VM_pidr

ральну функцію за формулами Тейлора або Маклорена і інтегруванням розкладу знаходять відповідний інтеграла .

◙Інтегрування з допомогою таблиць

Ряд інтегралів є добре вивчені і для них складені таблиці. Це так звані табульовані неелементарні “спеціальні” функції. Напри-

інтегральна показникова функція, інтегральні синус і косинус, фун-

◙Інтеграли, для яких знайдено точне значення визначеного

інтеграла, не знаходячи невизначеного інтеграла

π

∫ ln sin xdx = − π ln 2 , і ін.

0

◘ Чисельне інтегрування

Методи чисельного інтегрування дають наближене чисельне значення визначеного інтеграла, якщо можливо обчислити значення підінтегральної функції в деяких точках проміжку інтегрування.

b

Нехай треба знайти ∫ f ( x )dx . Проміжок інтегрування [a;b]

a

розбивають на 2n проміжків однакової довжини і знаходять значення функції yi = f ( xi ) в точках розбиття y0, y1, y2, ,y3,... y2n . Тоді

341

b

∫ f ( x )dx ≈ S = S1 + S3 + S5 + ...+ S2i − 1 + ...+ S2n− 1 ,

a

Якщо ж дугу A2і-2, A2і замінити відрізком A2і-2, A2і (мал.8) то фігура (х2і-2 ,A2і-2, A2і, х2і) – трапеція, і одержуємо формулу трапецій

Замінивши дугу A2і-2, A2і-1, A2і частиною параболи, яка проходить через точки A2і-2, A2і-1, A2і (мал.9) і знову обчисливши відповідну су-

342

точок розбиття, досягають необхідної точності обчислень.

§3. Невласні інтеграли та їх знаходження

b

При означенні ∫ f ( x )dx передбачалось виконання умов:

a

1.проміжок інтегрування [а,b] - скінчений.

2.підінтегральна функція f(x) визначена і неперервна на [а,b].

Ввипадку коли хоча б одна з умов не виконується, інтеграл називається невласним. Розглянемо два найпростіші випадки.

3.1. Інтеграл з нескінченними межами інтегрування

Означення 6. Нехай f(x) визначена на [а,∞) і інтегровна на [а,Z ], де [а,Z ]-будь- який скінчений проміжок. Тоді

невласний інтеграл з нескінченними межами інтегрування.

Z

За формулою Ньютона-Лейбніца ∫ f ( x )dx = F ( Z ) − F ( a ) .

a

Якщо, при Z → ∞ ( F ( Z ) − F ( a )) має скінчену границю, то ця границя буде визначена, і інтеграл даної функції на ( a , ∞ )

в

Аналогічно розглядається і інтеграл виду ∫ f ( x )dx

− ∞

343

люють кожен інтеграл окремо.

3.2. Інтеграл від розривної функції

Нехай f ( x ) визначена на[a,b) і має точку розриву при x = b .

від розривної функції. Якщо f(x) визначена на (a,b] і x=a точка роз-

Якщо для інтегралів пунктів (6.3.1) і (6.3.2) відповідні їм границі існують, то інтеграли називаються збіжними. Якщо границі не існують або нескінченні, то інтеграли називаються розбіжними.

Приклад 26.

344

Значить, даний інтеграл розбіжний при p≤1 і збіжний при p>1. Його часто використовують при дослідженні рядів на збіжність.

§4. Застосування визначених інтегралів

4.1.Обчислення площ

Площа фігури, яка обмежена графіком функції y=f(x) прямими x=a і x=b, а також віссю Ox, визначається за формулою

b

S = ∫ f ( x )dx . Площа ж фігури, яка обмежена графіками функцій

a

Приклад 28. Знайти площу фігури, обмеженої лініями у=2-х2,

у=х. (мал. 10).

Розв’язування. а) Будуємо ескіз В( 0;2 ) графіків функцій: у=2-х2, ( парабола, яка перетинає вісь Ох

Розв’язування. Будуємо графіки функцій (мал.11). Записуємо фор-

345

b

мулу для знаходження площі S = ∫( fв( x ) − fн( x ))dx . Бачимо, що

3π

2

інтеграла, для знаходження площ, необхідно враховувати нулі функцій, які обмежують площу (мал.3). Проміжок інтегрування, врахувавши нулі функцій, розбивають, і тоді шукана площа дорівнює сумі абсолютних величин відповідних визначених інтегралів.

