- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Содержание
- •Введение
- •1. Современное состояние проблемы моделирования систем
- •1.1. Моделирование как метод научного познания. Философские аспекты моделирования
- •1.2. Использование моделирования при исследовании и проектировании систем
- •1.2.1. Особенности разработки систем
- •1.2.2. Особенности использования моделей
- •1.2.3. Перспективы развития методов и средств моделирования систем
- •2. Основные понятия теории моделирования систем
- •2.1. Принцип системного подхода в моделировании систем
- •2.1.1. Структура системы – совокупность связей между элементами системы
- •2.1.2. Экспериментальные исследования систем
- •2.2. Стадии разработки моделей
- •2.3. Понятие подобия
- •2.3.1. Общие положения
- •2.3.2. Основные понятия теории размерности
- •2.3.3. Примеры подобия
- •2.4. Общая характеристика проблемы моделирования систем
- •2.4.1. Объект моделирования.
- •2.4.2. Характеристики моделей систем
- •2.4.3. Цели моделирования систем
- •2.5. Классификация видов и методов моделирования систем
- •2.5.1. Классификационные признаки
- •2.5.2. Математическое моделирование.
- •2.6. Построение модели
- •2.7. Разработка вычислительного метода
- •2.8. Проверка (тестирование) модели
- •3. Математическое моделирование
- •3.1. Задачи и цели исследования математических моделей
- •3.2. Методология математического моделирования. Системный анализ
- •3.2.1. Понятие системы
- •3.2.2. Этапы системного анализа и декомпозиция
- •3.2.3. Экспертные оценки
- •3.3. Классификация математических моделей
- •3.4. Методы формализованного описания системы
- •3.4.1. Математическая модель по “входу-выходу”
- •3.4.2. Математическая модель в пространстве состояний
- •3.4.3. Описание линейных систем в пространстве состояний
- •3.4.4. Реализация систем в пространстве состояний
- •3.5. Методы построения математических моделей и их применение в сапр
- •3.5.1. Методы построения математических моделей
- •3.5.2. Математические модели с точки зрения сапр
- •3.5.4. Методика составления уравнений динамики элементов сау
- •3.6. Математические модели системы управления. Понятие об оптимальном управлении
- •4. Экспериментальное определение динамических характеристик объектов моделирования
- •4.1. Понятие о динамических характеристиках объектов
- •4.2. Определение динамических характеристик элементов систем по временным характеристикам
- •4.2.1. Определение статических характеристик
- •4.2.2. Определение динамических характеристик объектов с помощью периодических воздействий
- •4.4.1. Временные характеристики и их свойства
- •4.4.2. Определение характеристик апериодического звена
- •4.4.3. Определение характеристик колебательного звена
- •4.3. Формы описания динамических свойств объектов
- •4.4. Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников
- •4.3.1. Разложение передаточной функции активного четырехполюсника
- •4.3.2. Способы синтеза двухполюсников
- •4.5. Экспериментальная отработка характеристик системы управления движущимся объектом
- •4.5.1. Общие положения
- •4.5.2. Алгоритмы обработки внешнетраекторных измерений
- •5. Динамические свойства воспринимающих элементов и датчиков
- •5.1. Основные определения и понятия
- •5.1.1. Понятие датчика
- •5.1.2. Классификация датчиков
- •5.2. Основные характеристики датчиков
- •5.2.1. Погрешности измерений
- •5.2.2. Чувствительность датчиков
- •5.2.3. Быстродействие датчика
- •5.3. Схемы формирования сигналов пассивных датчиков
- •5.3.1. Общие характеристики
- •5.4. Оптические датчики
- •5.4.1. Определения и основные зависимости
- •5.4.2. Фоторезисторы
- •5.4.3. Фотодиоды
- •5.4.4. Тепловые приемники излучения
- •5.4.5. Датчики изображения
- •5.4.6. Волоконная оптика
- •5.5. Датчики температуры
- •5.5.1. Методы измерения температуры
- •5.6. Датчики положения и перемещения
- •5.6.1. Методы определения положения и перемещения
- •5.6.2. Резисторные потенциометры
- •5.6.3. Индуктивные датчики
- •5.6.4. Емкостные датчики
- •5.6.5. Цифровые датчики
- •5.6.6. Датчики близости
- •5.7. Датчики деформации
- •5.7.1. Основные определения
- •5.7.2. Основные положения
- •5.8. Тахометрические датчики
- •5.8.1. Электродинамическая тахометрия
- •5.8.2. Импульсная тахометрия
- •5.8.3. Гирометры
- •5.9. Датчики ускорения, вибрации и удара
- •5.9.1. Общие положения
- •5.9.2. Принцип действия сейсмических датчиков
- •5.10. Датчики скорости, расхода и уровня жидкости
- •5.10.1. Элементарные понятия
- •5.10.2 Датчики и методы измерения скорости жидкости
- •5.10.3. Измерение расхода жидкости
- •5.10.4. Измерение и указание уровня жидкости
- •5.11. Датчики влажности
- •5.11.1. Определения
- •5.11.2. Гигрометры
- •5.12. Акустические датчики
- •5.12.1. Распространение плоской волны
- •5.12.2. Распространение трехмерной волны
- •5.12.3. Микрофоны
- •5.12.4. Измерение интенсивности
- •6. Основы технологии имитационного моделирования
- •6.1. Основные определения и понятия
- •6.2. Область применения и классификация имитационных моделей
- •6.3. Описание поведения системы
- •6.3.1. Общие положения.
