VM_pidr

Приклад 3. Дослідити збіжність ряду

Тому за ознакою Даламбера збіжність вихідного ряду встановити неможливо. Якщо ознака Даламбера не дає відповіді на питання про збіжність ряду (при l=1), потрібно використати інші ознаки дослідження збіжності даного ряду.

4.3. Інтегральна ознака Коші

ТЕОРЕМА. Нехай y=f(x) - неперервна, монотонно спадна і додатна в інтервалі [1,∞) функція, значення якої f(1),f(2), f(3) ,

…,f(n),… співпадають з відповідними додатними членами ряду

Тоді для збіжності ряду необхідно і достатньо, щоб невласний

∞

інтеграл ∫ f ( x )dx мав скінчену величину.

1

Доведення. Розглянемо криволінійну трапецію , обмежену лінією y=f(x), з основою від x=1 до x=n, де n- довільне ціле додатне число (мал. 1)

Площа фігури, обмежена даними лініями обчислюється за

Позначимо цілі точки основи x = 1, x = 2,..., x = n − 1, x = n. Розглянемо дві ступінчаті фігури: одна з них (внутрішня) має площу, яка дорівнює f ( 2 ) + f ( 3 ) + ....+ f ( n ) = Sn − u1 , а друга

411

встановлюємо із загального члена заміною n на x ) набуває лише додатних значень, монотонно спадає на інтервалі [1,∞ ). Значення

задовольняє умовам ознаки Коші.

Питання про збіжність даного ряду зводиться до питання про

412

Розв’язування. Функція f ( x ) = 1 задовольняє умовам ознаки x

Коші:

а) набуває додатних значень і монотонно спадає на інтервалі

[1,∞ ) ;

співпадають з відповідними членами гармонічного ряду. Обчислюємо невласний інтеграл

Даний невласний інтеграл розбігається, отже гармонічний ряд теж розбігається.

§5. Знакопереміжні ряди. Ознака збіжності Лейбніца

Згадані ознаки збіжності числових рядів відносились до рядів з додатними членами. Розглянемо тепер ряди, частина членів яких додатна, а частина – від’ємна або рівна нулю.

Якщо члени числового ряду мають різні знаки, то ряд називається знакозмінним.

413

Якщо два підряд члени ряду мають різні знаки, то знакозмінний ряд називають знакопереміжним. Він має вигляд

u1 − u2 + u3 − u4 + ... + ( −1 )n−1 un + ...

Числа u1, u2, u3,…,un,… - додатні. На питання про збіжність або розбіжність такого ряду дає відповідь ознака Лейбніца, яка формулюється у вигляді теореми.

ТЕОРЕМА. Якщо із зростанням номера n члени ряду

за абсолютною величиною спадають, а загальний член un

прямує до нуля при n→∞, тобто lim un =0,то ряд (8.20) збігається.

n→∞

Доведення. Просумуємо парне число членів ряду (8.20):

S2n = u1 − u2 + u3 − u4 + ...+ u2n− 1 − u2n .

Тоді S2n+ 2 = S2n + ( u2n+ 1 − u2n+ 2 ).

Оскільки за умовою теореми u2n+1 ≥ u2n + 2 , то S2n+ 2 ≥ S2n , тобто із зростанням n суми з парними індексами також зростають.

Запишемо тепер часткову суму S2n в іншому вигляді:

S2n = u1 − ( u2 − u3 ) − ( u4 − u5 ) − ...− ( u2n− 2 − u2n− 1` ) − u2n .

станням n, і залишається обмеженою, а тому прямує до визначеної

границі, тобто lim S2n

n→ ∞

Тепер просумуємо непарне число членів ряду (8.20)

S2n+1 = u1 − u2 + u3 − u4 + ...+ u2n−1 − u2n + u2n+1 = S2n + u2n+1 .

Таким чином, доведено, що при даних умовах, ряд (8.20) збігається і 0 ≤ S ≤ u1 .

Наслідок. Якщо ряд (8.20) збігається, то залишок ряду також представляє собою збіжний ряд і його сума дорівнює Rn = S − Sn .

Залишок ряду, який задовольняє умовам тільки що доведеної теореми, рівний Rn = ( −1 )n un+ 1 + ( −1 )n+ 1 un+ 2 + ...

414

Звідси ( −1 )n Rn = un+ 1 − un+ 2 + un+ 3 + ... і ряд в правій частині

Ця формула дає оцінку величини похибки в тому випадку, якщо замість суми ряду (8.20) береться сума n перших його членів. Як видно, що для знакозмінних рядів із спадними членами ця похибка не перевищує абсолютної величини першого із відкинутих членів.

