки з цього проміжку. За теоремою Лагранжа

f ( x2 ) − f ( x1 ) = (x2 − x1 ) f' ( c ) = 0. Звідси, f ( x2 ) = f ( x1 ), а це означає, що f ( x ) = const .

Наслідок 2. Якщо дві функції f1( x ) та f2 ( x ) мають одна-

кові похідні на деякому проміжку, то ці функції на ньому відрізняються хіба що на сталу.

Доведення. Якщо f1' ( x ) = f2' ( x ) на проміжку (a,b), то функція F( x ) = f1( x ) − f2 ( x ) на підставі попереднього наслідку 1

дорівнює сталій: F ( x ) = c, тому що F' ( x ) = f1' ( x ) − f2' ( x ) = 0. Отже, f1( x ) − f2 ( x ) = c або f1 ( x ) = f2 ( x ) + c.

12.4. Теорема Коші

ТЕОРЕМА. Якщо дві функції f ( x ) та ϕ( x ) неперервні на замкнутому проміжку [a,b] і мають похідні f ′( x ) та ϕ′( x ) в кожній внутрішній точці цього проміжку, причому ϕ′( x ) ≠ 0 в

кожній внутрішній точці проміжку, то існує принаймні одна така точка с з цього проміжку, для якої виконується рівність

Доведення. Побудуємо допоміжну функцію

F ( x ) = f ( x ) + kϕ( x ), де k визначимо з умови, що

F ( a ) = F ( b ), тобто f ( a ) + kϕ( a ) = f ( b ) + kϕ( b ) . Звідси,

k = − f ( b ) − f ( a ) , ϕ( b ) − ϕ( a )

тому що ϕ( b ) − ϕ( a ) ≠ 0 . Це випливає з умови, що ϕ′( x ) ≠ 0 на основі теореми Лагранжа.

242

Оскільки функція F ( x ) неперервна як сума неперервних функцій на [a,b] і має похідну в кожній внутрішній точці ( a,b ), то при цьому k

F ( x ) = f ( x ) − f ( b ) − f ( a ) ϕ( x ) ϕ( b ) − ϕ( a )

задовільняє всі умови теореми Ролля.

Отже, існує точка с( a < c < b ),така що F′( c ) = 0.

Знайдемо F′( x ) = f ′( x ) − f ( b ) − f ( a ) ϕ′( x ). ϕ( b ) − ϕ( a )

12.5. Правило Лопіталя

Знаходження границь, які вимагають “розкриття

Правило Лопіталя. Якщо функції f ( x ) і g( x ) диференційовані в околі точки x0 , за виключенням, можливо, самої точки

Коротко це правило можна сформулювати так:

двох функцій дорівнює границі відношення їх похідних, якщо вона існує.

Доведемо першу частину цього правила.

Доведення. Нехай функції f ( x ) і g( x ) на деякому проміжку [a,b]задовольняють умови теореми Коші і у внутрішній точці

243

244

§13. Формула Тейлора

Важливою задачею математичного аналізу є знаходження значень функцій, заданих формулами. Безпосередньо ми можемо обчислити значення функцій, заданих многочленами, чи дробовораціональними функціями. Так, наприклад, знайдемо значення фун-

Тоді як значення функцій y = sin x, y = ln x знайти безпосеред-

ньо не можемо.

В розв’язанні цієї задачі може допомогти формула Тейлора. Встановимо цю формулу для многочленів.

13.1. Формула Тейлора для многочлена

Нехай задано многочлен f ( x ) = c0 + c1 x + c2 x2 + ...+ cn xn

і деяке число a . Покажемо, що даний многочлен можна записати у вигляді:

знайдемо значення постійних A0 , A1 , A2 ,..., An . Підставивши x = a

245

+ f ( n )( a ) ( x − a )n , n!

яка називається формулою Тейлора для многочлена. Приклад. Нехай f ( x ) = x3 + 2 x2 − 4 x − 5. Розкласти за

степенями x − 2.

Розв’язування:

f ( x ) = x3 + 2 x2 − 4 x − 5, f ( 2 ) = 23 + 2 22 − 4 2 − 5 = 3 ,

f ′( x ) = 3x2 + 4 x − 4, f ′( 2 ) = 3 22 + 4 2 − 4 = 16 , f ′′( x ) = 6 x + 4 , f ′′( 2 ) = 6 2 + 4 = 16 ,

f ′′′( x ) = 6 , f ′′′( 2 ) = 6.

Тому,

= 3 + 16( x − 2 ) + 8( x − 2 )2 + ( x − 2 )3 .

