Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

VM_pidr

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

2.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 4944 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

an+1

n!an

( n + 1 )!an+1

R = lim

( n + 1 )!an+1

= lim( n + 1 ) a = ∞ , при будь-якому

n→∞ n!an

n→∞

a ≠ 0.

Отже, область збіжності ряду буде ( −∞ ,∞ )

§11. Застосування степеневих рядів до наближених обчислень

Одержані розклади деяких функцій в степеневі ряди в §10,11 дають можливість наближено обчислювати значення функції, визначені інтеграли, границі функції і т.д.

Приклад 1. Обчислити cos 5 , обмежившись двома членами розкладу.

Розв’язування. Використаємо формулу розкладу cos х в ряд за

зростаючими степенями x :

cos х = 1 −

− ... .

Переведемо 5 в радіанну міру: 5

180

Тоді

cos 5

≈ 1 −

(

)2 .

Підставивши замість

π ≈ 3,14159, одер-

жимо

cos 5

≈ 0,9962.

Приклад 2. Обчислити число e .

Розв’язування. Використаємо розклад функції ex в ряд Мак-

лорена:

e x

= 1 +

+ ... .

Поклавши x = 1 ,

одержимо e = 1 + 1 +

+ ... . Якщо за набли-

жене значення числа e

взяти суму перших семи членів цього ряду

e ≈ 1 + 1 +

, то одержимо e ≈ 2,718.

720

120

431

Приклад 3. Обчислити 5 1,1 з точністю до 0,001. Розв’язування. Використаємо формулу біноміального ряду

( 1 + x )m = 1 + mx + m( m − 1 ) x2 + ... .

		1!				2!
Якщо x = 0,1, m =			1	, то одержимо
Якщо x = 0,1, m =				, то одержимо
		5
1								1	(	1	− 1 )
1					1				(		− 1 )
5 1,1 = ( 1 + 0,1 )		= 1 +				0,1 +	5 5					0,01 + ... = 1 + 0,02 − 0,0008 ≈
	5						5 5
	5
		5				2!
≈ 1,019.

Оскільки в знакопереміжному ряді із спадними по абсолютній величині членами Rn < un+1 , то похибка в наших обчисленнях не пере-

вищує 0,0008, що забезпечує необхідну точність.

Приклад 4. Обчислити3 130 , обмежившись двома членами розкладу.

Розв'язування. Запишемо число 3 130 у вигляді

3 130 = 3 125 + 5 = 5( 1 + 1 )13 .

																				25
	У нашому випадку ,									поклавши в біноміальному ряді x =																			1	,
	У нашому випадку ,									поклавши в біноміальному ряді x =																				,
																									25
m =	1	, матимемо 3 130 ≈ 5( 1 +											1		1		) = 5			1	.
m =		, матимемо 3 130 ≈ 5( 1 +													25		) = 5			15	.
3										3					25					15
	Приклад 5. Обчислити ln10 , обмежившись трьома членами
розкладу.
	Розв'язування. Число ln10 представимо так:,
ln 10 = ln( 23 + 2 ) = ln 23 ( 1 +											1	) = 3 ln 2 + ln( 1 +										1		. Поклавши у фор-
ln 10 = ln( 23 + 2 ) = ln 23 ( 1 +												) = 3 ln 2 + ln( 1 +												. Поклавши у фор-
										4										4 )
мулі ln( 1 + x ) = x −							x2	+	x	3	− ... значення									x = 1, x =						1	, одержимо
мулі ln( 1 + x ) = x −							2	+	3		− ... значення									x = 1, x =					4		, одержимо
							2		3																4
1					1					1					1					1					1
ln 2 = 1 −				+		− ... ≈ 0,693, ln( 1 +										) =			−				+					− ... ≈ 0,219.
ln 2 = 1 −			2	+	3	− ... ≈ 0,693, ln( 1 +								4		) =		4	−	2 42			+	3 43				− ... ≈ 0,219.

Тоді ln 10 = 2,019 + 0 ,219 = 2,298.

432

Приклад 6. Обчислити визначений інтеграл ∫ sinx xdx, обме-

жившись чотирма членами розкладу функції sin x.

Розв’язування. Оскільки невизначений інтеграл ∫ sinx x dx, не

може бути виражений в елементарних функціях і формулу Ньюто- на-Лейбніца не можна використати, даний інтеграл обчислимо наближено, використовуючи теорію рядів. Розділимо праву частину

розкладу функції sin x

в ряд

sin x = x −

−

+ ... на х і проінтегруємо одержаний вираз:

sin x

∫

dx =

∫( 1 −

−

+ ...)dx = ∫dx −

∫ x2dx +

∫ x4dx −

1 −

1 +

1 −

1 + ... =

−

∫ x6dx + ... = x

5!5

3!3

7!7

= 1 −

−

+ ... ≈ 0,9461.

5!5

7!7

3!3

0 ,3

Приклад 7. Обчислити

∫ e− x 2 dx.

