VM_pidr

Розв’язування. Заміною y = xu зведемо задане рівняння до рі-

x

2.4.Лінійні диференціальні рівняння

Означення. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння , яке містить шукану функцію і її похідну у першому степені без їх добутку:

рідним і є рівнянням з відокремлюваними змінними.

Якщо Q(x)≠0 , то рівняння (7.13) називається лінійним неоднорідним, яке можна розв’язати декількома способами.

Розглянемо метод Бернуллі за допомогою якого рівняння (7.13) можна звести до інтегрування двох диференціальних рівнянь першого порядку з відокремлюваними змінними.

Розв’язок диференціального рівняння (7.13) шукаємо у ви-

361

Тоді для відшукання функції u одержимо рівняння

Під невизначеним інтегралом тут будемо розуміти якусь одну первісну від функції P(x), тобто v буде визначеною функцією від x.

Знаючи v, знаходимо u із рівняння (7.16):

При розв’язуванні конкретних прикладів простіше виконувати ці викладки, ніж застосовувати громіздку формулу (7.17).

362

Після інтегрування , одержимо ln|v|=ln|x| ( тут обмежимось однією первісною), звідки v=x.

Підставимо v=x в рівняння (7.18):

u′v = x; du x = x; du = dx ; u = x + C . dx

Загальний розв’язок запишеться:

y = x( x + C ) = x 2 + Cx.

Приклад 2. Знайти частинний розв’язок диференціального рі-

вняння y′ − ytgx = 1 , який задовольняє початковій умові y(0)=0. cos x

Загальний розв’язок диференціального рівняння буде :

Підставляємо початкові умови в знайдений розв’язок і знаходимо С:

Із загального розв’язку одержуємо частинний розв’язок

називається диференціальним рівнянням Бернуллі.

363

Дане рівняння відрізняється від рівняння (7.13) лише множником y″ (або x″) в правій його частині. Для того, щоб права частина даного рівняння була такою як в (7.13), поділимо його ліву і праву частину на y″:

364

Проінтегрувавши праву частину цього рівняння за частинами, одер-

жимо u = 1 (ln x + 1 ) + C , а при y−1 = z = uv , маємо x

2.6. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь першого порядку

Задача 1. Повні затрати К є функцією об’єму виробництва x. Знайти функцію К затрат, якщо відомо, що швидкість росту затрат для всіх значень x дорівнює середнім затратам.

Розв’язування. Швидкість росту затрат є похідна:

K=Cx - шукана функція затрат.

Звідси, K = C - середні затрати постійні. x

Задача 2. Кількість населення у є функцією часу t, тобто з часом кількість населення змінюється. Швидкість зміни приросту населення пропорційна кількості населення. Треба знайти формулу для визначення кількості населення у будь-який момент часу t.

Розв’язування. За умовою задачі швидкість зміни приросту населення пропорційна кількості населення. Це можна записати так:

dy = k y( t ) , де k - коефіцієнт пропорційності. dt

В одержаному диференціальному рівнянні відокремимо змінні:

dy = kdt . y

Одержано формулу для визначення кількості населення як функції часу. Вона містить довільну сталу, яка може приймати будьякі числові значення.

365

Покажемо на прикладі як за формулою (7.19) можна прогнозувати ріст населення. Для зручності візьмемо наближені дані.

Нехай за переписом 1980 року населення на Землі було, наприклад, 5 млрд. Почнемо звідси відлік, тобто t0=0. А в 1990 році населення на Землі стало 6 млрд. , тобто t=10 (років). Тоді, використавши ці початкові умови, одержимо: 5=С·еk·0; C=5.

Підставимо знайдене C=5 у формулу y=Cekt, маємо

Формула (7.20) дає можливість знайти кількість населення у будь-який момент часу t , наприклад, знайдемо кількість населення у 2010 році ( t =30 ):

g=g(t). Очевидно, що збільшення (зміна) вкладу пропорційне його

Нехай величина вкладу змінюється неперервно з часом і за місяць зростає на N %:

366

Остання формула дає можливість визначити величину вкладу в банк в будьякий момент часу t.

Задача 4. Зростання інвестицій.

