Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

VM_pidr

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

2.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4934 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

кутника - si = f ( ξi )	xi , а площа східчастої фігури даного розбит-
n
тя Sn = ∑ f ( ξi ) xi	, де f ( ξi ) значення функції f в точці ξi , а
i = 1

xi = xi − xi−1 . Якщо ж тепер кількість точок розбиття збільшувати,

одночасно зменшуючи	xi = xi	− xi−1 , то площу S трапеції можна
записати, як S = lim	n	) xi .
	∑ f ( ξi
max xi = 0 i = 1

Доведено, що вибір точок розбиття на площу S не впливає.

◙Задача про об'єм виробництва із змінною продуктивністю праці

Аналізуючи будь-яке виробництво видно, що продуктивність

є величина змінна і в різні моменти різна. Нехай продуктивність за

період від 0 до t (певний період часу) описується функцією			f(t).
Розіб'ємо проміжок [0;t] на n проміжків тривалістю		tі і вважаючи
продуктивність за час	tі сталою і рівною f ( ti ) визначимо, приб-
лизно, об’єм продукції виробленої за проміжок		часу (tk; tl	) як
l
K ( k ,l ) = ∑ f ( ti ) ti .	Тоді, збільшуючи кількість	проміжків	роз-

биття, одержуємо все точніші формули для обчислення об’єму ви-

робленої продукції. Якщо ж n → ∞ і		tі → 0 то
K = lim	∑ f ( ti ) ti .
i → ∞	i
	i

2.2. Визначений інтеграл, як границя інтегральних сум

Проведемо міркування аналогічно до міркувань попереднього пункту. Для неперервної функції f(x) визначеної на [a,b], і для роз-

биття ( a = х0 < x1 < x2 < ... < xn = b ) (мал.2.) запишемо суму

		n
f (ξ1 ) x1 + f (ξ2 )	x2 + f (ξ3 ) x3 + ...+ f (ξn ) xn = ∑ f (ξi ) xi .		(6.27)
		i=1
Суму (6.27) називають інтегральною сумою. Введемо ще одну
величину max xi	- це довжина найбільшого з відрізків xi =xi -xi-1			[a,b],
Означення 3. Функція f(x) називається інтегровною на				[a,b],
		n
якщо існує скінчена границя lim		∑ f ( ξi ) xi , яка не залежить
	max xi	→0 i = 1

331

від того, яким чином проміжок [a,b] поділений на часткові проміжки і яким чином вибираються точки ξi на цих часткових

проміжках, тільки б довжина максимального з них прямувала до

нуля. ( max xi → 0 ).

Означення 4. Число I називається границею інтегральної суми

∑ f ( ξi ) xi , якщо для будь-якого довільного ε > 0 знайдеться таке

i = 1				< δ , то виконується
δ > 0 ,	що	як	тільки max xi	< δ , то виконується	нерівність
n
∑ f (	ξi )	xi − I	< ε ,незалежно	від вибору часткових	проміжків

i= 1

x1 , x2 , x3 ... xn і точок ξі на цих проміжках.

Означення 5. Визначеним		інтегралом		від функції f(x) на
проміжку [a,b] називається границя lim				n
проміжку [a,b] називається границя lim				∑ f ( ξi ) xi .
		max	xi →0 i = 1
b		n	xi .
Позначається ∫ f ( x )dx =	lim	∑ f ( ξi )	xi .
a	max xi →0	i = 1
Числа a i b називаються, відповідно, нижньою і верхнею межами
інтегрування, а [a ,b] – проміжок інтегрування.
На основі цих означень можна записати, що
b
S = ∫ f ( x )dx - формула	для знаходження площі фігури (мал. 2.) і

K = ∫ f ( t )dt - формула для знаходженння об’єму виробництва. (6.2.1)

Для границь інтегральних сум зберігаються багато властивостей границь послідовностей або функцій. Проте, з означення визначеного інтеграла не випливає, що будь-яка функція є інтегровна на будь-якому інтервалі. Є такі функції для яких не існує визначений інтеграл . Відповідь на питання про існування визначеного інтеграла дає така теорема:

ТЕОРЕМА 9. Якщо функція f(x) неперервна на замкненому проміжку [a,b], то вона інтегровна на цьому проміжку, тобто для

неї існує визначений інтеграл ∫ f ( x )dx.