Розв’язування. Замінивши в рівності e x

= 1 +

+ ...

x на ”- x2 ”

і проінтегрувавши в межах від 0

до 0,3, одержимо

0 ,3

0,3

∫ e− x

dx =

∫

( 1 − x2 +

−

+ ...)dx =

x −

−

≈ 0,291.

Приклад 8. Знайти lim

sin x − arctgx

x→0

Розв’язування. Оскільки sin x = x −

−

+ ... ,

arctgx = x −

− ..., то

433

sin x − arctgx

x −

−

... − x +

−

+ ...

lim

= lim

x→0

= lim

(

−

) −

(

−

+ ...

x→0

Приклад 9. Знайти розв’язок диференціального рівняння

y′′ + xy′ + y = x cos x,

(8.54)

який задовольняє початковим умовам

y( 0 ) = 0;

y′( 0 ) = 1 .

(8.55)

Розв’язування. Шукаємо розв’язок

y у вигляді ряду

y = a0 + a1 x + a2 x2 + ...+ an xn + ....

(8.56)

Знайшовши похідну

y′

і використавши (8.55),

одержимо

a0 = 0; a1 = 1.

Тоді

y = x + a2 x2 + +an xn + ...

Продиференціювавши розклад y два рази, одержимо:

y′ = 1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 + ...

y′′ = 2a2 + 3 2a3 x + 4 3a4 x2 + ...

Підставивши y, y′, y′′ в (8.54) і замінивши cos x

його розк-

ладом (8.48), знаходимо:

2a2 + 2 3a3 x + 3 4a4 x2 +... + x( 1 + 2a2 x + 3a3 x2 + ...) +

+ x + a2 x2 + a3 x3 + ... = x( 1 −

− ...).

Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях x , одер-

жимо:

2a2 = 0

2 3a3 + 2 = 1

х2

3 4a4 + 2a2 + a2 = 0

х3

4 5a5

+ 3a3

+ a3 = −

5 6a6 +4a4 + a4 = 0

х4

х5

6 7a7

+ 5a5

+a5

434

Звідси випливає, щоa2					= a4			= a6				= a8	= ... = 0;
	1					1				1					1
a3 = −		, a5 =						−				− 4a3		=			,
	3!				4					2!					5!
							5
	1		1							1				1	(8.57)

a7 =				− 6a5			= −				,	a9 =				,...
			4!						7!					9!
6	7

Підставивши постійні (8.57) в розклад (8.56) маємо:

	x3		x5		x7
y = x −		+		−		+ ..., що відповідає розкладу функції y = sin x
y = x −	3!	+	5!	−	7!	+ ..., що відповідає розкладу функції y = sin x
	3!		5!		7!
по степенях x.
Перевірка. Підставимо y = sin x,							y′ = cos x, y′′ = − sin x у
рівняння (8.54):
− sin x + x cos x + sin x = x cos x,							x cos x = x cos x.

Розв’язок рівняння (8.54) знайдено правильно.

435

ДЕЯКІ ОЗНАЧЕННЯ І ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

Алгебра

Формули скороченого множення і розклад на множники

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ,

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 ;

a2 − b2 = (a + b)(a − b) , a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2 ),

xn − an = (x − a)(xn− 1 + axn− 2 + a2 xn− 3 + ...+ an− 1 ).

Для квадратного тричлена ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) , де

і x2 - корені рівняння:

ax2 + bx + c = 0 .

Степені й корені

(a p )q = a pq ,

an = a a ... a .

a p aq

= a p+ q ,

a p : aq = a p− q ,

a p

p a

= (ab)

− p

, a

= 1 , a

= a , a

b p

p b

a p

n a = b => bn = a , p a p b = p ab , pk aqk = p aq , p aq = (p a )q ,

p aq = aq / p .

= p a ,

Квадратне рівняння

ax2 + bx + c = 0 ;

(a ≠ 0) ; x1,2 = − b ±

D ,

D = b2 − 4ac .

D > 0 → x1 ≠ x2 ; D = 0 → x1 = x2

D < 0 → немає коренів в R .

Теорема Вієта: якщо x1

і x2

- корені рівняння

ax2 + bx + c = 0 , то x1 + x2 = −b / a ; x1 x2 = c / a .

Зведене квадратне рівняння:

а=1,

x2 + px + q = 0 , якщо x1 і x2

- корені, то x1 + x2 = − p ,

x1 x2 = q .

Якщо p = 2k ( p - парне число) і x2 + 2kx + q = 0 , то

x1,2 = −k ± k 2 − q .

