VM_pidr

на, то для С1 і С2 справді знайдемо потрібні значення.

Таким чином, з розв’язку y = С1 y1 + С2 y2 можна знайти будь-

який частинний розв’язок, тобто розв’язок, що відповідає будь-яким початковим умовам, а це означає, що розв’язок y = С1 y1 + С2 y2 є

загальним розв’язком рівняння (7.24).

3.2Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку

Означення. Лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння :

де функція f(x) називається правою частиною рівняння.

Рівняння y''+ p( x )y'+ g( x )y = 0 , яке одержується із рівнян-

ня(7.27), коли f(x)=0, називається однорідним рівнянням, що відповідає рівнянню (7.27).

ТЕОРЕМА ( про структуру розв’язку неоднорідного диференціального рівняння). Загальний розв’язок неоднорідного ди-

ференціального рівняння другого порядку дорівнює сумі загального розв’язку відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння і будь-якого частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку.

Надалі будемо користуватись позначенням:

де у - загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку; yз.о. - загальний розв’язок відповід-

371

ного однорідного диференціального рівняння; yч.н. - будь-який час-

тинний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння. Доведення. Знайдемо похідні:

задовольняє будь-які початкові умови (з певної області їх визначення), можна знайти з функції y = yз.о. + yч.н. . Отже, ця функція є за-

гальним розв’язком. Довести це твердження можна аналогічно до доведення такого ж твердження для відповідного однорідного рівняння, яке ми привели вище, тому тут на цьому доведенні не зупиняємось.

3.3. Метод варіації довільних сталих

Розглянемо метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа) для знаходження частинного розв’язку неоднорідного диференціального рівняння.

Суть цього методу полягає в наступному: щоб знайти частинний розв’язок неоднорідного лінійного рівняння (7.27), досить у ви-

372

Доведемо це твердження.

Запишемо розв’язок диференціального рівняння у вигляді:

y=C1y1(x)+C2y2(x)

Знайдемо похідну:

Ми хочемо визначити дві функції C1(x) і C2(x).

Одне співвідношення між ними ми можемо вибрати довільним. Поставимо вимогу, щоб C1(x) і C2(x) задовольняли рівність

розв’язок, бо за нашим припущенням y1(x) та y2(x) -лінійно незалежні розв’язки однорідного рівняння.

С1 , С2 - довільні сталі. Підставимо знайдені С1 ( x ) і С2 ( x ) в

373

співвідношення y = С1 ( x )y1 ( x ) + С2 ( x )y2 ( x ) і отримаємо загальний розв’язок диференціального рівняння (7.27).

Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння y′′ − y′ = x x

Розв’язування. Знайдемо загальний розв’язок цього рівняння методом варіації довільних сталих. Знайдемо загальний розв’язок

де p,g- сталі числа, називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку з сталими коефіцієнтами.

Знайдемо загальний розв’язок цього рівняння. За теоремою про структуру загального розв’язку лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку маємо: y=C1y1(x)+C2y2(x),

де y1(x),y2(x) - лінійно незалежні частинні розв’язки.

374

Частинний розв’язок рівняння (7.29) будемо шукати у вигляді y = ekx , k - стала , яку треба знайти.

Знайдемо y′ = kekx , y′′ = k 2ekx і підставимо в рівняння (7.29),

Рівняння (7.30) називається характеристичним рівнянням для диференціального рівняння (7.29).

Позначимо через k1 ,k2 - корені характеристичного рівняння. При розв’язанні характеристичного рівняння, яке є квадратним рів-

k1,2 = α ± βi , ( D < 0 ) .

Розглянемо кожен випадок окремо.

1)Корені характеристичного рівняння дійсні, різні: k1 ≠ k2 . Частинними розв’язками рівняння (7.29) в цьому випадку бу-

розв’язок диференціального рівняння запишеться: y = C1ex + C2e−2 x . 2) Корені характеристичного рівняння дійсні, рівні: k1 = k2 . Один частинний розв’язок може бути y1 = ek1 x .

375

Розв’язок ek2 x лінійно залежний з першим ek1 x , тому його розглядати в якості другого частинного розв’язку не можна. Будемо

шукати другий частинний розв’язок у вигляді y2 = u( x )ek1 x , де u( x )- невідома функція, яку можна знайти.

