2.3.3. Примеры подобия

1. Задача об установившемся поступательном плоскопараллельном движении тела в несжимаемой вязкой жидкости.

Все безразмерные величины для такого случая определяются двумя параметрами: углом атаки α и числом Рейнольдса Re.

При этом условие физического подобия – критерии подобия - представляются соотношениями

. (2.1)

При моделировании этого явления результаты опытов с моделью можно переносить на натуру только для одинаковых и.

Первое условие на практике всегда легко осуществить.

Труднее удовлетворить условие второе:, особенно в тех случаях, когда обтекаемое тело имеет большие размеры.

Если модель меньше натуры (), то для сохранениянеобходимо:

- либо увеличить скорость , что на практике неосуществимо;

- либо существенно изменить плотность (увеличить) и вязкость (уменьшить).

На практике для обеспечения условия сталкиваются с большими трудностями, что выражается в необходимости построения:

- гигантских аэродинамических труб, в которых можно производить продувки самолетов в натуру;

- а также труб закрытого типа, в которых циркулирует с большой скоростью сжатый, т.е. более плотный воздух (с большой ).

2. Задача исследования механического сооружения из однородного материала, например, мостовой фермы.

Рассмотрим геометрически подобные конструкции – натуру и модель. Составим таблицу определяющих параметров для описания такой конструкции.

Такими являются следующие параметры.

1). Характерный размер конструкции B [м].

2). Если вес конструкции существен, то удельный вес

3). Внешние нагрузки , действующие на конструкцию.

4). Модуль Юнга .

Он используется для определения деформации тела в направлении действия силы и входит в соответствующее выражение

, (2.2)

в котором - сила, а- площадь поперечного сечения. Поскольку деформация, как следует из соотношения, является безразмерной величиной, то из приведенного выражения (2) вытекает размерность.

5). Безразмерный коэффициент Пуассона , используемый для определения деформации в направлении, перпендикулярном направлению действия силы

. (2.3)

Таким образом, количество определяющих параметров равно 5.

Для этих 5 параметров для механически подобных состояний упругого равновесия существуют 3 параметра - безразмерные комбинации – база. Такую базу в данном случае составляют:

, ,. (2.4)

Критерий подобия заключается в равенстве этих параметров на модели и в натуре, т.е.

; (2.5)

; (2.6)

. (2.7)

Если модель в n раз меньше натуры, то и на модели деформации (перемещения) будут в n раз меньше, чем в натуре.

Рассмотрим первый случай, когда модель и реальное сооружение состоят из одного и того же материала.

В этом случае из приведенных выше определяющих параметров одинаковыми являются ,,.

Поэтому из второго выражения из (6) следует, для механического подобия необходимо выполнение

. (2.8)

Очевидно, что в условиях исследования обычно имеет место . Отсюда следует, что должно быть, т.е. модель должна совпадать с натурой и, следовательно, примоделирование невозможно, т.е. получаемые на модели результатамнельзя распространить на натуру.

Для этого необходимо изменить .

Этого можно добиться искусственным путем, если заставить модель вращаться с постоянной угловой скоростью Ω, поместив ее на так называемую центробежную машину (центрифугу, см. рисунок).

При достаточно малых размерах модели и большом радиусеr центробежные силы инерции элементов модели rΩ² можно считать параллельными.

Вращая вокруг вертикальной оси установку, получим, что в состоянии относительного равновесия модели (по отношению к центробежной машине) на модель будут действовать постоянные массовые силы, аналогичные силе тяжести, но только с другим ускорением . При этом из условия обеспечения соотношения (8) вытекает, что требуемая величинаобратно пропорциональна характерному линейному размеру модели:.

Выбором угловой скорости вращения установки Ω можно получить любые большие значения для ускорения

Рассмотрим второй случай, когда внешняя нагрузка велика, а собственный вес конструкции мал, что им можно пренебречь. В этом случае параметрнесуществен. Тогда условие подобия представляется только двумя критериями (см. (5) и (7)): () и.

Отсюда следует, что при моделировании с сохранением свойств материала внешние нагрузки необходимо изменять пропорционально квадрату линейных размеров: .

Из теории размерностей и подобия следует, что необходимым и достаточным условием подобия является постоянство числовых значений безразмерных комбинаций, образующих систему безразмерных величин, определяющих остальные параметры свойств объекта.

Эти безразмерные комбинации называются критериями подобия.

Пример.

Сила лобового сопротивления, действующего на тело при обтекании его газовым потоком, определяется зависимостью:

Q = c_x q S,

где c_x - коэффициент сопротивления;

q – скоростной напор потока;

S – характерная площадь тела.

Коэффициент сопротивления тела c_x зависит от 7 параметров

c_x = c_x(V, p, , , c_p, c_, L),

где V - скорость воздушного потока;

p – давление газа в потоке;

 - плотность газа;

 - вязкость;

c_p, c_ - удельные теплоемкости газа;

L - характерный линейный размер тела.

Поскольку коэффициент c_x является безразмерной величиной, то под знаком функции должны быть также безразмерные параметры.

Из общих соображений метода размерности следует, что 7 размерных аргументов функции c_x можно свести к 3 аргументам, которые представляют собой безразмерные комбинации параметров V, p, , , c_p, c_, L, т.к. имеются 4 независимые единицы измерения – масса, длина, время и температура.

Эти безразмерные комбинации (критерии подобия) имеют вид:

- число Маха, (здесь а – скорость звука);

- число Рейнольдса;

• показатель адиабаты.

Отсюда следует, что

c_x = c_x(M, Re, k_).

Эти критерии имеют физический смысл.

Известно выражение

a²=dp/d,

где a – скорость звука;

p – давление;

ρ - плотность.

Из приведенного выражения следует, что скорость звука можно рассматривать как параметр, зависящий от свойств сжимаемости, т.е. способности газа изменять плотность с изменением давления. Следовательно, число Маха M характеризует величину воздействия сжимаемости на течение газа.

Число Рейнольдса Re характеризует воздействие вязкости на движущийся газ.

Параметр k_ определяет особенности течения, обусловленные термодинамическими свойствами газа.