Теорема доводиться в ширших курсах вищої математики.

332

ТЕОРЕМА 10. Якщо, на [a,b] функція обмежена і має лише скінчене число точок розривів, то вона інтегровна на [a,b] .

Ця теорема дає можливість інтегрувати розривні функції.

	b
Інтеграл ∫ f ( x )dx			був означений для випадку a < b.
	a
						b		a
Доповнимо означення. Якщо a > b , то						∫ f ( x )dx = −∫ f ( x )dx				(6.28)
						a		b
					a
а якщо a = b, то					∫ f ( x )dx = 0.					(6.29)
					a
2.3. Основні властивості визначеного інтеграла
		b				n		одержуємо:
З означення ∫ f ( x )dx =				lim		∑ f ( ξi ) xi		одержуємо:
		a		max	xi →0 i = 1
		a
Властивість 1. ∫ f ( x )dx = 0.										(6.30)
		a
		b			a
Властивість 2. ∫ f ( x )dx = −∫ f ( x )dx.										(6.31)
		a			b
Доведемо ще декілька інших властивостей.
ТЕОРЕМА 11. (Властивість 3) Нехай c – проміжна точка
проміжку [a ,b]		( a < c < b ) . Тоді виконується рівність
b		c	b
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ,							якщо всі три інтеграли
a		a	c
b		с	b
∫ f ( x )dx , ∫ f ( x )dx і ∫ f ( x )dx						існують.
a		a	c
Доведення. За умовою				a < c < b			і всі три інтеграли,			про які
йде мова, існують. Розіб’ємо					проміжок[a ,b]			на n	часткових
проміжків:	[a , x1 ],[x1 , x2 ],[x2 , x3 ]...[xn − 1 ,b] з довжинами,								відповідно
1 , 2 ,...,	n , так щоб точка с				була точкою поділу. (Наприклад
xm = c( m < n )).		Тоді	інтегральна сума ∑( f ( ξi )						xi	) , що
відповідає проміжку [a ,b] розіб’ється на два доданки:
n		m			n
∑ f ( ξ i ) xi = ∑ f ( ξ i ) xi + ∑ f ( ξ i ) xi .
i = 1		i = 1			i = m

333

Перейшовши до границі при max		xi → 0 одержимо
b	c	b
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx.			(6.32)
a	a	c

ТЕОРЕМА 12. ( Властивість 4) Сталий множник можна

виносити за знак визначеного інтеграла.

b	b
∫kf ( x )dx = k∫ f ( x )dx. (k=const)		(6.33)
a	a

		Доведення. За означенням ∫b				kf ( x )dx =
			[kf ( α		a	x2 + ... + + kf ( α n ) xi ] =
=	lim		[kf ( α	1 )	x1 + kf ( α 2 )	x2 + ... + + kf ( α n ) xi ] =
	max	xi	→ 0
			n
=	lim		∑ kf ( α i		) xi
	max	xi	→ 0 i = 1

На основі властивості границь, про те, що константу можна виносити за знак границі та означення інтеграла, одержуємо:

b		n	b
∫ kf ( x )dx = k lim	→0	∑ f ( αi )	xi = k∫ f ( x )dx.
max xi	→0	i = 1	a
a		i = 1	a

ТЕОРЕМА 13. (Властивість 5) Визначений інтеграл від

алгебраїчної суми декількох неперервних функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів від цих функцій.

Доведення. В загальному випадку все можна звести до

	b
розгляду такого виразу	∫[ f1 ( x ) + f2 ( x ) − f3 ( x )]dx.	(6.34)

За означенням інтеграла, і врахувавши властивість границь (пункт 3.4.1.), одержуємо

b					n	ξ1 ) + f2 ( ξ2 ) − f3 ( ξ3 )]
∫[ f1( x ) + f2 ( x ) − f3 ( x )]dx =				lim	∑[ f1(	ξ1 ) + f2 ( ξ2 ) − f3 ( ξ3 )]			xi =
a	n			max x →0 i=1				n
	n			n				n
= lim	∑ f1(ξi ) xi	+	lim	∑ f2 ( ξi ) xi		−	lim	∑ f3 ( ξi ) xi	=
max xi →0 i=1			maz xi →0 i=1				max x1→0 i=1
b	b		b
= ∫ f1( x )dx + ∫ f2 ( x )dx − ∫ f3 ( x )dx.
a	a		a

334

2.4. Теорема про середнє значення визначеного інтеграла.

