VM_pidr

Отже, ціна не підлягає зміні.

Взагалі кажучи, функція пропозиції – зростаюча, а тому b > 0; а функція попиту – спадна, і тому a < 0. Звідки b < 0. Знак

p0 ,− p0 , p0 , ...

В цьому випадку кажуть, що коливання ціни періодичні.

Кажуть, що коливання ціни зростає.

401

Розділ 8. РЯДИ

Поняття суми скінченої кількості чисел і її властивості відомі ще з давніх часів. Шукаючи суму геометричної прогресії, математик і механік Стародавньої Греції Архімед зустрівся з нескінченними рядами.

Для детального вивчення функції рядами систематично користувались англійський математик, механік, фізик, астроном І.Ньютон та великі німецькі вчені Г.Лейбніц і К. Гаусс.

Однак точна теорія рядів, в основі якої лежали поняття границі послідовності, була побудована на початку 19 ст. французьким математиком О.Коші. З цього часу ряди стали основним джерелом дослідження в математиці. З’явились цілі розділи математики, повністю побудовані на теорії рядів.

Методи цього розділу застосовуються для знаходження наближених значень інтегралів, які часто зустрічаються в теорії ймовірностей та у страховій справі, і не можуть бути виражені елементарними функціями; при розв’язуванні диференціальних рівнянь; при знаходженні наближених значень функцій, які використовуються при розв’язуванні економічних задач.

§1. Числовий ряд та його збіжність. Ряд геометричної прогресії

Нехай задана нескінченна послідовність чисел

ном цього ряду і позначається un.

Ряд вважається заданим, якщо відомо правило , за яким для довільного номера n можна записати відповідний член ряду. Загальний член ряду можна задати формулою un=f(n), з допомогою якої записується довільний член ряду.

402

Якщо відомо декілька членів числового ряду, то зрозумівши закономірність їх утворення, можна записати загальний член ряду.

Наприклад, задано чотири перших члени ряду

Як бачимо, чисельники кожного члена ряду є натуральними числами. Знаменник першого члена ряду 100=1. Кожен знаменник наступного члена більший від попереднього в 10 разів. Таким чи-

і назвемо n-ою частинною сумою ряду.

Утворимо тепер послідовність частинних сум ряду:

S1 = u1 ,

S2 = u1 + u2 ,

...............................

Sn = u1 + u2 + ...+ un .

Означення. Якщо при n→∞ існує границя послідовності

частинних сум Sn членів даного ряду lim Sn = S , то ряд

n→∞

називається збіжним, а число S - його сумою.

403

Записують це так:

називається n -им залишком ряду.

404

Залишок Rn ряду являє собою ту похибку, яка одержиться, якщо замість наближеного значення суми ряду S взяти суму Sn перших n членів цього ряду. Але оскільки S є границя змінної Sn, то

А тому, взявши достатньо велике число членів збіжного ряду, можна суму цього ряду обчислити з любою точністю.

Звідси випливає, що основною задачею теорії рядів є дослідження збіжності ряду.

В наступному прикладі покажемо застосування ряду нескінченно спадної геометричної прогресії в економічних дослідженнях.

Приклад. Нехай I0- початкові інвестиції, вкладені в замкнуту економічну систему, а q- доля національного доходу, яка йде на споживання, то в моделі Кейнса [23] вартість національного при-

Права частина рівності (8.6) є не що інше як сума ряду нескінченно спадної геометричної прогресії із знаменником q < 1 і

Ця формула може бути використана для знаходження зміни вартості національного прибутку в залежності від початкових інвестицій I0 та її долі q , що йде на споживання.

§2. Гармонічний ряд

405

Додавши почленно ці нерівності, одержимо

збігається, то його n -ий член un при необмеженому зростанні номера n прямує до нуля.

Доведення. Ми маємо Sn− 1 = u1 + u2 + u3 + ...+ un− 1 і

Sn = u1 + u2 + u3 + ...+ un− 1 + un . Звідси un = Sn − Sn− 1 . Оскільки

потрібно було довести.

Приклад. Дослідити збіжність числового ряду

406

Відмітимо, що lim un = 0 є лише необхідною умовою

n→∞

збіжності числового ряду, але не достатньою. Це означає, що дана умова може виконуватися, але відповідний числовий ряд може бути розбіжним.