13.2. Формула Тейлора для довільної функції

Нехай f ( x ) − будь-яка функція, неперервна, що має неперервні похідні всіх порядків на проміжку ( α ,β ). Візьмемо якенебудь

246

який будемо називати тейлоровським многочленомнашоїфункції.

Вважаємо, що f ( x ) не може дорівнює Tn( x ). Проте досить часто різниця між ними виявляється малою. Позначимо її Rn( x ). Одержимо f ( x ) = Tn ( x ) + Rn ( x ).Доведено, що Rn( x ) можна

виразити формулою Rn ( x ) = f ( n+1 )( x ) ( x − a )n+1 , ( n + 1 )!

де x проміжна точка між a і x. Ця формула задає залишковий член Rn(x) в формі Лагранжа. Доведення її виходить за рамки нашого курсу і тому не приводиться.

Отже, для довільної функції маємо формулу

яка називається формулою Тейлора з залишковим членом у формі

Лагранжа.

13.3. Формула Маклорена

Взявши у формулі Тейлора a = 0, одержимо формулу Маклорена

247

Зауваживши, що значення похідних дальше повторюються,

Враховуючи, що величина залишкового члена досить мала, можемо написати наближену формулу

Обчислюючи синус якого-небудь кута, вираженого в градусах, треба спочатку перетворити їх в радіани і тоді підставляти у формулу. Приклади на використання подібних формул буде показано в іншому розділі.

§14.Зростання і спадання функції на проміжку

Означення 1. Функція f ( x ) називається зростаючою на проміжку (a,b), якщо більшому значенню аргументу х відповідає

більше значення функції. Тобто, якщо x1 < x2 , то

f ( x1 ) < f ( x2 ).

Якщо нерівність виконується нестрога, f ( x1 ) ≤ f ( x2 ), то

функція називається неспадною.

Означення 2. Функція f ( x ) називається спадною на проміжку (a ,b), якщо більшому значенню аргументу х відповідає менше значення функції. Тобто, якщо x1 < x2 , то

f ( x1 ) > f ( x2 ).

Якщо нерівність виконується нестрого, f ( x1 ) ≥ f ( x2 ), то

функція називається незростаючою.

14.1 Необхідна умова зростання та спадання функцій

248

ТЕОРЕМА. Якщо диференційована функція на проміжку (a,b) зростає, то її похідна невід’ємна, а якщо спадає, то її похід-

14.2Достатні умови зростання і спадання функції ТЕОРЕМА. Якщо неперервна на замкненому проміжку

[а,b] функція f ( x ) має всередині цього проміжку додатну по-

хідну, то функція зростає, а якщо від’ємну, то функція спадає.

f ( x2 ) > f ( x1 ). Це означає, що функція f ( x ) зростає.

Аналогічно доводиться друга частина теореми.

Проміжки зростання і спадання функцій називаються проміжками монотонності функцій.

Для їх визначення знаходять похідну функції, прирівнюють її до нуля і знаходять корені похідної. Цими коренями розбивають область визначення функції на проміжки. В кожному з проміжків беруть всередині точку і встановлюють знак похідної в них. В тих проміжках, де похідні додатні, функція зростає, а де від’ємні – спадає.

Приклади. Знайти проміжки зростання і спадання функцій:

б) y=lnx.

Розв’язування.

249

а) Область визначення функції – вся числова вісь (- ∞ ,∞ ) .

Наносимо ці корені на числову пряму. Область визначення вони поділяють на три проміжки (мал.7).

Знаходимо знаки похідної в кожному з зазначених проміжків, обчисливши значення похідної в деяких точках кожного проміжка:

f ′( −2 ) = ( −2 )2 − 2( −2 ) − 3 = 4 + 4 − 3 = 5 > 0. f ′( 0 ) = −3 < 0.

f ′( 4 ) = 42 − 2 4 − 3 = 16 − 8 − 3 = 5 > 0.

Отже, функція зростає на проміжках: ( −∞ ,−1 ) ( 3,∞ ), спадає на проміжку (-1;3).

б) Область визначення тільки додатні числа (0; ∞ ) .

y′ = ( x )′ ln x − x(ln x )′ = ln x − x 1 = ln x − 1.

міжках:

y′( 1 ) = ln1 − 1 = 0 − 1 = −1 < 0,

y′( e2 ) = lne2 − 1 = 2 − 1 = 1 > 0.

Отже, функція спадає на проміжку ( 0;e ), зростає на проміж-

ку ( e;∞ ).

§15. Екстремум функції

15.1. Поняття екстремуму

Будемо розглядати неперервні функції, які не змінюються монотонно, тобто такі, які на окремих проміжках зростають, а на інших спадають. Графіки таких функцій схематично можна зобразити малюнком 9.

250