Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1323 вуза, 5415 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный университет им. Т. Шевченко
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

VM_pidr

.pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
2.73 Mб
Скачать
☆

 

 

 

 

Qi

зверху неперервною поверхнею

 

 

 

 

z

 

 

z = f ( x, y ) ( f ( x , y ) ≥ 0 ), знизу скін-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ченою замкненою областю S площини

 

 

 

 

 

z = f ( x , y )

 

 

 

 

 

 

 

xOy, з боків прямою циліндричною

 

 

 

 

 

 

 

поверхнею побудованою на межі облас-

 

 

 

 

 

 

 

ті S, перпендикулярно до площини xOy.

 

 

 

 

 

 

PiQi=f(xi,yi)

Знайдемо об’єм V тіла зображеного на

 

 

 

 

 

 

 

малюнку 14. Розіб’ємо область S дея-

 

 

 

О

 

 

 

кими лініями на n частин з площами

 

 

 

 

 

y

відповідно S1, S2... Sn.В кожній з частин

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

виберемо по одній точці P1(x1,y1),

 

 

 

 

 

 

 

Pi

 

 

 

 

 

 

 

 

P2(x2,y2)…Pn(xn,yn) і побудуємо

 

 

 

 

 

 

 

 

циліндри з основами Si і висотами Pi-

 

 

 

Si

 

 

Мал. 14

Qi=f(xi,yi). Тоді об’єм V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

V = ∑ f ( xi , yi ) Si = f ( x1 , y1 )S1

+ f ( x2 , y2

)S2

+ ...+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(6.51)

 

 

Ця сума називається двомірною інтегральною сумою для функції z = f ( x, y ) по

 

 

області S. Для цієї суми виконується теорема існування подвійного інтеграла:

 

 

Якщо функція, z = f ( x, y )

неперервна в обмеженій замкнутій області S і якщо

 

 

число частинок n, на які розбита область S, необмежено зростає, а найбільша

 

 

відстань між двома точками кожної частинки, які лежать на границі (

 

 

diamSi ) , прямує до 0, то існує границя двомірної інтегральної суми (6.50), вели-

 

 

чина якої не залежить ні від способу розбиття S ні від вибору точки Pi

 

 

всередині частинки з площею Si.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ця границя

називається подвійним інтегралом від функції z = f ( x , y )

 

 

поширеним на область S і позначається ∫∫ f ( x , y )dxdy . Тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫

f ( x , y )dxdy =

lim

∑

f ( xi , yi )Si .

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

S

 

diamSi →0

i=1

 

 

 

 

 

Треба зазначити, що якщо diamSi → 0 , то автоматично n → ∞ . Тому можна запи-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

сати

 

 

∫∫

f ( x, y )dxdy = lim

∑

f ( xi , yi )Si

(6.52)

 

 

 

 

 

 

diamSi →0

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.2. Повторний інтеграл. Перехід від подвійного інтеграла

 

 

 

 

до повторного

z = f ( x , y )

 

 

 

 

 

 

 

Підійдемо до задачі про знаходження об’єму V поверхні z = f ( x , y ) по ін-

 

 

шому. Врахуємо, що область S в площині xOy обмежена зверху і знизу певними

 

 

лініями

y = ϕ1 ( x ) і

y = ϕ2 ( x ) .Разом з тим, функції ϕ1 ( x ) і ϕ2 ( x ) неперервні на

 

 

[аb]. Проведемо переріз нашого тіла площиною х= хі, паралельно до координатної

 

 

 

 

Sі=F(xі)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

площини zOy так, що a<x<b. (мал..15) Площа перерізувизначається як деяка функ-

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ція від х ,атобто S=F(x).

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

351

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

b

ϕ1 ( x )

 

ϕ 2 ( x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мал. 15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В такому випадку об’єм тіла

 

 

 

 

V = ∫b F( x )dx .