Як бачимо, необхідна умова для цього ряду виконується:

Існує декілька ознак, які дозволяють стверджувати збіжність або розбіжність числових рядів.

§4. Достатні ознаки збіжності числових рядів

здодатними членами

4.1.Ознака порівняння рядів ТЕОРЕМА. Якщо кожний член ряду

з додатними членами менший (або рівний) відповідного члена

збіжного ряду

з додатними членами, то ряд (8.10) збігається.

Якщо кожний член ряду (8.10) більший (або рівний) відповідного члена розбіжного ряду (8.11), то ряд (8.10) розбігається.

Доведення. Нехай un ≤ vn і ряд (8.11) збігається. Складемо суми перших n членів рядів (8.10) і (8.11):

407

Sn( 1 ) = u1 + u2 + ...+ un , Sn( 2 ) = v1 + v2 + ...+ vn .

Оскільки u1 ≤ v1 ,u2 ≤ v2 ,...,un ≤ vn ,..., то Sn( 1 ) ≤ Sn( 2 ) .

Ряд (8.11) збігається, то lim S( 2 ) = S( 2 ) . Звідси випливає, що

n→ ∞ n

Sn( 1 ) < S( 2 ) .При необмеженому зростанні номера n послідовність сум Sn( 1 )( n = 1,2,3,.., ), як зростаюча послідовність і обмежена зверху числом S ( 2 ) , має границю S( 1 ) ≤ S( 2 ) ,тобто

lim S( 1 ) = S( 1 ) ≤ S( 2 ) , а тому ряд (8.10) також збігається.

n→∞ n

Нехай un ≥ vn і ряд (8.11) розбігається. Тоді в силу нерівностей u1 ≥ v1 ,u2 ≥ v2 ,...,un ≥ vn випливає, що Sn( 1 ) ≥ Sn( 2 ) . Але

оскільки lim S( 2 ) = ∞, то S ( 1 ) також буде необмежено зростати ,

n→∞ n n

Розв’язування. Порівняємо даний ряд з нескінченно спадною геометричною прогресією

спадної геометричної прогресії є збіжним рядом, то згідно з ознакою порівняння рядів вихідний ряд буде збіжним.

Як було показано вище, гармонічний ряд розбігається, отже даний ряд розбігається також.

408

4.2. Ознака Даламбера

ТЕОРЕМА. Нехай всі члени ряду u1 + u2 + ...+ un + ... дода-

тні і нехай при необмеженому зростанні номера n границя відношення ( n + 1 ) − го члена до n -го існує і дорівнює деякому чи-

Тоді :

1.Якщо l < 1 , то ряд збіжний.

2.Якщо l > 1 , то ряд розбіжний.

3.Якщо l = 1 , то ознака не дає відповіді на питання про збіжність або розбіжність ряду, тобто ряд в даному випадку може як збігатися , так і розбігатися.

Доведення. Нехай маємо ряд

Тоді при достатньо великому n, тобто при n не меншому деякого числа N маємо:

un+ 1 − l < ε , де ε - як завгодно мале додатне число. Звідси un

l − ε < un+ 1 < l + ε як тільки n ≥ N . un

а) Нехай l<1. Ми зможемо вибрати число ε настільки малим, що l+ε також буде менше одиниці, тоді, поклавши l+ε=q, одержимо:

Отже,

uN + 1 < quN ,uN + 2 < uN + 1q < q2uN ,uN + 3 < uN + 2q < q3uN ,... .

Звідси випливає, що члени ряду uN +1 + uN + 2 + .... ., які пред-

ставляють N- ий залишок ряду (8.12), менші відповідних членів нескінченно спадної геометричної прогресії

quN + q2uN + q3uN + ... (знаменник q < 1 ).

Цей ряд збіжний, отже ряд (8.12) збіжний.

409

б) Нехай l > 1 . Тоді можна підібрати N таким, що при n ≥ N

лась більшою 1. Тоді кожний наступний член ряду буде більшим за попередній, а це суперечить необхідній ознаці збіжності ряду.

Отже, ряд розбігається.

в) В тому випадку, коли границя l=1, ознака Даламбера не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду. Ряди можуть бути як збіжними так і розбіжними.

Приклад 1. Дослідити збіжність ряду

Оскількиl=∞, тозаознакоюДаламберачисловийрядрозбігається.

410