Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

VM_pidr

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

2.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4933 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

∫ arctg xdx = xarctgx − ∫		x		dx =xarctgx −	1	ln	1 + x2	+ C .

		+ x	2
	1			2

в) ∫eαx sin(βx )dx , ∫eαx cos(αx )dx .

В цьому випадку вибір u і v несуттєвий.

Приклад 11. Знайти ∫e3 x sin xdx.

Розв'язування. Виберемо u= e3 x , а dv= sin xdx . Тоді du = 3e3 xdx , v = − cos x. Отже

∫e3 x sin xdx = −e3 x cos x + 3∫e3 x cos xdx ,

∫e3 x cos xdx - інтегруємо за частинами. Знову виберемо u= e3 x .

Тоді dv = cos xdx , v = sin x . Одержуємо

∫e3x sinxdx= −e3xсоsx+ 3e3x sinx − 9∫e3x sinxdx .

Шуканий інтеграл є в правій і в лівій частинах рівності. Ви-

значимо його: 10∫e3 x sin xdx = −e3 x cos x + 3e3 x sin x .

Отже	∫e3 x sin xdx = − e3 x cos x + 3e3 x sin x + C .
	10

Такі інтеграли інколи називають циклічними або коловими. При їх інтегруванні обов'язково за u двічі вибирати ту ж саму функцію.

Зауваження: В випадку, якщо підінтегральний вираз є добутком многочлена на одну з розглянутих функцій, можна інтеграл розкласти на суму декількох інтегралів. Наприклад,

∫( 2 х2 − 3х + 2 )е2 хdx =∫2 х2е2 хdx −∫3хе2 хdx + ∫2е2 хdx .

1.5. Інтегрування раціональних дробів

Функціями, які завжди інтегруються, є раціональні дроби. Не-

хай P( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn і

Q( x ) = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bm xm два многочлени з дійсними

коефіцієнтами. Вираз P( x ) називається раціональним дробом.

Q( x )

Якщо степінь чисельника менша за степінь знаменника, то дріб називається правильним. Якщо ж степінь чисельника більша

321

або дорівнює степеневі знаменника то дріб називається неправиль-

ним. Так, наприклад,	5 x3 − 4 x + 7	- правильний дріб, а дріб
	2 x5 − 6 x2

7 x5 − 5 x3 + 3x − 9 - неправильний.

6 x2 + 8 x − 4

Теорема Вейєрштраса про наближення. Будь-яку функцію f(x), неперервну на (а,b), можна з наперед заданою довільною похибкою замінити многочленом

P( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + ...+ an xn .

Тобто, практично, багато інтегралів можна звести до інтегрування раціональних функцій. З алгебри відомо, що всякий многочлен можна розкласти на добуток множників виду ( x − b ) та

( x2 + px + q ), так званих незвідних многочленів, де ( x2 + px + q ) –

квадратний тричлен, який немає дійсних коренів. І всякий правильний дріб можна розкласти на суму простих:

А	,	В	,	Мx + N	,	Mx+ N	.	(6.20)
x − b ( x − b )k				x2 + px + q ( x2 + px + q )r

Це роблять методом невизначених коефіцієнтів.

◙Метод невизначених коефіцієнтів

Метод невизначених коефіцієнтів дає алгоритм для знаходження коефіцієнтів розкладу правильного раціонального дробу на суму простих.

Нехай

P( x )

+ a x

+ a

x2 + ...+ a

Q( x )

( x − α )m ...( x − β )n ...( x2 + px + q )l ...( x2 + rx + s )t

+ ...+

x − α

( x − α )2

( x − α )m

x − β

( x − β )2

+ ...+

M1 x + N1

M2 x + N2

+ ...+

Ml x + Nl

( x2 + px + q )l

( x − β )n

x2 + px + q ( x2 + px + q )2

E1 x + F1

E2 x + F2

El x + Fl

...+

+ ...+

(6.21)

x2 + rx + s

( x2 + rx + s )2

( x2 + rx + s )t

Зводимо праву частину рівності до спільного знаменника. Прирівнюємо відповідні коефіцієнти чисельника лівої частини з коефіцієнтами чисельника правої. Отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Розв’язки її є коефіцієнтами розкладу.

322

Приклад 12.

5 x3 + 3x − 9

( x − 6 )2 ( x + 4 )( x2 + 3x + 11)3

x − 6

( x − 6 )2

( x + 4 )

M1 x + N1

M2 x + N2

M3 x + N3

x2 + 3x + 11

( x2 + 3x + 11 )2

( x2 + 3x + 11 )3

Це приклад розкладу правильного раціонального дробу на суму простих, де А1 , А2 , В, Мі , Nі -невизначені коефіцієнти.