- •6.3.2. Методика моделирования случайных факторов
- •6.3.3. Два подхода к моделированию случайных чисел
- •6.4. Оценка качества псевдослучайных чисел
- •6.5. Оценка качества имитационного моделирования
- •7. Методы испытаний систем управления и их применение в системах автоматизированного проектирования (сапр)
- •7.1. Полунатурное моделирование
- •7.1.1. Общие положения
- •7.1.2. Автоматизация испытаний на основе полунатурного моделирования
- •8. Анализ систем управления с эвм
- •8.1. Основные задачи
- •8.2. Особенности систем управления с эвм
- •8.2. Основные положения из теории дискретных линейных систем
- •8.2.1. Последовательности
- •8.2.2. Линейные системы с постоянными параметрами
- •8.2.3. Разностные уравнения
- •8.2.3.1. Решение разностных уравнений методом прямой подстановки
- •8.3. Расчет цифровых фильтров по фильтрам непрерывного времени
- •8.3.1 Методика синтеза цифровых фильтров. Общие положения
- •8.3.2 Методы дискретизации аналоговых фильтров
- •8.3.3. Геометрическая интерпретация методов расчета цифровых фильтров по фильтрам непрерывного времени
- •9. Моделирование свойств объектов с помощью системыMatLab
- •9.1. Введение
- •9.2. MatLab как научный калькулятор
- •9.2.1. Командное окно
- •9.2.2. Операции с числами
- •9.2.3. Простейшие операции с векторами и матрицами
- •9.2.4. Некоторые функции прикладной численной математики
- •9.2.5. Построение простейших графиков
- •9.3. Исследование линейных стационарных систем (лсс)
- •9.3.1. Классы пакета control.L
- •9.3.2. Ввод и преобразование моделей
- •Пример создания модели
- •9.3.3. Анализ системы
- •9.4. Моделирование динамических процессов с помощью подсистемы MatLab simulink
- •9.4.1. Краткие сведения о подсистеме MatLab simulink
- •9.4.2. Запуск подсистемы simulink
- •9.4.3. Создание модели
- •9.4.4. Некоторые основные приемы подготовки и редактирования модели
- •9.4.5. Установка параметров моделирования и его выполнение
- •9.2.2. Результат составления модели
- •Приложения п1. Динамические характеристики объектов моделирования
- •П2. Примеры составление функциональной и структурной схемы динамической системы
- •П2.1. Система управления угловой скорости вращения ротора двигателя при условии действия постоянного возмущения
- •П2.2. Система сопровождения цели
- •П2.3. Система автоматического наведения летательного аппарата на объект
- •П2.4. Система управления уровнем жидкости
- •П2.5. Система управления экономическими параметрами
- •Использованные источники
- •Основы теории и практики моделирования динамических систем
3.4.4. Реализация систем в пространстве состояний
Для одной и той же системы в пространстве состояний можно предложить разные описания (A, B, C, D) в зависимости от того, как выбраны переменные состояния.
При составлении моделей динамических систем в пространстве состояний исходными часто являются описания отдельных звеньев системы в форме дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим составление уравнений состояния для таких звеньев путем приведения их к одному из распространенных видов канонической формы.
Пусть одномерная система задана дифференциальным уравнением порядка n следующего вида:
(3.11)
которому отвечает передаточная функция
(3.12)
u(t), y(t) – вход и выход системы соответственно;
ai , bj– коэффициенты полиномов, в общем случае функции времени;
i = [1 – n]; j = [1 – m]; m n.
Правую часть выражения (3.12) умножим и поделим на pn (pn / pn) и получим:
(3.13)
где
(3.14)
или
(3.15)
Полученные зависимости (3.13) - (3.15) являются представлением исходного уравнения (3.12) в канонической форме.
Используя эти зависимости, а именно - (3.13) и (3.15) – легко может быть получена эквивалентная структурная схема, моделирующая данную систему, которая представлена на рисунке 3.7. Здесь обозначены соответствующие и переменные состоянияX.
Легко проверить, что последней схеме отвечают уравнения состояния
(3.16)
Матрицы A, B, C имеют вид
(3.17)
Как следует из рассмотрения (3.16), (3.17), элементы матриц уравнений состояния получаются непосредственно из коэффициентов передаточной функции (3.12).
Приведем примеры использования описанного метода представления дифференциальных уравнений.