ТЕОРЕМА 14. ( про середнє значення визначеного інтеграла).

Якщо функція f(x) неперервна на проміжку [a,b], то

всередині нього знайдеться така точка с, що

b
∫ f ( x )dx = ( b − a ) f ( c ) .	(6.35)
a	[a,b],
Доведення. Якщо функція f(x) неперервна на проміжку	[a,b],

то вона досягає своїх найбільшого і найменшого значення М і m на
проміжку [a,b]. (пункт 3.6.2.) Розіб’ємо проміжок [a,b]							на n част-
кових проміжків довжиною			xi	= xi − xi − 1 ( i = 1,2,3,...,n ).
Оскільки f ( ξi	) ≥ m для будь-якого ξi з проміжку[хі− 1 , хі ], то
f ( ξi ) xi ≥ m	xi .Врахувавши,що
	n
	∑ xi = x1		+	x2 + ...+ xn		= b − a.
	i = 1
	n
Одержимо	∑ f ( ξi )		xi	≥ m( b − a )			(6.36)
	i = 1
				n
Аналогічно, f ( ξi ) ≤ M , а тому ∑ f ( ξi ) xi						≤ M ( b − a )	(6.37)
				i = 1
Об’єднавши ці дві нерівності (6.36) і (6.37), одержимо
		n
	m( b − a ) ≤ ∑ f ( ξi ) xi ≤ M ( b − a ) .
		i = 1
				b
Якщо max xi	→ 0 то m( b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M ( b − a ) .
				a
		b
		∫ f ( x )dx
або	m ≤	a			≤ M . (b>a)
або	m ≤				≤ M . (b>a)
		b − a

Врахуємо теорему про те, що функція f(x), неперервна на проміжку [a,b] набуває на ньому всі проміжні значення між своїм найбільшим і найменшим значеннями, відповідно M і m . Нехай в точці с : m ≤ f ( c ) ≤ M де ( а ≤ с ≤ b ).

335

∫ f ( x )dx

Тоді

= f ( c ) ,

значить

∫ f ( x )dx = ( b − a ) f ( c ). (6.38)

b − a

А це й треба було довести.

2.5. Геометричний зміст визначеного інтеграла.

Раніше ми вияснили, що площа криволінійної трапеції, яка

обмежена зверху кривою y = f ( x ), знизу – проміжком

[a,b] осі Ох

( a ≤ x ≤ b ) і з бічних сторін – прямими х = а

і х= в, дорівнює: S =

xi . Це значить, що

lim

∑ f ( ξi )

max xi →0 i = 1

S = ∫ f ( x )dx.

Якщо ж функція на (а;b)

змінює знак. На (а;с) і (d;b)

– додатна,

на (c;d) –

від'ємна, то і

відповідні

значення інтегралів будуть

додатними

від'ємним.

(мал.3).

Тому

площу

криволінійної

трапеції,

Мал.3

зображеної

на

малюнку ,

обчислюють за формулою:

S = пл.aAC + пл.DbB + пл.CED = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x )dx .

a d c

Це потрібно враховувати при знаходженні площ за допомогою ви-

значеного інтеграла і при обчисленні визначеного інтеграла. В ви-

падку, якщо y = f ( x ) - непарна функція то, ∫ f ( x )dx = 0 , якщо ж

− a

аа

–парна, то ∫ f ( x )dx = 2∫ f ( x )dx .

− a

336

2.6. Зв'язок невизначеного і визначеного інтегралів. Формула Ньютона-Лейбніца.

Одним з важливих моментів цього розділу є знаходження зв’язку між визначеним і невизначеним інтегралами.