Приклад 13. Знайти інтеграл ∫					9 х + 8		dx .
				х	3	10
	9 х + 8				+ х −
Розв’язування.		-	правильний дріб. Розкладаємо
	х3 + х − 10

знаменник на добуток незвідних множників:

х3 + х − 10 = ( х − 2 )( х2 + 2 х + 5 ) . Для рівняння х2 + 2х+ 5 = 0 , D=4-20<0. Тому рівняння немає дійсних коренів.

Отже

9 х + 8

Мх + N

х3

+ х −

х −

10 ( х − 2 )( х2 +

2 х + 5 )

х2 + 2 х + 5

Звівши до спільного знаменника і прирівнявши чисельники

одержимо: 9 х + 8 = ( А+ М )х2 + ( 2 А− 2М + N )x + 5 A − 2N .

Прирівнюючи відповідні коефіцієнти отримуємо:

А+ М = 0 ,

А = − М,

М + N = 9,

2 А− 2М + N =

9, − 4

5 А− 2 N = 8.

− 5 M − 2 N = 8.

N = 9 + 4 M ; − 13M − 18 = 8; − 13M = 26; M = −2; N = 1; A = 2 .

Ми одержали інтеграли від дробів (6.20). Отже:

∫

9х+ 8

dx =

∫(

− 2х+ 1

)dx = ∫

dx + ∫

− 2х+

х− 2

+ 2х+

х− 2

+ 2х

+ х− 10

Знайдемо, відповідні простим дробам (6.20) інтеграли, а потім завершимо приклад, використавши одержані результати.

◙Інтеграли від найпростіших раціональних дробів

а) ∫	Аdx	= Аln	x − b	+ C .	(6.21)


	x − b

При розв’язуванні використано формулу (6.7) та табличний

323

інтеграл ∫

= ln

+ C .

( x − b )− k + 1

б) ∫

Вdx

= В∫( x − b )− k dx = В

+ C .

(6.22)

− k + 1

( x − b )

Mх+ N

(2x + p)+ ( N −

)

+ p

в) ∫

dx=∫

∫

dx=

dx+

x2 + px+ g

)∫

+ ( N −

lnx2

+ px+ g

+ ( N −

+ px+ g

( x +

)2 + ( g −

)

x2 + px + g

−

2 N − Mp

arctg

2 x + p

+ C .

(6.23)

4 g − p

2 x − 2

Приклад 14. Знайти ∫

dx .

x2 − 4 x + 8

Використовуючи формулу (6.23) запишемо

∫

2 x − 2

dx =

x2 − 4 x + 8

= ln x2 − 4 x + 8 − 4 arctg 2x − 4 + C = ln x2 − 4 x + 8 − arctg х− 2 + C .
4	2	2

Проте, на практиці, цю громіздку формулу застосовують рідко

аінтеграл шукають, виділивши в знаменнику повний квадрат.

x2 − 4x + 8 = x2 − 4x + 4 + 4 = ( x − 2 )2 + 22 . Зробимо заміну (х-2)=u.

Тоді ∫

2 x − 2

dx = ∫

+ 2

=∫

du + ∫

du =

− 4 x

+ 8

+ 4

+ 2

= ln

u2 + 4

+ arctg

+ C = ln

( x − 2 )2 + 4

+ arctg

x − 2

+ C .

г)

∫

Mх+ N

dx .

Виділивши

знаменнику

повний квадрат,

( x2 + px + g )k

визначаємо заміну: x = t

q −

−

, dx =

q −

dt .Ввівши її, одержуємо суму

двох

tdt

виразів: M ( q −

)∫

+ ( N − M

)

q −

∫

( t 2 + 1 )k

( t 2+1 )k

324

Інтеграл ∫

tdt

знаходимо, наприклад, новою заміною t 2 + 1 = u , tdt = du .

+ k

( t

1 )

Інтеграл ∫

знайдемо, вивівши рекурентну формулу.

