VM_pidr

Треба визначити сталі α 1 ,α 2 ,...,α n і k так, щоб функції

(7.45) задовольняли систему (7.44). Підставимо функції (7.45) в сис-

тему (7.44):

Скоротимо на ekt і перетворимо систему, звівши її до такої системи:

Ми одержимо нетривіальні (ненульові) розв’язки (7.45) тільки за таких k , за яких визначник перетвориться в нуль. Маємо рівняння n -го порядку для визначення k :

Це рівняння називається характеристичним рівнянням для

системи (7.44).

Розглянемо окремі випадки на прикладах:

1) Корені характеристичного рівняння дійсні і різні. Розв’язок системи записується у вигляді:

391

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок системи рівнянь:

Розв’язування .Складаємо характеристичне рівняння:

Загальний розв’язок системи буде:

x1 = С1et + С2e4t ,

x2 = − 1 С1et + С2e4 t .

2

392

2) Корені характеристичного рівняння різні, але серед них є комплексні: k1 = α + iβ , k2 = α − iβ. Цим кореням будуть відповіда-

ти розв’язки:

Можна довести також, що дійсні і уявні частини комплексного розв’язку також будуть розв’язками. Отже, одержимо два частинних розв’язки:

dx2 = −2 x − 5 x .dt 1 2

Розв’язування. Складаємо характеристичне рівняння:

α(11 ) = 1; α(21 ) = 1 + i ; α(12 ) = 1; α(22 ) = 1 − i .

Запишемо рівняння (7.47) і (7.48) для наших даних

x1( 1 ) = 1 e( −6 + i )t , x2( 1 ) = ( 1 + i )e( −6 + i )t , x1( 2 ) = e( −6 − i )t , x2( 2 ) = ( 1 − i )e( −6 − i )t .

Перепишемо ці розв’язки в такому вигляді: x1( 1 ) = e−6 t cos t + ie−6 t sin t ,

x2( 1 ) = e−6 t (cos t − sin t ) + ie−6 t (cos t + sin t ) , x1( 2 ) = e−6 t cos t − ie−6 t sin t ,

x2( 2 ) = e−6 t (cos t − sin t ) − ie−6 t (cos t + sin t ) .

393

За частинні розв’язки можна взяти окремо дійсні і окремо уявні частини:

Загальним розв’язком системи буде x1 = С1e−6 t cos t + С2e−6 t sin t ,

x2 = С1e−6 t (cos t − sin t ) + С2e−6 t (cos t + sin t ).

§5. Різницеві рівняння

5.1.Поняття різниці та різницевого рівняння

ницею першого порядку. Вона може розглядатись в свою чергу як функція від x , а тому і для неї можна визначити різницю:

f ( x ) = f ( x + 1 ) − f ( x ) = ( f ( x + 2 ) − f ( x + 1 ) −

− ( f ( x + 1 ) − f ( x )).

Введемо позначення f ( x ) = 2 f ( x ), тоді

2 f ( x ) = f ( x + 2 ) − 2 f ( x + 1 ) + f ( x ) і називається різни-

цею другого порядку.

Аналогічно можна знайти різниці третього, четвертого і т.д. порядків.

Визначимо різниці деяких найважливіших функцій. 1) Якщо f ( x ) = С, де С - стала величина, то

f ( x ) = f ( x + 1 ) − f ( x ) = С − С = 0.

Зрозуміло, що і всі різниці наступних порядків будуть також дорівнювати нулю.

2) Якщо f ( x ) = ax + b, то

394

f = f ( x + 1 ) − f ( x ) = a( x + 1 ) + b − ax − b = a.

Різниця першого порядку лінійної функції дорівнює сталій, а всі решта будуть дорівнювати нулю.

3) Якщо f ( x ) = ax2 + bx + c, то

f ( x ) = f ( x + 1 ) − f ( x ) = a( x + 1 )2 + b( x + 1 ) + c − ax2 − bx − c =

= ax2 + 2ax + a + bx + b + c − ax2 − bx − c = 2ax + a + b.

Оскільки різниця першого порядку є лінійною функцією, то різниця другого порядку – стала, а всі наступні різниці дорівнюють нулю.

4) Якщо f ( x ) = a x ,то

f ( x ) = f ( x + 1 ) − f ( x ) = a x+1 − a x = a x a1 − a x = ( a − 1 )a x .