Невизначений інтеграл ∫ f ( x )dx - це функція, а визначений інте-

грал ∫ f ( x )dx - число. Який між ними зв’язок? Якщо величину b –

замінити змінною x і розглянути ∫ f ( t )dt = Ф( х ) , як функцію ,

то для цього інтеграла виконується теорема, про властивість визна ченого інтеграла із змінною верхньою межею.

ТЕОРЕМА 15. Якщо функція f ( x )		неперервна на [a,b],
	x
то похідна визначеного інтеграла ∫ f ( t )dt		з змінною верхньою
	a
межею х по цій межі дорівнює значенню підінтегральної
	x
функції при t = x , тобто	(∫ f ( t )dt)' = f ( x ).		(6.39)

Доведення. Розглянмо

уА

0 а

Мал. 4

СВВ1С1. Але

						x
	В	y=f(x)				функцію Ф( х ) = ∫ f ( t )dt ,
		В1				a
						де f(t) –неперервна на [a,b]
						де f(t) –неперервна на [a,b]
						функція. Доведемо, що Ф(х) має
Ф		Ф				похідну Ф′(х) = f ( x ). Задамо
	С					змінній х приріст х. Тоді Ф(х)
				С1		змінній х приріст х. Тоді Ф(х)
				С1	х	буде мати приріст
х		х+	х		х	Ф = Ф( х + х ) − Ф( х ) ,

який на малюнку 4 зображається площею криволінійної трапеції

Ф( х + х ) = ∫x+		x
Ф( х + х ) = ∫x+	x	f ( t )dt , Φ(х) = ∫ f ( t )dt .
а		a
		a

x + x x

Тому ΔΦ = ∫ f ( t )dt − ∫ f ( t )dt .

a a

337

		х+	х	x	x+ x
На основі теореми (11) одержимо ∫ f (t)dt = ∫ f ( t )dt +					∫ f ( t )dt .
		a		a	x
	x + x
Значить ΔΦ =		∫ f ( t )dt . Застосовуючи теорему (14), знаходимо
		x
x + x
ΔΦ = ∫ f ( t )dt = [( x + x ) − x] f ( c ) = x f ( c ),
x
де x < c < x+	x . Звідси випливає що			ΔΦ = f ( c ) .	(6.40)
				x
Спрямуємо	х	до нуля. Тоді ( х +	х )	буде прямувати до х, а зна-

чить і с прямуватиме до х. Внаслідок неперервності f(x), одержимо

lim	f ( c ) = lim f ( c ) = f ( x ) .
x→0	c→ x

Переходячи			до границі в
lim	ΔΦ = lim		f ( c ) = f ( x ) . Тобто
x→0	x	x→0
		x		dФ
Але Ф( х ) = ∫			f ( t )dt , а тому	dФ	=
Але Ф( х ) = ∫			f ( t )dt , а тому		=
		a		dx
		a

рівності (6.40), одержимо

Ф′( x ) = f ( x ).

d[∫ f ( t )dt]

a	= f ( x ).
	= f ( x ).
	dx

Проте, базовою при обчисленні визначеного інтеграла, є наступна теорема.

ТЕОРЕМА 16. (Ньютона-Лейбніца). Визначений інтеграл

від неперервної функції f ( x ) дорівнює різниці значень її первісної F ( x ) при x = b і , x = a де a і b -нижня і верхня межі інте-

грування, тобто має місце формула

b
∫ f ( х )dt = F ( b ) − F ( a ) .	(6.41)
a
x
Доведення. Розглянемо функцію Ф( x ) = ∫ f ( t )dt .
a
За теоремою 15 функція Ф(х) є первісною для f ( x )	на проміжку

[a,b]. Значить ∫ f ( t )dt = F ( x ) + C . Але дві первісних для

однієї й тієї ж функції відрізняються лише на константу.

338

Тобто Ф(х) = F ( x ) + C .

Якщо ж x = a , одержимо ∫ f ( t )dt = F ( a ) + C .

Оскільки∫ f ( t )dt = 0 та 0 = F ( a ) + C , то F ( a ) = −C , C = −F ( a ).

А отже ∫ f ( t )dt = F ( x ) − F ( a ).