Приклад 1. Дослідити збіжність ряду

Обидві умови ознаки Лейбніца виконуються, тому заданий ряд збігається.

Якщо хоч одна із умов ознаки Лейбніца не виконується, то знакопереміжний ряд буде розбіжним.

Приклад 2. Дослідити збіжність ряду

Тут не виконується одна з умов ознаки Лейбніца збіжності

знакопереміжного ряду: lim un = 0.

n→∞

§ 6. Абсолютна та умовна збіжність ряду

Розглянемо знакозмінний ряд, у якому члени з додатними і від’ємними знаками не обов’язково чергуються. Позначимо такий ряд u1 + u2 + u3 + u4 + ...+ un + ..., де ui ( i = 1,2,3,...,n ) - числа як додатні, так і від’ємні.

415

Складаємо ряд з абсолютних величин його членів: u1 + u2 + u3 + ...+ un + ... .

Якщо ряд з абсолютних величин збігається, то знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним. Якщо знакозмінний ряд збігається, а ряд, складений з абсолютних величин, розбігається, то знакозмінний ряд називається неабсолютно збіжним (або умовно збіжним).

ТЕОРЕМА. Якщо ряд, складений із абсолютних величин членів даного ряду, збігається, то збігається і даний ряд.

Доведення. Позначимо через Sn сумуn перших членів ряду

збігається (згідно з ознакою Лейбніца). Ряд, складений із абсолют-

416

Він збігається як ряд нескінченно спадної геометричної

прогресії із знаменником q = 1 . Отже заданий ряд збігається абсо-

2

лютно.

§ 7. Поняття про степеневий ряд та його збіжність

Ряд, членами якого є функції змінної x , називається функціональним.

Це ряд вигляду

Якщо x набуває будь-якого числового значення, то ряд (8.23) стає числовим.

Сукупність всіх значень змінної x , при яких функціональний ряд збігається, називається областю збіжності цього ряду. Будемо розглядати ряди, областями збіжності яких служать різні інтервали осі Ox.

Якщо для всякого значення x із інтервалу функціональний ряд збігається, то його сума є функція

f ( x ) = f1 ( x ) + f2 ( x ) + f3 ( x ) + ... + fn ( x ) + ...

Інакше кажучи, функція f ( x ) в інтервалі

розкладається в ряд.

Степеневим рядом називається функціональний ряд виг-

де a0 ,a1 ,a2 ,...an - постійні числа.

417

Іноді розглядають степеневий ряд більш загального вигляду:

де a - деяке постійне число. Останній ряд легко приводиться до попереднього степеневого ряду, якщо перепозначити x − a = x′ .

Доведемо досить важливу теорему на якій буде базуватися вивчення степеневих рядів.

ТЕОРЕМА Абеля. Якщо степеневий ряд (8.25) збігається в

його загальний член an x0n → 0 при n → ∞ .А тому всі члени цього

ряду є обмежені, тобто існує таке постійне додатне число M , що для всякого n має місце нерівність

В силу установленої нерівності (8.27) кожний член ряду (8.29) менший відповідного члена геометричної прогресії із знаменником

x : x0

збігається і ряд абсолютних величин (8.29), а значить, абсолютно збігається сам ряд (8.25). Теорема доведена.

418

ною величиною, ніж x0 , тобто при | x |> x0 .

Таким чином можна стверджувати, що для будь-якого степеневого ряду, який має як точки збіжності так і точки розбіжності, існує таке додатне число R , що для всіх x , по модулю менших R(| x |< R ), ряд абсолютно збігається, а для всіх x , по модулю

більших R(| x |> R ряд розбігається. Число R називається радіусом

вироджується в точку, а при R = ∞ - у всю числову вісь.

Для степеневих рядів (8.26) все сказане вище залишається в силі, лише з тією різницею, що тепер центр інтервалу збіжності буде лежати не в точці x = 0 , а в точці x = x0 . А отже, інтервалом

збіжності буде ( x0 − R , x0 + R ).

В наступній теоремі буде дано спосіб відшукання радіуса

З попереднього параграфа відомо, що якщо збігається ряд (8.32), то збігається ряд (8.25) абсолютно. Припустивши, що n → ∞ ,

419

Отже, степеневий ряд (8.25) збігається, для всіх тих значень