Логарифми

loga x = b => ab = x ; a > 0

a ≠ 1 ;

aloga x

= x ; loga a = 1 ;

436

loga 1 = 0 , loga xy = loga x + loga y , loga xk = k loga x

loga	x	= loga x − loga y , (x > 0) ( y > 0) ;	log	k x =	1	loga x ; (x > 0)

	y		a		k

loga x = logc x ; (c > 0 ,c ≠ 1) log10 x = lg x ; loge x = ln x logc a

Прогресії

Арифметична {an}÷

an = an−1 + d , 2an = an− 1 + an+ 1

, an = a1 + d(n − 1) , Sn

a1 + an

n ,

2a1 + d(n

− 1)

= a1 + a2 + ...+ an

Геометрична ÷ ÷{bn}

b = b

q , b2

= b

+ 1

, b = b qn− 1 ,

n− 1

b q − b

Sn =

b (qn

− 1)

, якщо

< 1 ,

n → ∞ ,

q − 1

− q

Тригонометрія

sinα =

; cos α =

;

sin α

cosα

tgα =

; ctgα =

;

cos α

sinα

P(x;y)

sinα = y ,

R=1

cos α = x

sin

cos

ctg

437

Значення тригонометричних функцій

0°

30°

45°

60°

90°

π/6

π/4

π/3

π/2

sin

cos

не існує

сtg

не існує

Формули зведення

3π

π ± α

π α

2π − α

sinβ

cosα

± sinα

− cosα

− sinα

cosβ

sinα

− cos π

sinα

cosα

± ctgα

− tgα

ctg

± tgα

− ctgα

ctg

Формули перетворення

sin2 α + cos2 α = 1 ; tgα ctgα = 1 ;

1 + tg2α = sec2 α ; 1 + ctg2α = cos sec2 α ;

sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ ;

cos(α ± β) = cosα cosβ sinα sinβ ;

tg(α ± β) =

tgα ± tgβ

; ctg(α ± β) =

ctgα ctgβ 1

;

1 tgαtgβ

ctgα ± ctgβ

sin 2α = 2 sinα cos α =

2tgα

;

+ tg2α

cos 2α = cos

α − sin

α =

1 − tg2

;

+ tg2

tg2α =

2tgα

; ctg2α =

ctg2α − 1

;

1 − tg2α

2ctgα

438


sin α = ±	1 − cosα		; cos α = ±			1 + cos α		;
sin α = ±	2		; cos α = ±					;
2	2			2	2
sinα ± sinβ = 2 sin α ± β cos α β ;
	2				2
cos α + cosβ = 2 cos α + β cos α − β ;
	2				2
cosα − cosβ = −2 sin α + β sin α − β ;
		sin( α ± β )		2	2		sin( β ± α )
tgα ± tgβ =		sin( α ± β )		; ctgα ± ctgβ =			sin( β ± α )		;
tgα ± tgβ =		cosα cosβ		; ctgα ± ctgβ =			sinα sinβ		;
		cosα cosβ					sinα sinβ

cosα cosβ = 1 [cos(α + β) + cos(α − β)];

sinα sinβ = 1 [cos(α − β) − cos(α + β)];

sinα cosβ = 1 [sin(α + β) + sin(α − β)];

sin 3α = 3 sinα − 4 sin3 α ; cos 3α = 4 cos3 α − 3cosα ;

Тригонометричні рівняння

sin x = a ;

≤ 1 ; k z

cos x = a ;

x = (− 1)k × arcsina + kπ ;

x = ± arccosa + 2kπ ;

a = 0 → x = kπ ;

a = 0 → x = π + kπ ;

a = 1 → x = π + kπ ;

a = 1 → x = 2kπ ;

a = −1 → x = π + 2kπ ;

a = −1 → x = − π + kπ ;

> 1 → x

tgx = a ;

m R ;

k z

ctgx = a ;

x = arctga + kπ ;

a = 0 → x = kπ ;

a = 0 → x = π + kπ ;

a = ±1 → x = ±

+ kπ ;

a = 1 → x = π + kπ ;

439

Формули площ фігур

Паралелограм

S = aha ; S = ab sinα .

b ha	(для ромба ще і S = d1 × d2 / 2 ,

де d1 і d2 - його діагоналі).

Трикутник

		S = ah	/ 2 ;		S = 1 ab sin γ ;
		a			2
b	c				2
b	c	S = abc / 4 R		;	S = pr ;
	ha	S = abc / 4 R		;	S = pr ;
	ha	S = p( p − a)( p − b)( p − c) ;
		S = p( p − a)( p − b)( p − c) ;
γ		p = a + b + c .
a		p = a + b + c .
		2

Трапеція

	a
		h	S =		a + b		× h
		h	S =				× h
				2
	b
	b
Круг
			S = πR2 - площа круга;
	R		S =	πR2		α
				360			- площа сектора.
	O	α					- площа сектора.
		α

Стереометрія

Паралелепіпед

V = Sосн × H ;

прямокутний: V = abc ;

c	b

440

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 4944 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.201638.3 Кб20visha_osvita_nimechchini.docx
#
01.05.20251.93 Mб1vishka.doc
#
01.04.20251.45 Mб1Vishka_shpori.docx
#
01.05.20252.58 Mб0vkazivky.doc
#
19.03.2015150.28 Кб20VKhnpu_psykhol_2012_42(1)__17.pdf
#
19.03.20152.73 Mб21VM_pidr.pdf
#
01.05.20251.35 Mб3Voitenko_Uchboviy Posibnyk.doc
#
01.04.20251.06 Mб4Volkotrub.doc
#
22.12.20181.25 Mб4voprosy.doc
#
17.04.201934.15 Кб1voprosy.docx
#
01.05.2025106.5 Кб0Voprosy30-35_38-41-1.doc