Пример 2.
Интегро-дифференцирующее динамическое звено описывается следующим операторным уравнением (первого порядка):
(3.18)
Приведем его к стандартной форме (3.12)
(3.19)
где
Соответствующая структурная схема, реализующая данное уравнение и получаемая из схемы для общего случая (см. рис. 3.7), имеет вид, представленный на рис. 3.8.
Пример 3.
Дано операторное уравнение второго порядка:
Этим уравнением моделируются динамические характеристики инерционного и форсирующего звеньев второго порядка.
Преобразуя, приведем его к стандартной форме и получим
где
Соответствующая структурная схема, получаемая из схемы для общего случая (см. рисунок 3.7), имеет вид, представленный на рисунке 3.9.
3.5. Методы построения математических моделей и их применение в сапр
3.5.1. Методы построения математических моделей
При построении математических моделей систем управления будем исходить из уровня описания САУ “система - устройство – элемент” [18].
Наибольшие трудности возникают при построении математических моделей объекта управления.
Это связано с тем, что необходим учет физических процессов и явлений в этих объектах.
Различают:
графические;
аналитические;
численные
методы построения математических моделей САУ.
Графические методы используются при построении математических моделей на верхнем уровне их описания в виде структурных схем и их графовых эквивалентов. В этом случае САУ представляется как сложная система, состоящая из устройств и элементов. Внутренне содержание устройств обычно отражается типовыми звеньями.
При аналитическом построении математических моделей исходными являются:
общие законы физики (вообще природы);
результаты обобщения опыта.
Основные законы – это закон сохранения энергии, массы, импульса и др. и вытекающие из них вариационные принципы (наименьшего действия), непрерывности материальных потоков, теплового баланса и др.
приложение этих принципов приводит к тому или иному физическому устройству приводит к различным выражениям.
Численные методы формирования включают в себя последовательность операций по обработке и анализу априорной и апостиорной числовой информации об объекте.
В результате анализа получается структура и параметры математической модели объекта.
При этом обычно имеет место следующая последовательность операций.
Задается модель зависимости между входными и выходными переменными в статике.
Проводится факторный анализ априорных и апостиорных данных с целью отсеивания несущественных переменных в этих зависимостях.
Под факторным анализом понимается приближенная оценка параметров и коэффициентов уравнений в зависимости от выбранной меры точности совпадения экспериментальных и теоретических данных.
Проводятся эксперименты по определению реакции системы на воздействия по времени.
Строятся оценки данных характеристик объекта по времени.
Стоится математическая зависимость между выходными и входными переменными в динамике.
Эти операции методики построения математической модели, составляющие разделы теории САУ, известных как идентификация систем и устройств.
Под идентификацией понимается построение математической модели объектов по априорной и апостиорной информации и, в частности, по входным и выходным сигналам.
Наиболее распространены методы параметрической идентификации, когда структура математической модели уже задана, а требуется найти только ее параметры в соответствии с заданными критериями адекватности математической модели и объекта.
Определение математической модели динамики системы сводится к идентификации оператора L в выражении
Y(t) = L[X(t), (t), C(t)],
где Y(y1, y2,…, yn), X(x1, x2,…, xl) – векторы выходных и входных сигналов;
( 1, 2,…, m) – вектор параметров системы;
С( с1, с2,…, сk) – вектор параметров системы;
L – численный оператор.
На практике методы идентификации разработаны в основном для линейных детерминированных и стационарных стохастических систем.
Большое число этих методов базируется на уравнении Н. Винера
где - неизвестная весовая векторная функция системы (переходная функция на ступенчатое воздействие);
- взаимно – корреляционная вектор-функция стационарных случайных процессов на входе и выходе этой системы.
Перспективными и плодотворными являются методы идентификации оператора L, построенные на принципе настраиваемой модели.
В схемах с настраиваемой моделью структура модели предполагается известной, а настройке подвергаются параметры модели.
Основная идея принципа сводится к следующей схеме, представленной на рисунке 3.10.
Приведенная схема отражает общий случай, включает широкий набор вариантов, которые отличаются организацией критерия идентификации.
Выбор критерия – это сложная задача, во многом определяющая алгоритмы технической реализации схем.
Наиболее распространены выражения критериев в виде функционалов:
интеграл квадрата ошибки
-интеграл от ошибки с весовой функцией времени
интегральный критерий вида
Наиболее целесообразным способом построения математической модели САУ являетсясочетание аналитических методов с численными.
При этом аналитическими методами строится возможно более полная математическая модель, а с помощью численных методов идентификации осуществляется количественная оценка параметров модели и обеспечивается адекватность ее реальному объекту.
При этом процедура построения математической модели состоит из трех этапов:
вывод полой математической модели в аналитической форме на основе классических принципов;
упрощение и преобразование математической модели в соответствии с назначением и особенностями модели;
параметрическая идентификация упрощенной модели по результатам экспериментов и испытаний.