VM_pidr

Розділ 6. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Одним з основних завдань розділу ІV диференціальне числення функцій однієї змінної, є завдання знаходження похідної від заданої функції. Розділ математики, який розв’язує обернену задачу

– знаходження функції за її похідною (інтегрування), а також інші задачі, які безпосередньо зв’язані з інтегруванням називається інтегральним численням. Предметом вивчення даного розділу є інтеграли: визначений, невизначений, поверхневий, криволінійний, подвійний, потрійний і інші, їхні властивості, методи знаходження, їх застосування до розв’язування різних задач.

Інтегральне числення практично виникло із задач обчислення площ і об’ємів різних фігур і тіл. Вперше такі задачі намагались розв’язати вчені Стародавньої Греції (Евдокс Кнідський, Архімед та ін.). В ХVІ - ХVІІ ст.., інтенсивний промисловий розвиток в Європі привів до розвитку інтегрального числення та його застосування. Праці вчених І. Кеплера, Б. Кавальєрі, П. Ферма, Е. Торрічеллі, Дж. Валліса, Б. Паскаля, Х. Гюйгенса поглибили теоретичні основи інтегрального числення. Вчені І. Ньютон та Г. Лейбніц створили ряд загальних методів знаходження інтегральних сум. Їх праці багато задач інтегрального числення звели до суто технічного рівня. Г. Лейбніц ввів зручну символіку, яка застосовується і тепер. А формула Ньютона-Лейбніца, яка зв’язала невизначений і визначений інтеграли, є центральною формулою інтегрального числення. Подальший історичний розвиток інтегрального числення пов’язаний з іменами І. Бернуллі, Л. Ейлера, П. Чебишева, О. Коші, В. Буняковського. Суттєвими для розвитку інтегрального числення є роботи видатного українського математика М.В. Остроградського. (12.09.1801-20.12.1861, народився в с. Пашенівка, Козельського р-ну Полтавської обл.),. Навчався в Харківському університеті, де його вчителями були Т.Ф. Осиповський та А.Ф. Павловський. Під час перебування в Парижі слухав лекції А.М.Ампера, О.Л.Коші, П.С.Лапласа, С.Д.Пуассона, Ж.Б.Ж.Фур’є. Друг В.Я.Буняковського. Перебуваючи в Петербурзі потоваришував з Т. Г. Шевченком. Основні праці М.В. Остроградського стосуються математичної фізики, математичного аналізу (формула зв’язку інтеграла по об’єму з інтегралом по поверхні, принцип розкладності функцій в ряд за власними функціями, принцип локалізації для тригонометричних

311

рядів, правило перетворення змінних в подвійних інтегралах, метод інтегрування раціональних функцій і ін.), теоретичної механіки. Розв’язав деякі задачі з теорії чисел, алгебри, диференціальних рівнянь, теорії рядів.

§1. Невизначений інтеграл

1.1.Первісна функція та невизначений інтеграл

Задача знаходження для функції f(x) такої функції F(x), що

F′( x ) = f ( x ) є основною задачею інтегрального числення.

Операція інтегрування (знаходження інтегралу) є оберненою операцією до диференціювання ( знаходження похідної). Термін інтеграл походить від латинського integer – цілий. Деколи вжива-

ють термін – антипохідна.

Означення 1. Функція F(x) називається первісною для функції f(x), якщо для довільного х з області визначення f(x),

312

Означення 2. Сукупність усіх первісних для функції f(x)

називається невизначеним інтегралом від цієї функції і

ного інтеграла.

Операція відшукання первісної для даної функції називається інтегруванням. Таким чином, невизначений інтеграл - це множина всіх функцій, похідна яких дорівнює підінтегральній функції, а диференціал дорівнює підінтегральному виразу.

Базовою для інтегрального числення є така теорема: ТЕОРЕМА 2. Якщо функція неперервна, то для неї існує

1.2. Основні властивості невизначеного інтеграла ТЕОРЕМА 3. (Властивість 1) Похідна від невизначеного

інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

а тому (∫ f ( x )dx)′ = (F ( x ) + C )′ = (F ( x ))′ + (C )′ = f ( x ) .

Отже похідна від первісної дорівнює підінтегральній функції.

ТЕОРЕМА 4. (Властивість 2) Диференціал від невизначе-

313

d(∫ f ( x )dx)= d(F( x ) + C ) = d(F( x )) = F′( x )dx = f ( x )dx .

ТЕОРЕМА 5. (Властивість 3) Невизначений інтеграл від

диференціала деякої функції F(x) дорівнює цій функції з точністю до довільної сталої,

Доведення. Продиференціюємо ліву і праву частини рівності.

Одержимо: d ∫d(F ( x )) = d(F ( x )) = f ( x )dx і

d( F( x ) + С ) = d( F( x )) = F′( x )dx = f ( x )dx .

Праві частини рівностей однакові. Значить рівні й ліві. Теорему доведено.

Аналогічно, диференціюванням лівої і правої частин рівності, доводяться теореми 6 і 7.

ТЕОРЕМА 6. (Властивість 4). Сталий множник можна ви-

носити за знак невизначеного інтеграла.

ТЕОРЕМА 7. (Властивість 5) Інтеграл від алгебраїчної су-

ми скінченого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій

1.3. Таблиця невизначених інтегралів

Інтегрування є операція, обернена до диференціювання. Тому формули інтегрування отримують з формул для знаходження похідних. А універсальність застосування формул інтегрування випливає з теореми про незалежність вигляду невизначеного інтеграла від вибору аргументу (інваріантність невизначеного інтеграла відносно змінної інтегрування ).