(6.53)

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ2

( xi )

 

Визначимо тепер функцію F(x). Так Si

=

∫ f ( xi , y )dy . А це значить, що

 

 

 

 

ϕ1 ( xi )

 

 

ϕ2

( x )

 

 

 

 

F ( x ) = S =

∫ f ( x , y )dy

(6.54)

 

 

 

 

ϕ1 ( x )

 

 

 

 

Об'єднавши формули (6.53) і (6.54) одержуємо

 

 

 

 

b

ϕ2 ( x )

 

 

 

 

 

V = ∫[

∫ f ( x , y )dy]dx .

(6.55)

 

 

 

a ϕ1 ( x )

 

 

Інтеграл (6.55) називається повторним інтегралом, поширеним на довільну

область S.

Зауважимо, що якщо б область була обмежена кривими x = ψ 1 ( y ) і

 

 

 

 

 

d

ψ 2 ( y )

x = ψ 2 ( y )

( неперервними на (c,d)) то отримали б, що V = ∫[

∫ f ( x , y )dx]dy , та-

 

 

 

 

 

c

ψ1 ( y )

кож повторний інтеграл.

Отже, обчислення подвійного інтеграла можна звести до обчислення повто-

рного.

5.3.Інтеграл Ейлера-Пуассона

Втеорії ймовірності і математичній статистиці велику роль відіграє інтеграл

 

∞

 

Ейлера-Пуассона:

∫e− x2 dx

(6.56)

 

0

 

Він належить до інтегралів, які не виражаються в елементарних функціях. Обчислимо його з допомогою подвійного інтеграла. Застосуємо формули зв’язку

x = r cos ϕ.

між декартовими і полярними координатами

y = r sin ϕ.

Врахуємо те, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної (інваріантність визначеного інтеграла відносно змінної).

 

 

∞

Тому можемо записати

 

∫e− y2 dy

 

 

0

Перемноживши формули (6.56) і (6.57) , одержимо

 

∞ ∞

 

I 2 = ∫∫e−( x2 + y2 )dxdy .

 

0

0

Врахувавши,що x2 + y2

= r 2 cos2 ϕ + r 2 sin2 ϕ = r 2 і tgϕ =

(6.57)

r sin ϕ

=

y

,

r cos ϕ

 

 

x

352

 

 

 

 

∞ ∞

∞

π

 

 

 

 

∞

 

π

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Одержимо:

 

 

 

∫∫e−( x2 + y2 )dxdy =∫ ∫e−r 2 rdrdϕ = ∫[∫ dϕ]e−r 2 rdr =

 

0

0

 

0

0

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

∞

π

 

 

 

 

π

∞

 

 

 

π

 

 

∞

π

 

 

 

 

= ∫

e−r 2 rdr =

∫ e−r 2 dr 2 = −

[e−r 2 ]

=

.

 

 

2

 

4

4

 

 

0

 

 

 

4

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

∞

π

 

З одержаної рівності I 2

=

визначаємо, що I =

 

. Тобто ∫e− x2 dx =

.

 

 

2

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

А тепер визначимо інтеграл Ейлера-Пуасона

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫e− x2 dx = 2∫e− x2 dx = π

 

 

 

 

 

(6.58)

 

 

 

 

 

−∞

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрично, інтеграл Пуассона виражає

 

 

 

 

 

 

у

 

 

собою площу фігури (мал.16.), обмеженої

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

графіком функції y = e− x2 (крива Гаусса) і віссю Ох.

О х

Мал.16

353

Розділ 7. ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

При розв’язанні багатьох задач математики, техніки, економіки та інших галузей науки буває важко встановити закон, який зв’язує шукані і відомі змінні величини. Але вдається встановити зв’язок між похідними або диференціалами цих змінних, який виражається рівняннями або системами рівнянь. Такі рівняння називають диференціальними рівняннями. Термін “диференціальне рівняння” введений у 1676 році Г.В.Лейбніцем.

Ми розглянемо тільки рівняння з функціями однієї змінної і звичайними похідними, які називають звичайними диференціальними рівняннями.

§ 1. Основні поняття про диференціальні рівняння

Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну x, шукану функцію y=f(x) і її похідні або диференціали різних порядків, тобто рівняння

F ( x , y, y' , y''..., y( n ) ) = 0 .