( t 2+1 )k

∫

= ∫( t 2

+ 1 )−k+1 dt = t( t 2 + 1 )−k+1 − ∫ td( t 2 + 1 )−k+1 =

( t 2 + 1 )k −1

= t( t 2 + 1 )−k+1 + ( k − 1 )∫

2t 2dt

= t( t 2

+ 1 )−k+1 + і далі

( t 2 + 1 )k

+ 2( k − 1 )∫

−

2( k − 1 )∫

( t 2 + 1 )k−1

( t 2 + 1 )k

2k − 3

∫

. Це є рекурентна формула, якою

( t 2 + 1 )k

2( k − 1 )( t 2 + 1 )

2k − 2

( t 2 + 1 )k−1

понижується порядок знаменника. Використавши її (к-1) раз приходимо до

інтеграла ∫ t 2dt+1 , який є табличним.

∫ t 2dt+ 1 = arctgt + C .

Ми розглянули чотири випадки до яких зводиться інтегрування правильних раціональних дробів.Завершимо розв’язування прикладу 13, використовуючи виведені формули:

∫ х− 2 dx =2 ln x − 2 + C .

∫

− 2х+ 1

x + 2

dx = −2 ln

+ 2x + 5

−

arctg

+ C . Отже:

х2 + 2х+ 5

∫

9 х + 8

dx = 2 ln

x − 2

− 2 ln

x2 + 2 x + 5

−

arctg

x + 2

+ C .

х3 + х − 10

◙ Інтегрування неправильних раціональних дробів

Інтегрування неправильних раціональних дробів зводиться (після виділення цілої частини дробу) до інтегрування многочлена та інтегрування правильного раціонального дробу.

Приклад. 15 . Обчислити

інтеграл ∫		x3 − 1		dx .
	x	2	− x − 2

Розв’язування. Раціональний дріб неправильний. Виділяємо цілу частину і записуємо його в вигляді суми цілої і дробової частин.

325

x3	− 1	x 2 − x − 2
x3 − x2 − 2 x		x+1
x 2	+ 2 x − 1
x 2	− x − 2

3x+1

x3 − 1

= x + 1 +

3x + 1

Тоді

x2 − x − 2

2 − x − 2

∫

x3 − 1

dx = ∫

(x + 1)dx + ∫

3x + 1

dx .

− x − 2

( x + 1 )( x −

2 )

Використовуючи метод невизначених коефіцієнтів

розкладаємо дріб на суму простих:

3x + 1

;

( x

+ 1 )( x − 2 ) x +

1 x −

3 x + 1 = Ax − 2 A + Bx + B; 3x + 1 = ( A + B )x + ( −2 A + B ) ;

A + B = 3,

3А=2; А=

; В=

. Одержимо:

− 2 A + B = 1.

∫

3x + 1

∫

dx + ∫

dx =

x + 1

x − 2

+ C.

( x

+ 1 )( x − 2 )

x + 1

x −

Отже ∫

x3 − 1

dx =

+ x +

x +

x − 2

+ C .

− x

− 2

◙Метод Остроградського інтегрування раціональних функцій.

Це метод виділення алгебраїчної частини в невизначених інтегралах від раціональних функцій. Нехай Р(х) і Q(x)- многочлени з дійсними коефіцієнтами.

Степінь Р(х) менша за степінь Q(x). Тобто P( x ) - правильний раціональний дріб і

Q( x )

Q( x ) = ( x − α )m ...( x − β )n ...( x2 + px + q )l ...( x2 + rx + s )t .

Нехай, також Q1( x ) = ( x − α )m−1 ...( x − β )n−1 ...( x2 + px + q )l−1 ...( x2 + rx + s )t−1

і Q2 ( x ) = ( x − α )...( x − β )...( x2 + px + q )...( x2 + rx + s ) -многочлени. То існують многочлени Р1(х), Р2(х), степені яких менші за степені Q1(x), Q2(x) відповідно, такі

що	∫	P( x )	=	P1 ( x )	+ ∫	P2 ( x )
							dx .	(6.25)
		Q( x )		Q ( x )		Q ( x )	dx .	(6.25)
				1		2

Коефіцієнти многочленів Р1(х) і Р2(х) можна знайти методом невизначених коефіцієнтів продифиренціювавши (6.25). Q1(x) є найбільшим спільним дільником

Q(x) і його похідної Q΄(x) і можна визначити за допомогою метода Евкліда.

Q2(x) = Q(x)/Q1(x). Формула зводить інтегрування правильного раціонального дробу до інтегрування правильного раціонального дробу, знаменник якого має прості корені.