Розв’язування. Характеристичне рівняння k 2 − 4k + 4 = 0 , корені якого k1 = k2 = 2 - дійсні, рівні.

Загальний розв’язок диференціального рівняння буде:

y= C1e2 x + C2 xe2 x = e2 x ( C1 + C2 x ) .

3)Корені характеристичного рівняння комплексні числа. Якщо дискримінант характеристичного рівняння D < 0 , то

дійсних коренів це рівняння не має.Введемо поняття комплексного

376

числа. Будь-яке комплексне число можна представити у вигляді: z = α + βi де i = − 1 або i2 = −1.

При цьому α - називається дійсною частиною комплексного числа; β - уявною частиною комплексного числа .

Числа z = α + βi та z = α − βi називаються комплексно

спряженими числами.

Повернемось тепер до розв’язання характеристичного рівняння (7.30), дискримінант якого менший нуля. Тоді його корені будуть комплексно спряженими числами, тобто k1,2 = α ± βi .

У випадку, коли k1 = α + βi , розв’язок диференціального

рівняння буде y1 = e( α + βi )x = eαx eiβx .

Якщоалгебраїчнерівнянняздійснимикоефіцієнтамимаєкорінь k1 = α + βi , то воно має і спряжений з ним корінь k2 = α − βi ,

а тому y2 = e( α −βi )x = eαx e− iβx .

За формулами Ейлера : e± xi = cos x ± i sin x ,запишемо функції y1 та y2 у вигляді:

y1 = eαx (cosβx + i sinβx ) = eαx cosβx + ieαx sinβx , y2 = eαx (cosβx − i sinβx ) = eαx cosβx − ieαx sinβx .

Далі використаємо таку теорему.

Теорема. Якщо диференціальне рівняння (7.29) має розв’язком функцію u( x ) + iv( x ) , то кожна з функцій u( x ) і

v( x ) є розв’язком рівняння (7.29).

Доведення. Дійсно, підставимо функцію u( x ) + iv( x ) в

рівняння (7.29), маємо

( u( x ) + iv( x ))′′ + p( u( x ) + iv( x ))′ + q( u( x ) + iv( x )) ≡ 0 або ( u′′ + pu′ + qu ) + i( v′′ + pv′ + qv ) ≡ 0 .

Але комплексна функція дорівнює тотожно нулю тоді і тільки

тоді, коли рівні нулю її дійсна і уявна частини, тобто: u′′ + pu′ + qu = 0 ,

v′′ + pv′ + qv = 0.

А це означає, що u( x ) і v( x ) є розв’язками рівняння (7.29).

377

На основі доведеної вище теореми, частинними розв’язками

y x = 0 = 0 , y′ x = 0 = 1 .

Розв’язування. Шукаємо спочатку загальний розв’язок. Для цього складаємо характеристичне рівняння і розв’язуємо його:

корені комплексно спряжені числа. Загальний розв’язок запишеться: y = e− x ( C1сos2 x + C2 sin 2 x ) .

Знайдемо частинний розв’язок, використовуючи початкові умови :

звідки y = 1 e− x sin 2 x.

2

3.5 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами

Означення. Рівняння

неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку з сталими коефіцієнтами.

За теоремою про структуру розв’язку лінійного неоднорідного

378

рівняння другого порядку загальний розв’язок рівняння (7.34) є сумою загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і будьякого частинного розв’язку неоднорідного рівняння. Це твердження записано формулою (7.28): y = yз.о. + yч.н. .

Загальний розв’язок однорідного рівняння ми детально розглянули вище. Тепер перейдемо до знаходження частинного розв’язку неоднорідних рівнянь із спеціальною правою частиною, розв’язок яких можна знайти не вдаючись до інтегрування.

379

( yч.н. )′′ = 4e2 x ( Ax + B ) + 2e2 x A + 2e2 x A = 4e2 x ( Ax + B ) + 4 Ae2 x

Підставляємо yч.н. , ( yч.н. )′ та ( yч.н. )′′ у рівняння (7.35), одержимо

8Axe2 x + 8Be2 x + 8Ae2 x − 2Axe2 x − 2Be2 x − Ae2 x − Axe2 x − Be2 x = 4xe2 x .