Економісти встановили, що швидкість зростання інвестованого капіталу у будь-який момент часу t пропорційна величині капіталу із коефіцієнтом пропорційності ,що дорівнює узгодженому відсотку R неперервного зростання капіталу. Треба знайти закон зростання інвестованого капіталу, враховуючи величину початкової (при t =0 ) інвестиції K0.

Розв’язування. Позначимо K(t) - величина інвестованого капіталу у момент часу t (шукана функція).

Тоді dK ( t ) - швидкість зміни величини інвестицій, r = R .

Одержали задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку. Загальним розв’язком диференціального рівняння буде функція

K ( t ) = ert +C = eC ert .

Згідно з початковою умовою при t =0 маємо K0 = eC .

Отже, розв’язком задачі буде функція K ( t ) = K0 ert .Це озна-

чає, що за даними умовами задачі інвестиції з часом зростають за експоненціальним законом.

Задача 5. Відомо, що еластичність попиту η визначається за

формулою η = р dx , де x - кількість одиниць деякого товару вар- x dp

тістю p за кожну одиницю. Знайти функцію попиту на цей товар, якщо еластичність попиту постійна і дорівнює -1.

Знайшли залежність між кількістю товару та його вартістю, тобто функцію попиту.

367

§ 3. Диференціальні рівняння другого порядку

Означення. Диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну x , невідому функцію y та першу і другу похідні від цієї функції:

Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння другого порядку називається функція y=φ(x,C1,C2) яка задовольняє диференціальне рівняння при довільних значеннях C1 та C2.

Будь-який частинний розв’язок диференціального рівняння одержується із загального розв’язку при певних значеннях C1 та C2 і задовольняє певним початковим умовам. Початковими умовами для диференціального рівняння другого порядку є задання значень функції та її першої похідної в деякій точці x0:

Задача Коші для диференціального рівняння другого порядку формулюється так:

знайти частинний розв’язок диференціального рівняння (7.23), який задовольняє початковим умовам .

Геометричний зміст частинного розв’язку – це інтегральна крива, яка проходить через точку (x0,y0) в даному напрямку, тобто заданий кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої.

Розглянемо задачу, яка приводить до диференціального рівняння другого порядку.

Згідно теорії Дж. Хікса, із стабільним ростом затрат праці при незмінних інших факторах виробництва вартість випуску продукції також зростає . Швидкість її зростання є постійною додатною величиною V0. Однак, додаткове залучення фактору затрат праці веде до зниження граничного значення випуску продукції, причому темпи такого зниження можна вважати постійною від’ємною величиноюa0.

Нехай початковий випуск продукції характеризується вартістю C0 при затратах праці L0. Треба знайти величину вартості випуску продукції при затратах праці рівних L1.

( C0 = 100;V0 = 0 ,5;a0 = −0 ,01; L0 = 50; L1 = 55 ).

Позначимо U(L) - вартість випуску продукції при затратах

праці рівних L . Тоді dU - швидкість зростання вартості продукції dL

368

3.1Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку

Означення. Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння

Очевидно, що y≡0 є розв’язком рівняння (7.24). Цей розв’язок називають нульовим або тривіальним. Надалі ми будемо шукати тільки нетривіальні розв’язки диференціального рівняння (7.24).

Встановимо деякі властивості його розв’язків.

1.Якщо y(x) є розв’язком рівняння (7.24), то Cy(x) також є розв’язком цього рівняння.

2.Якщо y1(x) та y2(x) - частинні розв’язки рівняння (7.24), , то

y1 ( x ) + y2 ( x ) є також розв’язком цього рівняння.

ТЕОРЕМА. Якщо y1(x) та y2(x) - частинні розв’язки рівняння (7.24), то розв’язком цього рівняння є також функція

369

в’язки рівняння (7.24), а це означає, що права частина рівняння дорівнює нулю. Отже, функція (7.25) є розв’язком рівняння (7.24).

y1 = λy2 , звідки y1 = λ , де λ - стале число. y2

Іншими словами, дві функції лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони пропорційні.

Означення. Лінійно незалежна система розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння називається фундаментальною системою розв’язків.

ТЕОРЕМА (про структуру розв’язку однорідного дифере-