ТЕОРЕМА 8. Нехай f(x) – деяка неперервна функція на даному проміжку, х – незалежна змінна, F(x) – її первісна,

∫ f ( x )dx = F( x ) + C і нехай u = ϕ( x ) неперервно диференційо-

вана функція. Тоді ∫ f ( u )du = F( u ) + C . (6.9)

Доведення. Розглянемо інтеграл ∫ f ( u )du = ∫ f ( u )u′dx . В цьому випадку складна функція F( u ) = F( ϕ( x )) є первісна для f(u).

314

Отже формулами інтегрування можна користуватись при будь-якій змінній інтегрування. Використовуючи таблицю диференціалів основних елементарних функцій, виведемо деякі формули інтегрування. Інші виводяться аналогічно.

315

5) ∫ undu = un+ 1 + C , ( n ≠ −1 ) . n + 1

Для виведення цієї формули використовують формулу для знаходження диференціала dun = nun− 1du . Якщо показник степеня дорівнює n+1 формула запишеться так: dun+ 1 = ( n + 1 )undu .

Інтегруючи цю формулу (ліву і праву частину) і, зробивши перетворення, одержимо

доводяться диференціюванням лівої і правої частин рівності. Такий метод доведення формул можна використовувати для

будь-якої формули інтегрування.

7) Доведемо справедливість формули ∫ 1х dx = ln х + C .

316

Для компактності всі формули зводять в таблицю.

ТАБЛИЦЯ ОСНОВНИХ ІНТЕГРАЛІВ

1.4.Методи обчислення інтегралів

◙Безпосереднє інтегрування

Безпосереднє інтегрування, це метод, який полягає в прямому застосуванні табличної формули і властивостей невизначеного інтеграла.

Приклад 1. ∫ sin xdx = − cos x + C .

Використали формулу ∫ sin udu = − cos u + C .

317

Для знаходження цього інтеграла використано формулу

В даному випадку, після елементарних перетворень,

uα + 1

інтегруємо за формулою ∫ uα du = α + 1 + C ,α ≠ 1 .

◙Метод розкладу

Метод розкладу полягає в тому, що інтеграл розкладають на суму ( різницю ) табличних інтегралів.

Приклад 4.

ln 2

При інтегруванні цього виразу враховано те, що сталий множник виноситься за знак інтеграла, а також те, що сума довільних сталих інтегрування є теж стала і її записують як одну.

◙Метод підстановки ( метод заміни змінної).

Метод полягає в тому, що вводиться нова змінна x = ϕ( t ) , або t = ψ( x ) . Вдалою заміною часто вдається суттєво спростити

інтеграл і навіть звести його до табличного.

Нехай x = ϕ( t ) - диференційована функція від t, похідна ϕ′( t ) якої зберігає знак на проміжку інтегрування.

Формулу заміни змінної ∫ f ( x )dx = ∫ f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt одержу-

ємо на основі властивості інваріантності невизначеного інтеграла (теорема 8) і, врахувавши, що dx = ϕ′( t )dt . Для доведення проди-

ференціюємо праву і ліву частини формули d ∫ f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt = f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt .

d ∫ f ( x )dx = f ( x )dx = f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt . Формула доведена.

318

Приклад 5. Знайти ∫ tg( x − 3 )dx .

Розв’язування. При інтегруванні даного виразу вводимо замі-

ну t=cos(x-3). Тоді dt=dcos(x-3)= -sin(x-3)dx. Одержуємо

Приклад 6. Знайти ∫e x 2 + 3 xdx .

Розв’язування. Вводимо заміну x2 + 3 = t . Визначаємо

dt = 2 xdx . Врахувавши, що xdx = dt , одержуємо

2

Розглянемо ще дві важливі формули, які суттєво пришвид-

Виведемо їх. Якщо ∫ f ( u )du = F ( u ) + C і u = ax + b -

лінійна функція від х, то du = d( ax + b ) = adx . Підставивши в вираз для інтеграла, одержимо ∫ f (ax+b)d(ax+b) = a∫ f (ax+b)dx=F(ax+b)+C .

Зостанньої рівності випливає, що

∫f ( ax + b )dx = 1 F ( ax + b ) + C .

a

319

◙Метод інтегрування частинами

Нехай задано дві неперервно диференційовані функції u(x) i

Застосовуючи цю формулу, підінтегральний вираз f ( x )dx

подають у вигляді добутку множників u і dv . Для даного методу має велике значення правильний вибір функцій u і v. Необхідно, щоб множник dv був виразом, який інтегрується. Є декілька видів інтегралів, для яких правила вибору функцій u і v відомі.

а) ∫ Pn ( x )eαxdx , ∫Pn( x )sin(αx )dx, ∫ Pn ( x )cos(αx )dx .

Підінтегральний вираз містить добуток многочлена на тригонометричну, або многочлена на показникову функції. Вибираємо за u многочлен, а за dv - вираз, що залишився.

Приклад 9. Обчислити ∫ x sin 3 xdx .

Розв’язування. Застосовуємо метод інтегрування за частинами

(6.19): ∫udv= uv− ∫vdu. Вибираємо: u=x, dv=sin3xdx.

б) ∫ Pn ( x )ln xdx , ∫Pn( x )arcsinxdx, ∫ Pn ( x )arccosxdx ,

∫ Pn( x )arctgxdx, ∫ Pn ( x )arcctgxdx .

Підінтегральний вираз - добуток многочлена на логарифмічну або многочлена на аркфункцію. За dv беремо добуток многочлена на dx, а за u логарифмічну або аркфункцію.

Приклад 10. Обчислити ∫ arctg xdx

Розв'язування. За u беремо arctgx , за dv - dx. Тоді

320