При x = b одержимо ∫ f ( t )dt = F ( b ) − F ( a ) .

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца і дає найпростіший метод для знаходження визначеного інтеграла.

b b

Її прийнято записувати так: ∫ f ( x )dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ).

2.7.Методи обчислення визначеного інтеграла

Вбільшості випадків обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження первісної для відповідного невизначеного інтеграла, а потім використовується формула Ньютона-Лейбніца. Тому всі методи, які використовуються для знаходження невизначеного інтеграла використовуються для знаходження визначеного інтеграла.

◙Заміна змінної в визначеному інтегралі

Нехай дано ∫ f ( x )dx , f ( x ) - неперервна на [a;b]. Заміна

змінної для визначеного інтеграла полягає в тому, що вводиться нова змінна, зв’язана з попередньою співвідношенням x = ϕ( t ) така,

що ϕ( t ) - неперервно диференційована на [a;b]. Якщо при зміні t

від α до β, х змінюється від a до b,		a = ϕ( α ), b = ϕ( β )	і складна
функція f ( ϕ( t )) визначена і неперервна на відрізку [α;β],
	b	β
то правильна формула	∫ f ( x )dx = ∫ f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt .		(6.42)
	a	α

339

						2
		Приклад 22. Обчислити ∫						4 − x2 dx .
						0
Розв’язування.			Вводимо нову змінну за формулою						x = 2 sin t .		Ви-
значимо нові межі інтегрування. Якщо х = 0, то 2 sin t = 0										і t = 0 –
нижня межа інтегрування. Якщо х = 2, то 2 sin t = 2									і t = π - верхня
									2	π .
межа інтегрування. Отже t буде								змінюватись від	0 до	π .	Тоді
										2
		π						π
2		2						2
∫	4 − x2 dx = ∫		4 − 4 sin2 t 2 cos tdt = 4∫cos2 tdt =
0		0						0
	π					π
= 2∫2				sin2t		π
		( 1 + cos2t )dt = 2( t +		sin2t	)	2	= π .
		( 1 + cos2t )dt = 2( t +			)	2	= π .
	0		2			0
	0

◙Метод інтегрування за частинами

	b		b
Полягає в застосуванні формули:	∫ udv = [uv]	ab	− ∫vdu. (6.43)

	a		a

Приклад 23. Обчислити ∫ xe− xdx.

Розв’язування. Використаємо формулу інтегрування за частинами.

Нехай u = x, dv = e− xdx. Одержимо du = dx , v = −e− x .

1			1		1	e− xdx = ( − xe− x − e− x )	1		2
∫	xe− xdx = − xe	− x	1	+	∫		0	= 1 −	2	.
	xe− xdx = − xe			+			0	= 1 −		.
			0						e
0					0

2.8. Наближене обчислення визначених інтегралів

Знаходженню інтеграла, присвячені всі попередні викладки цього розділу. Проте, як ми вже знаємо, є ряд функцій для яких первісну неможливо виразити в елементарних функціях. З іншого боку, в застосуванні визначеного інтеграла, не обов’язково мати йому відповідний невизначений інтеграл. Достатньо мати його значення або знайти його певне чисельне наближення. Розглянемо деякі методи наближеного обчислення визначених інтегралів.

◙Розклад підінтегрального виразу

При знаходженні визначеного інтеграла розкладають підінтег-

340

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4934 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.201638.3 Кб20visha_osvita_nimechchini.docx
#
01.05.20251.93 Mб1vishka.doc
#
01.04.20251.45 Mб1Vishka_shpori.docx
#
01.05.20252.58 Mб0vkazivky.doc
#
19.03.2015150.28 Кб20VKhnpu_psykhol_2012_42(1)__17.pdf
#
19.03.20152.73 Mб21VM_pidr.pdf
#
01.05.20251.35 Mб3Voitenko_Uchboviy Posibnyk.doc
#
01.04.20251.06 Mб4Volkotrub.doc
#
22.12.20181.25 Mб4voprosy.doc
#
17.04.201934.15 Кб1voprosy.docx
#
01.05.2025106.5 Кб0Voprosy30-35_38-41-1.doc