(7.1)

Важливо зрозуміти, що шукана функція у диференціальному рівнянні входить під знак диференціала або під знак похідної.

Означення. Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної від невідомої функції, яка входить у диференціальне рівняння.

Так, рівняння y′ − 2 xy2 + 5 = 0 є диференціальним рівнянням першого порядку, а рівняння y′′ + 2 y′ − y − sin x = 0 - диференціаль-

ним рівнянням другого порядку.

Означення. Розв’язком диференціального рівняння (7.1) називається така функція y = ϕ( x ) , яка при підстановці у рів-

няння (7.1) перетворює його в тотожність.

Наприклад, для диференціального рівняння

y′ − 2 x = 0

(7.2)

розв’язком є функція y = x2 . Знайдемо похідну

y′ = 2 x і підстави-

мо у рівняння, одержимо: 2 x − 2 x = 0;0 ≡ 0.

 

Слід зауважити, що y=x2 не єдиний розв’язок рівняння. Це рівняння має нескінчену множину розв’язків, які можна записати так: y=x2+C.

354

§ 2. Диференціальні рівняння першого порядку

Означення. Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну x , шукану функцію y=f(x) і її першу похідну:

F(x,y,y′)=0.

(7.3)

Оскільки похідну можна записати у

вигляді відношення ди-

ференціалів, то в рівняння похідна може не входити, а будуть входити диференціали невідомої функції і незалежної змінної.

Якщо рівняння (7.2) розв’язати відносно у′, то воно матиме вигляд :

 

 

y′ = f ( x, y ) або

 

dy

= f ( x, y ) .

(7.4)

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

Прості

приклади показують, що диференціальне

рівняння

може мати нескінчену множину розв’язків. Це ми бачимо

на прик-

ладі рівняння

(7.2). Легко переконатись також , що диференціальне

рівняння y′ =

y

має розв’язками

функції y = Cx , а диференціальне

 

x

 

 

 

рівняння y′ = −

y

функції

y =

C

, де C - довільне число.

 

 

 

x

 

x

Як бачимо, в розв’язок наведених диференціальних рівнянь входить довільне число C . Надаючи сталій C різних значень, будемо одержувати різні розв’язки диференціального рівняння.

Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння (7.3) називається функція

у=φ(х,С),

(7.5)

яка залежить від однієї довільної сталої і задовольняє

диферен-

ціальне рівняння при довільному значенні C .

 

Якщо функція (7.5) виражається неявно, тобто у вигляді

Ф(х,у,С)=0,

(7.6)

то (7.6) називається загальним інтегралом диференціального рівняння.

Означення. Частинним розв’язком диференціального рівняння (7.3) називається такий розв’язок , який одержується із загального розв’язку (7.5) при деякому конкретному значенні сталої C.

Ф(х,у,С0) називається частинним інтегралом диференціального рівняння.

355

На практиці при розв’язанні конкретних задач часто доводиться знаходити не всі розв’язки, а розв’язок, який задовольняє певним початковим умовам. Однією із таких задач є задача Коші, яка для диференціального рівняння першого порядку формулюється так : серед усіх розв’язків диференціального рівняння (7.3) знайти такий розв’язок y , який при заданому значенні незалежної

змінної x = x0 дорівнює заданому значенню y0 , тобто

y( x0 ) = y0 або y

 

x = x0 = y0 .

(7.7)

 

 

 

Умова (7.7) називається початковою умовою розв’язку. Покажемо на прикладі, як знайти частинний розв’язок дифе-

ренціального рівняння, коли відомий загальний розв’язок і задана початкова умова.

Ми бачимо, що диференціальне рівняння

y′ =

y

має загаль-

 

 

 

 

 

 

 

x

ний розв’язок

y = Cx . Задамо початкову

умову

y

 

x = 2 = 6 . Підста-

 

 

вимо ці значення в загальний розв’язок,

одержимо 6 = 2С , звідки

С = 3 . Отже,

функція y = 3x задовольняє і диференціальне рів-

няння і початкову умову.