Приклад 16 . Знайти інтеграл ∫	1	dx .
	( x3 + 1 )2

Розв’язування. Розкладемо многочлен ( x3 + 1 ) на прості множники ( x3 + 1 ) = ( x + 1 )( x2 − x + 1 ) . Тоді, за методом Остроградського, запишемо

326

	1		Ax2 + Bx + C		D		Mx + N
∫		dx =		+ ∫		dx + ∫		dx .
	( x3 + 1 )2		x3 + 1		x + 1		x2 − x + 1

Диференціюємо цей вираз і зводимо до спільного знаменника. Прирівнюємо чисельники:

1 = − Ax4 − 2Bx 3 − 3Cx 2 + 2 Ax + B + D( x5 − x4 + x3 + x2 − x + 1 ) +

+( Mx + N )( x4 + x2 + x + 1 ) . Прирівнюючи відповідні коефіцієнти, одержуємо

0=D+N; 0= −A−D+M+N; 0= −2B+D+N; 0= −3C+D+M; 0=2A−D+M+N; 1=B+D+N.

Розв’язком цієї системи рівнянь є: A=C=0; B=1/3; D=2/9; M= −2/9; N=4/9.

Отже

dx =

dx +

2( x − 2 )

dx =

∫ ( x

+ 1 )2

3( x3 +

1 )

∫

9( x +

1 )

∫ 9( x2 − x +

1 )

( x + 1 )2

arctg

2 x − 1

+ C .

( x ≠ −1 ) .

3 3

3( x3 + 1 ) 9 x2 − x + 1

1.6. Інтегрування тригонометричних функцій

При інтегруванні тригонометричних функцій важливо вміти використовувати тригонометричні формули, вдало підібраною заміною або підстановкою, звести інтеграл до простішого (дробово-раціонального виразу), а в результаті і до табличного. Є деякі види інтегралів (проте не всі) для яких є правила їх знаходження.

а) Інтеграли виду ∫sinm x cosn xdx.

Якщо хоча б одне із чисел m або n додатне ціле непарне число, наприклад m, то вводимо заміну cosx=t. Тоді

sin x =

1 − cos2 x =

1 − t 2

, dx = −

Якщо ж n – додатне непарне, то sinx= t,

1 − t 2

cos x = 1 − sin2 x =

1 − t 2

, dx =

1 − t 2

Приклад 17. Знайти ∫ sin3 x cos2 xdx

Розв’язування. ∫ sin3 x cos2 xdx = ∫ sin2 x cos2 x sin xdx =

= −∫( 1 − t 2 )t 2 1 − t 2

= −∫( t

2 − t 4 )dt =

1 − t

= −(

t 3

−

) + C = −

cos3 x +

cos5 x + C .

Якщо m та n парні невід’ємні числа, то понижають степені за формулами:

cos2 x =

1 + cos 2 x

; sin2 x =

1 − cos 2 x

; sin x cos x =

sin 2 x .

327

Приклад 18. Знайти ∫ cos 2										xdx
Розв’язування.
∫ cos 2 xdx = ∫			1 + cos 2 x				dx =	1	∫ (1 + cos 2 x )dx =

					2	2
=	1	( x +		1	sin	2 x ) + C				=	1	x +	1	sin 2 x + C .

2		2								2		4

б)Інтеграли виду ∫sinmx cosnxdx , ∫sinmx sinnxdx , ∫cosmxcosnxdx.

Ці інтеграли спрощуються застосуванням формул перетворення добутку тригонометричних функцій в суму:

∫sin mx cos nxdx = 21 ∫(sin( m + n )x + sin( m − n )x )dx ,

∫sin mx sin nxdx = 21 ∫(cos( m − n )x − cos( m + n )x )dx ,

∫cos mx cos nxdx = 21 ∫(cos( m − n )x + cos( m + n )x )dx.

Такі інтеграли мають широке застосування в теорії рядів Фур’є.

Приклад 19. Знайти ∫sin5 x cos 3xdx .

∫ sin5xcos3xdx =	1	∫(sin8x + sin2x )dx = −	1	cos8x −	1	cos2x + C.

2		16		4

в) Інтеграли виду ∫ R(sin x ,cos x )dx,

універсальна тригонометрична підстановка.

Для інтегралів виду ∫ R(sin x ,cos x )dx, де R(sin x,cos x ) -

раціональна

функція

відносно

sin x,cos x , часто

застосовують

універсальну підстановку. Це підстановка

= t .

(6.26)

2tg

1 − tg2

1 − t 2

Тоді:

sin x =

cos x =

1 + tg

2 x

+ t 2

1 + tg

2 x

1 + t 2

= arctgt ,

x = 2arctgt ,

dx =

2dt

1 + t 2

328

Приклад 20. Знайти ∫

+ sin x − cos x

2dt

∫

= ∫

1 + t 2

= ∫

+ sin x − cos x

1 − t

+ 2t

+ t

t( t + 1 )

1 +

−

+ t

1 + t

і далі інтегруємо як раціональний дріб. (Пункт 6.1.5.)+ Інтегрування тригонометричних функцій та інтегрування

ірраціональних функцій, вдало підібраною заміною, часто зводиться до інтеграла від раціонального дробу, який завжди інтегрується.