В економічних дослідженнях часто зустрічаються задачі, в яких час t є незалежною змінною, а залежна змінна визначається

значення функції в момент, зсунутий на одну одиницю , наприклад,

Отже, будь-яку функцію

f ( yt , yt + 1 ,..., yt + n ,t ) = 0

можна подати у вигляді:

395

називається різницевим рівнянням n -го порядку.

Розв’язати різницеве рівняння n -го порядку – це означає знайти таку функцію yt , яка перетворює рівняння (7.50) або (7.51) в

тотожність.

Розв’язок, в якому є довільна стала, називається загальним; розв’язок , в якому стала відсутня, називається частинним.

Означення. Рівняння

де a0 ,a1 ,...,an сталі числа, називається неоднорідним різницевим

рівнянням n -го порядку з сталими коефіцієнтами.

Якщо в рівнянні (7.52) f(t)=0, то рівняння називається однорід-

ним різницевим рівнянням n-го порядку з сталими коефіцієнтами:

шого порядку з сталими коефіцієнтами a та b , а рівняння

ayt + byt−1 + cyt−2 = d - неоднорідне різницеве рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами a ,b,c.

ТЕОРЕМА 1. Якщо розв’язками однорідного різницевого рівняння (7.53) є y1 ( t ) і y2 ( t ) , то його розв’язком буде також

функція y1 ( t ) + y2 ( t ).

ТЕОРЕМА 2. Якщо y(t) є розв’язком однорідного різницевого рівняння (7.53), то його розв’язком буде також

функція Ay(t), де А – довільна стала.

ТЕОРЕМА 3. Якщо y( t ) - частинний розв’язок неоднорідного рівняння (7.52) і y( t , A1 , A2 ,..., An ) - загальний

розв’язок однорідного рівняння (7.53), то загальним розв’язком неоднорідного різницевого рівняння буде функція:

y( t ) + y( t , A1 , A2 ,..., An ).

Ці теореми схожі з теоремами для диференціальних рівнянь, які були наведені нами в попередньому розділі.

396

5.2. Різницеві рівняння першого порядку з сталими коефіцієнтами

Розглянемо неоднорідне різницеве рівняння

Нехай y( t ) - частинний розв’язок неоднорідного різницевого

рівняння (7.54). За теоремою (3) загальним розв’язком неоднорідного різницевого рівняння (7.54) буде функція

y( t ) = y( t ) + Aat .

Частинний розв’язок знайти неважко, якщо f ( t ) = α , де α - деяка стала. Насправді, якщо yt = u, де u - стала. Підставимо в рів-

5.3. Різницеві рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами.

Нехай задано неоднорідне різницеве рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами:

397

λt + aλt−1 + bλt−2 = 0. Оскільки λ ≠ 0 , то поділимо на λt − 2 , маємо

Це рівняння називається характеристичним рівнянням для рів-

няння (7.57).

Тут можуть мати місце такі три випадки:

1. D = a2 − 4b > 0 , тоді рівняння (7.58) буде мати два дійсні,

різні корені.

Загальний розв’язок рівняння (7.57) запишеться у вигляді:

yt = A1λt1 + A2λt2 ,

а загальний розв’язок неоднорідного рівняння (7.56) запишеться так:

Легко переконатися, що розв’язком рівняння (7.59) є також функція

а загальним розв’язком неоднорідного рівняння (7.56) функція

3. D = a2 − 4b < 0 , тоді характеристичне рівняння (7.58) має два комплексних спряжених корені:

398

Приклад 1. Розв’язати різницеве рівняння:

yt − 5 yt−1 + 6 yt−2 = 7.

Розв’язування. Запишемо відповідне йому однорідне рівняння : yt − 5 yt−1 + 6 yt−2 = 0.

Характеристичне рівняння λ2 − 5λ + 6 = 0 буде мати дійсні рі-

399

умові різницевого рівняння.

5.4.Приклади застосування різницевих рівнянь в економічних задачах

Приклад 1. Нехай деяка сума коштів видається під складний відсоток p , то до кінця t -го року її розмір буде складати:

Ціна рівноваги для даної продукції визначається рівністю:

f ( pt ) = ϕ( pt − 1 ),

а це різницеве рівняння першого порядку.

Покладемо, що функція попиту визначається формулою qt = apt , а функція пропозиції – формулою St = bpt − 1 .

400