 

 

 

 

 

 

Відповідь на питання про те, за яких умов

рівняння (7.4) має

розв’язок, дає теорема Коші.

ТЕОРЕМА ( про існування та єдиність розв’язку). Якщо

функція

f ( x, y ) і її частинна похідна

f y′ ( x, y ) визначені і не-

перервні

в області

G , яка містить точку M0 ( x0 ; y0 ) , то існує

єдиний розв’язок

y = ϕ( x ) рівняння

(7.4), який задовольняє

початковій умові :

y( x0 ) = y0 .

 

Теорема Коші дає достатні умови існування єдиного розв’язку диференціального рівняння (7.4). Зауважимо, що в умові

теореми не вимагається існування частинної похідної fx′ ( x, y ) .

Графік довільного частинного розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою. Загальному розв’язку

відповідає сім’я кривих. Так ми перевірили, що рівняння y′ = y x

має загальний розв’язок y = Cx , то йому відповідає сім’я прямих, які проходять через початок координат (мал. 1).

356

Рівняння y′ = −

y

має загальний розв’язок

y =

C

. Йому від-

x

 

 

 

 

x

повідає сім’я рівносторонніх гіпербол (мал.2).

y

y

0

x

 

 

0

x

Мал.1

 

Мал.2

 

 

Якщо задана початкова умова y x = x0 = y0 , то це означає, що

задана точка M0 ( x0 ; y0 ) через яку повинна проходити інтегральна

крива, яка відповідає шуканому частинному розв’язку. Таким чином, відшукання частинного розв’язку диференціального рівняння за заданою початковою умовою геометрично означає, що із сім’ї інтегральних кривих ми вибираємо ту, що проходить через точку

M0 ( x0 ; y0 ) .

Треба зауважити, що знаходження розв’язку диференціального рівняння часто називають інтегруванням рівняння. При цьому операцію інтегрування функцій називають квадратурою.

Загального методу розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку не існує. Розглянемо деякі методи розв’язування окремих типів диференціальних рівнянь.

2.1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними

Означення. Рівняння вигляду

f1(y)dy=f2(x)dx,

(7.8)

де f1(y) і f2(x) - задані функції, називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

В цьому рівнянні кожна із змінних знаходиться тільки в тій частині рівняння, де знаходиться її диференціал. Рівняння dy = f ( x )dx є частинним випадком рівняння (7.8). Щоб розв’язати

рівняння (7.8), треба проінтегрувати обидві його частини:

357

∫ f1 ( y )dy = ∫ f2 ( x )dx + C .

Зрозуміло, що довільну сталу С можна записувати в будь-якій частині рівності.

Приклад 1. Розв’язати диференціальне рівняння:

dy = 3x2dx , яке задовольняє початковій умові y x =0 = 2. y

Розв’язування. Проінтегруємо ліву і праву частину рівняння, причому для зручності потенціювання довільну сталу запишемо у вигляді ln|C| одержимо:

∫

dy

= 3∫ x2dx ; ln

 

y

 

 

= x3 + ln

 

C

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y

= e x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

y

 

− ln

 

C

 

= x3 ; ln

= x3 ;

;

 

 

 

 

 

 

 

 

C

С

y = Ce x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- це загальний розв’язок диференціального рівняння.

Підставляючи в загальний розв’язок початкову умову, знайдемо С: 2 = С .

Отже, y = 2e x 3 є частинним розв’язком даного рівняння.

2.2. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними

Означення. Рівняння вигляду

f1(x) f2(y)+g1(x) g2(y)=0

(7.9)

називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

В цьому рівнянні змінні ще не відокремлені, але, поділивши обидві частини рівняння на добуток f2(y)g1(x) , одержимо рівняння з відокремленими змінними:

f1 ( x ) dx + g2 ( y ) dy = 0 . g1 ( x ) f2 ( y )

Інтегруючи це рівняння, запишемо

∫ f1 ( x )dx + ∫ g2 ( y )dy = C . g1 ( x ) f2 ( y )

Одержали загальний інтеграл даного рівняння. Приклад 2. Розв’язати диференціальне рівняння

x(y+1)dx-(x2+1)ydy=0.