1.7. Інтегрування деяких ірраціональних функцій

Інтеграли виду ∫ R( x,m ax + b ,...,n ax + b )dx, зводяться до інтег-

ралів від раціональних функцій за допомогою підстановки ax + b = tk , де k - найменше спільне кратне чисел m,..., n.

Приклад 21. Знайти∫			dx		.
	3	x − 3	+
				x − 3

Розв’язування. Використано заміну: x-3=t6, dx= 6t5dt, t = 6 x− 3 .

∫

= ∫

6t5dt

= 6∫

dt = 6∫

t 3

dt = ...

x − 3

+ x − 3

+ t

( t + 1 )

t +

А далі шукаємо інтеграл від раціональної функції.(Пункт 6.1.5.)

Інтеграли ∫ R( x,

ax2 + bx + c )dx

можна

звести,

виділивши під

знаком радикала повний квадрат, до трьох таких інтегралів:

∫ R (x,

a2 − x2 )dx,

вводимо заміну x = a sin t ( x = a cos t ).

∫ R (x,

a2 + x2 )dx,

заміна

x = atgt ( x = actgt ).

∫ R (x,

x2 − a2 )dx,

заміна

x =

( x =

Для інтегралів виду ∫ R (x,

sin t

cos t

x2 ± a2 )dx, часто використовують

підстановку (підстановка Ейлера)

t = x +

x2 ± a2

x2 ± a2 =

x =

( t

) ,

( t ±

) , dx =

( 1

)dt .

t 2

329

На закінчення треба зауважити, що різні способи інтегрування можуть привести до різних аналітичних виразів первісної. Проте ми отримуємо вирази, які відрізняються хіба, що на сталу.

1.8.Поняття про невизначений інтеграл, що не має первісних в елементарних функціях

До цього моменту ми вдало розв’язували задачу знаходження невизначеного інтеграла для функції. Проте, ми побачили, що це завдання не є простим. Більше того, доведено, що є ряд функцій, первісна для яких не може бути представлена, як вираз утворений “елементарними” функціями. Наведемо,як приклад, деякі такі інтег-

рали: ∫e− x 2 dx , ∫	sin x	dx , ∫	dx	, ∫ 1 − k 2 sin2 xdx (	k	< 1 ).


	x		ln x

§ 2. Визначений інтеграл

При розв’язуванні деяких важливих задач необхідно знаходити нескінченну суму нескінченно малих доданків. Це приводить до одного з центральних понять математики – визначеного інтеграла.

2.1.Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла

◙Задача про площу криволінійної трапеції

Знайдемо

площу

фігури,

яка

обмежена

графіком

неперервної

функції

y = f ( x )

на

відрізку

[a,b],

віссю абс-

цис,

та прямими x = a

та

x = b.

Називатимемо

її

0 a х1 х2

xi−1 xi

xn−1

криволінійною

трапецією

Мал.2

(мал.

2). Для простоти,

розглянемо випадок,

коли

f ( x ) ≥ 0

на

даному відрізку [a,b].

Розіб’ємо проміжок

[a,b]

на

відрізків

[xi−1 , xi ]

(i=1,2,3…n),

x0 = a ,

xn = b .

На

кожному

відрізків

[xi −1 , xi ]

виберемо

по

довільній точці

ξi [xi−1 , xi ] (i=1,2,3…n). Тоді площа і- го прямо-

330

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4933 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.201638.3 Кб20visha_osvita_nimechchini.docx
#
01.05.20251.93 Mб1vishka.doc
#
01.04.20251.45 Mб1Vishka_shpori.docx
#
01.05.20252.58 Mб0vkazivky.doc
#
19.03.2015150.28 Кб20VKhnpu_psykhol_2012_42(1)__17.pdf
#
19.03.20152.73 Mб21VM_pidr.pdf
#
01.05.20251.35 Mб3Voitenko_Uchboviy Posibnyk.doc
#
01.04.20251.06 Mб4Volkotrub.doc
#
22.12.20181.25 Mб4voprosy.doc
#
17.04.201934.15 Кб1voprosy.docx
#
01.05.2025106.5 Кб0Voprosy30-35_38-41-1.doc