4.2. Задача про розподіл доходів населення держави

Рівень розвитку держави характеризується тим, як вона забезпечує рівень життя своїх громадян. Одним з таких показників є матеріальний добробут. Легко і досить точно проводити такий порівняльний аналіз маючи певні кількісні характеристики. Доброю характеристикою для цього є коефіцієнт Джіні, який показує нерівність в розподілі доходів населення. Він безпосередньо зв’язаний з кривою Лоренца, яка відображає залежність відсотка доходів населення від відсотка тих, які ці доходи мають. Розглянемо це на прикладі.

Приклад 30. Нехай y = 2 − 4 − x2 , крива Лоренца, визначена за

дослідженнями розподілу доходів в якійсь країні, де х-відсоток населення, у – відсоток доходів населення. Обчислити ко-

ефіцієнт Джіні. (0<k<1).

346

Розв’язування. З малюнка видно, що k = SOAm ,

нерівномірність розподілу доходів серед населення даної країни.

4.3.Обчислення об’ємів

◘Визначення і обчислення об’єму тіл за площами паралельних перерізів

Нехай в просторі дано тіло, що знаходиться між двома пло-

347

Розіб’ємо проміжок [a,b] точками x1 , x2 ,...xn− 1 . Через точки поділу проведемо перпендикулярні площини σ1 ,σ2 ,σ3 ,...σn− 1 до площини xOy і позначимо S( x1 ), S( x2 ),...S( xn− 1 ) - площі відповідних паралельних один одному перерізів. Побудуємо на кожному перерізі, як на основі, циліндр висотою, відповідно, x1 , x2 , xi = xi − xi − 1 . Таким чином одержимо n циліндрів. Запишемо суму, яка є інтегральною:

Якщо така границя існує, то кажуть, що дане тіло має об’єм.

◘Обчислення об’єму тіла обертання

Нехай криволінійна трапеція утворена лінією y = f ( x ) , прямими

х=а та х=b та віссю Ох, обертається в просторі навколо осі Ох. Знайти об’єм фігури обертання, яка утворилась.

Враховуючи те, що для об’єму тіла обертання площа поперечного перерізу

S( x ) = π f 2 ( x ) одержимо

348

4.4. Обчислення довжини дуги плоскої кривої

Запишемо, без виведення, формулу для знаходження дуги

Приклад 32. Знайти довжину дуги плоскої кривої лінії y = x3 від точки О(0;0) до точки М(4;8).

якщо t=10, то x=4. Обчисливши інтеграл, одержуємо довжину дуги:

4.5. Задача про максимізацію прибутку за часом

Метою всякого виробництва є досягнення максимального прибутку. Тобто, досягнення максимальної різниці між доходами і видатками. Позначимо P(t), D(t), V(t) – відповідно функції прибутку, доходу та видатків від часу. Тоді P(t)=D(t)-V(t). Функція досягає свого екстремуму, якщо її похідна рівна 0. Тобто

P′( t ) = D′( t ) − V ′( t ) = 0 . Тобто D′( t ) = V ′( t ) . Визначимо момент

tk в який швидкість зміни доходу та видатків зрівнюються. Загальний прибуток за час tk можна знайти за формулою

349

гривень, а t у роках. Визначити тривалість прибуткового існування підприємства і знайти загальний прибуток, одержаний за цей час.

Розв’язування. Оптимальний час t1 для прибутку підприємства одержимо з умови D′( t ) = V ′( t ) . З рівняння

5 + 24 t 3 = 9 − 24 t 3 визначаємо 44 t 3 = 4 , 4 t 3 = 1, t1 = 1 .

Отже, підприємство було прибутковим 1 рік. За цей час одержано

4.6. Задача про витрати, дохід і прибуток

Нехай тепер V(х) – функція загальних видатків на виробництво х одиниць продукції, V ′( х ) - функція маржинальних видатків.

P′( х ), D′( х ) - функції, відповідно, маржинальних прибутку та до-

ходу. Тоді при зростанні кількості одиниць продукції від a до b, зміна загальних видатків обчислюється за формулою

§ 5. Поняття про подвійний інтеграл. Зведення подвійного інтегралу до повторного

5.1. Поняття про подвійний інтеграл При введені поняття визначеного інтеграла ми розв’язували задачу про

знаходження площі криволінійної трапеції. Проте, часто необхідно знайти об’єм деякої просторової фігури. Розв'яжемо задачу: знайти об’єм тіла обмеженого

350