358

 

 

 

 

 

 

Розв’язування. Поділимо обидві частини

цього рівняння на

( y + 1 )( x 2 + 1 ) ,

після чого одержимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

−

ydy

 

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 + 1

y + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Інтегруючи, будемо мати

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

xdx

 

 

∫

ydy

 

1

∫

 

2 x

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

x + 1

=

 

y + 1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1

dx =

1 −

 

dy;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

y + 1

 

1

 

 

= y − ln

 

y + 1

 

+ ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x 2 + 1

 

 

C

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x 2 + 1 (y + 1)

 

 

 

2

+ 1 + ln

 

y + 1

 

− ln

 

= y; y = ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

C

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

C

 

 

 

Ce y

 

=

 

x 2 + 1 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

загальний інтеграл диференціального рівняння.

 

y + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 2. Знайти частинний розв’язок диференціального рі-

вняння

 

(1 + x2 )dy + ydx = 0 , який задовольняє початкову умову

 

y( 0 ) = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язування. Відокремимо змінні, поділивши рівняння на y ( 1 + x 2 ) , і проінтегруємо дане рівняння:

dy

+

dx

 

= 0;

∫

dy

+ ∫

dx

 

= C ; ln

 

y

 

+ arctgx = C .

 

 

 

 

 

1 + x

2

 

1 + x

2

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

Одержали загальний інтеграл диференціального рівняння. Використовуючи початкову умову, знайдемо довільну сталу С: ln1 + arctg0 = C , звідки C = 0 .

Знайдену сталу підставимо у загальний інтеграл і відшукаємо частинний розв’язок:

ln y + arctgx = 0; звідки y = e−arctgx .

2.3.Однорідні диференціальні рівняння

Означення. Функція двох змінних f(x,y) називається однорідною n - го виміру, якщо виконується умова

f ( x, y ) = f ( tx ,ty ) = t n f ( x, y ) .

Наприклад, f ( x, y ) = x2 + y2 , f ( tx ,ty ) = t 2 f ( x2 + y2 ) - од-

норідна функція другого виміру.

359

Означення. Диференціальне рівняння

y′ = f ( x , y )

(7.10)

називається однорідним, якщо функція f(x,y) однорідна нульового виміру.

Покажемо, що це рівняння можна звести до рівняння з відо-

кремленими змінними.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Розглянемо функцію

f ( tx ,ty ). Зробимо заміну t =

, будемо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мати: f ( tx ,ty ) = f

1,

 

 

 

= ϕ

 

. Тоді рівняння (7.10) запишеться у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вигляді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ = ϕ

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В загальному

випадку змінні в однорідному рівнянні не відо-

кремлюються зразу. Але, якщо

ввести допоміжну невідому функ-

цію u=u(x) за формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= u

 

або

 

 

y = xu ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то ми зможемо перетворити однорідне

рівняння в рівняння з відо-

кремлюваними змінними.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З

 

формули

(7.12)

знайдемо

 

y′ = u + xu′

 

і

рівняння

 

= ϕ

у

набуде вигляду:

 

 

 

 

 

′

 

φ

 

 

),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u+xu =

 

(u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тобто

x

du

= ϕ( u ) − u , звідки

 

 

 

du

 

 

=

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ( u ) − u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Після інтегрування одержимо

∫

 

 

du

= ln

 

x

 

+ C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ( u ) − u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Звідси знаходимо вираз для

функції u, вертаємось до змінної

y=xu і одержимо розв’язок однорідного рівняння.

 

 

 

 

 

 

Найчастіше не вдається знайти функцію u явно вираженою,

тоді, після інтегрування, в ліву частину слід підставити

 

y

 

замість u .

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результаті отримаємо розв’язок рівняння в неявному вигляді.

 

Приклад 1. Знайти розв’язок однорідного рівняння

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ =

 

xy − y2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 − 2 xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

360

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности