4. Экспериментальное определение динамических характеристик объектов моделирования

4.1. Понятие о динамических характеристиках объектов

Все системы автоматического управления являются динамическими, т.е. развивающимися или проявляющими те или иные свойства с течением времени.

Естественно, что поведение во времени представляет интерес, как при решении задач анализа, так и при решении задач синтеза.

В частности, возможность занятия желаемого положения или возможность нахождения в требуемом состоянии заданное время составляют предмет теории устойчивости.

Еще более важно знать каким образом САУ переходит из одного состояния (положения) в другое. Например, сколь быстро это происходит? Или, например, насколько много отклоняется управляемая величина от заданного в процессе управления значения. Процесс перехода из одного состояния в другое принято называть переходным процессом.

Хотя на практике большинство САУ функционирует фактически в непрерывном переходном процессе, принято идеализировать соответствующую картину поведения системы во времени. Идеализация заключается в разбиении динамики на сам переходный процесс и на поведение САУ в так называемом установившемся режиме.

Процесс перехода системы из одного состояния в другое называется переходным процессом.

Характеристики, которыми обладают САУ в переходном процессе, принято называть динамическими.

В случае наличия установившегося режима важное значение приобретает проблема исследования точности воспроизведения заданного программного значения управляемых величин.

Среди динамических характеристик особенно важны временные.

Данные характеристики (параметры) элементов САУ можно определить на основании экспериментально полученных переходных и частотных характеристик.

4.2. Определение динамических характеристик элементов систем по временным характеристикам

Для исследования процессов в реальных системах пользуются идеализированными схемами, которые точно описываются математически и приближенно характеристики реальных объектов.

Независимо от назначения объектов, физических принципов действия и т.д. можно выделить ряд типовых звеньев, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями первого или второго порядков:

- простейшие (пропорциональные, интегрирующие и дифференцирующие);

- звенья первого порядка (инерционные, инерционно-дифференцирующие, форсирующие и инерционно-форсирующие);

- колебательные звенья второго порядка.

Введение типовых звеньев удобно для представления сложного звена с передаточной функцией

(4.1)

параллельным или последовательным соединением типовых звеньев.

Передаточные функции типовых звеньев представляют собой рациональную дробь вида (4.1), причем нули и полюса функции , соответствующие уравнениям

, (4.2)

лежат в левой полуплоскости s или на ее границе, совпадающей с мнимой осью.

Зависимость изменения выходных координат от изменения входных может быть описана математической моделью [3], в которые входят:

- уравнения статики;

- уравнения динамики.

4.2.1. Определение статических характеристик

Уравнения статики описывают установившееся состояние координат объекта, когда

(4.3)

Уравнения статики представляют собой алгебраические зависимости.

Статической характеристикой объекта называется зависимость

или

между входной и выходной координатами на отрезке времени, когда все производные входа и выхода равны нулю: .

На практике чаще всего определяютстатические характеристики отдельно каждой координаты выхода от каждой отдельной входной координаты при постоянных значениях остальных входныхвида.

Схема снятия характеристики представлена на рисунке 4.1.

Для экспериментального определения статических зависимостей применяютактивный и пассивный методы исследования.

Активный метод

Метод включает несколько этапов.

1. Испытатель выбирает одну их входных координат j объекта (если их несколько) и устанавливает минимально возможное по технологическому регламенту значение этой координаты.

(Все остальные входные координаты при этом поддерживаются постоянными).

Этому значению дается обозначение . После окончания переходных процессов в объекте регистрируется установившееся значение выходной координаты, которому присваивается номер.

2. Затем экспериментатор дает приращение входной координате, получает новое ее значение, регистрирует.

3. Снова изменяет наи т.д.

Врезультате серии опытов получаюттаблицу соответствий

где n - число различных уровней входной координаты .

4. По данным таблицы строится график, который аппроксимируется кусочно-линейной зависимостью.

5. Задаются статической характеристикой в виде линейной зависимости

. (4.4)

При существующем разбросе значений коэффициенты

определяют из системы линейных уравнений (метод наименьших квадратов):

(4.5)

Активный метод исследования применяют в тех случаях, когда уровень помех и флуктуаций входных и выходных координат невысок [3].

Пример.

Пусть получен массив данных в виде следующей таблицы соответствий из трех столбцов

xj	xj(1)	xj(2)	xj(3)
yj	yj(1)	yj(2)	yj(3)

Пусть j=1, а конкретные значения в таблице следующие

x1	1	2	5
y1	1	3	5

Допустим, что статическая характеристика аппроксимируется линейной зависимостью (4.4).

Тогда, применив эту зависимость к каждому столбцу таблицы, получим систему из трех уравнений

(4.6)

Просуммируем левые и правые части уравнений и получим (первое уравнение из (4.5))

.

Перемножим левую и правую часть каждого уравнения i на значения соответствующей переменной и получим:

(4.7)

Просуммируем левые и правые части уравнений полученной системы и получим (второе уравнение из (4.5))

Перепишем полученную систему уравнений

из которой находим коэффициенты статической характеристики.

На рисунке 4.2 для сравнения представлены зависимости

:

исходная и полученная по аппроксимирующему выражению при определенных приведенным способом коэффициентах аппроксимации.

Пассивный метод.

Пассивный метод исследования статических зависимостей сводится к следующему.

1. Производится регистрация случайных изменений входных координат x₁(t), x₂(t),…, x_n(t), имеющих место в режиме нормальной эксплуатации объекта, и соответствующих им флуктуаций выходной координаты y₁(t).

2. Случайные процессы x₁(t), x₂(t),…, x_n(t), y₁(t) квантуются во времени и составляется таблица их значений

x₁(i), x₂(i),…, x_n(i), y₁(i); i=1, 2, …, n.

Примерный вид такой таблицы приведен в таблице 4.1.

Таблица 4.1. К определению статических характеристик

x1(i)	x2(i)	…	y1(i)
x1(1)	x2(1)	…	y1(1)
x1(2)	x2(2)	…	y1(2)
…	…	…	…
x1(n)	x2(n)	…	y1(n)

3. Составляется линейная статическая зависимость

4. Коэффициенты определяют из системы линейных алгебраических уравнений (метод наименьших квадратов):

Заметим, что по рассматриваемому методу для составления таблицы необязательна постановка специальных опытов, часто можно использовать показания функционирования приборов.

Уравнения динамики однозначно характеризуют поведение во времени при изменениии представляют собой дифференциальные или интегральные соотношения.

Изложенное в этом подразделе материал иллюстрирует методический подход к определению характеристик объектов.

В настоящее время существует множество прикладных программ (в том числе в составе EXCEL) для аппроксимации зависимостей в виде полиномов различного порядка – первого (дают линейные зависимости), второго и т.д.