Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика. Учебное пособие
.pdf
Лекция 4
tt
∂∂ ∂
jE
0
EE t
ω
=
σσ
εω
σ
ω
Напомним выражение для этих токов
E
εε
D
∂
j
= =
см
пр
∂
0
.
(4.3)
.
σ
=
(4.4)
Оценим их максимальные значения в случае монохроматиче-
ских полей
cos .
Таким образом, если
j
( )
см
j
( )
пров
εε
0
max
= =
max
σ
(4.5)
E
∂
max
εε ω
0
.
(4.6)
(4.7)
∂
t
E
max
1.
или
,
(4.8)
ε
то можно пренебречь током смешения по сравнению с током
проводимости.
Для чистых металлов
7
10 .
σ
≈
(4.9)
Следовательно, пренебрегать токами смещения допустимо
вплоть до ультрафиолетовых длин волн. Следует, однако, иметь
в виду, что поскольку уравнения состояния мы использовали исходя из статических представлений, нет оснований (в макроскопической теории) распространять их до столь большой области
частот, они могут рассматриваться справедливыми лишь для небольших частот, где инерцию среды при процессах поляризации
можно не принимать в расчет. Поэтому произведенную оценку
области квазистационарных явлений можно считать только ориентировочной требующей свое уточнения.
Дадим теперь второй критерий квазистационарной для диэлектрических сред, а именно выясним, в каких случаях можно
не учитывать ток смещения в области пространства, окружающих источников.
- 81 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
it
rc
ee r
Rr
ωπ
50
=
Как известно из общего курса физики, токи смещения обусловливают распространения электромагнитного поля от источников, в которых сосредоточены переменные во времени заряды
и токи. Пренебречь только не смещение это значит не учитывать
распространение электромагнитных волн. При каких частотах
это законно? Предположим, в точке источника создается гармонически меняющиеся во времени поля
E Ee
ω
=
. (4.10)
0
Тогда на расстоянии r от источника поля будет определяться
его значение в точке источника в предшествующий момент вре-
/
мени, поскольку требуется время
для распространения
поля от места своего возникновения до рассматриваемой точки.
Следовательно, зависимость от времени от поля r от источника
имеет вид
Ee
r
it
ω
−
c
~
. (4.11)
Таким образом, квазистационарная область выделяется условием, определяющим, когда можно пренебречь образом запаздывания. Имеем
r
−
it
ω
c
= − +…
c
it
ω
1
2
=
λ
i
ω
c
. (4.12)
1
(4.13)
Таким образом, скорость распространения электромагнитных волн можно считать бесконечной и пренебречь эффектами
запаздывания если нелинейные размеры области много меньше
длины волны. Если, например, взять обычный технический ток
v Гц
с
, то соответствующее ему длина волны равна нескольким тысячам километрам, и следовательно в этом случае эффектами запаздывания можно пренебречь даже для областей сравнительно больших размеров.
Следовательно, можно заключать, что квазистационарным
электромагнитным полям относится большинство полей, рассматриваемых в электротехнике, а также многие поля, встречающиеся в радиотехнике.
- 82 -
BH
DE
( )
∮
0,
+=
ϕ
=−−
Лекция 4
4.2. Уравнения для квазистационарной области явлений
Очевидно, в рассматриваемом случае уравнение электроди-
намики принимают следующий вид:
rotH j=
=
BrotE
,
0,divB =
divDρ=
,
µµ
j EE
0
σ
= +
=
ст
∂
t
(4.14)
εε
(4.15)
0
(4.16)
∂
= −
По сравнению с электростатикой и магнитостатикой, новым
здесь является учет электромагнитной индукции
rotE
∂
t
∂
B
= −
или в интегральной форме.
d
Edl Bds
=−∫
dt
Прежде всего, выясним, можно ли при помощи этих уравне-
ний найти E и H, если заданы распределения зарядов и токов.
На основании
0divB =
, здесь так же можно положить
B rotA=
с дополнительным условием
divA =
(4.17)
поскольку уравнение магнитостатики вошли в схему уравнений
теории без каких- либо изменений; изменения претерпели только уравнения электростатики.
Далее
∂
= −
,rotE rotA
(4.18)
∂
t
т. е.
∂
A
rot E
0
(4.19)
t
∂
Откуда
A
∂
E grad
+=−
t
∂
(4.20)
или
A
E grad
∂
ϕ
(4.21)
t
∂
,
- 83 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
( )
00
=+=
0divA =
0
ε
=
ρ
const
µ
=
Aj
( )
( )
µ
( )
Наличие производной векторного потенциала в выражении
электрического поля отображает не потенциальность электрического поля в квазистационарной области явлений. Для того
чтобы определить распределение потенциала и его связь с зарядами, воспользуемся соотношением
divDρ=
Тогда имеем
εε εε ε ε
div E divE Egrad
00 0
== −−
ρ εε ϕ ε ϕ ε
div grad grad grad
∂
A
∂
t
(4.22)
,
Так как
11A
grad grad grad
ϕ ϕε ε
∆+ + =−
ε ε εε
∂
t
∂
ρ
(4.23)
0
Таким образом, уравнение для скалярного потенциала не получилось изолированным от векторного потенциала. Только для
однородной среды, когда
Рассмотрим теперь уравнение
grad
ϕ
∆=−
, получается прежняя связь
(4.24)
εε
0
rotH j=
. При
можно
записать:
rotrotA j
µµ
=
(4.25)
0
или
µµ
∆=−
(4.26)
0
Максвелла записать в виде:
или
где
µµ
При
,,xyz
=
, полагая
B
rot H j rotB j rotM
−=→ = +
µ
0
rotB j rotM
B HM
= +
µ
= +
0
j rotM=
мол
- 84 -
0divA =
(4.27)
удобно уравнение
µ
( )
0
, (4.28)
(4.29)
(4.30)
M BBrotA
µµ
−−
( )
+== =
Jj
Лекция 4
Тогда
∆=− + =− +
( )
00
мол
µµ
A j j j rot rotA
µ
−
µµ
0
1
(4.31)
где использовано соотношение
11 1 1
=−==
µ µµ µµ µµ
00 0 0
(4.32)
В отличие от скалярного потенциала, векторный потенциал
выражается только через токи. Таким образом, система уравнений (4.23) и (4.31) дает возможность по заданным точкам и
зарядам определить электрическое и магнитное поле, как в однородной, так и неоднородной среде.
4.3. Квазистационарные явления в линейных проводниках
Рассмотрим квазистационарные явления в линейных проводниках, как замкнутых, так и разомкнутых, с включенными в
них сосредоточенными электродвижущими силами.
Явление ЭМИ обуславливает взаимное влияние различных
элементов тока протекающего по одному и тому же проводнику. В следствие этого ток, протекающий по некоторому участку
цепи, нельзя исследовать изолировано от тока, протекающих по
другим участками цепи и по другим цепям. Необходимо принимать во внимание всю совокупность токов, находящихся в индукционной связи друг с другом.
Представим уравнение состояния
j EE
σ
= +
(4.33)
стор
в интегральной форме для линейного проводника.
Для перехода от объемных проводников к линейным представим (4.33) в виде:
E E dl dl dl JdR
( )
стор
J JJ
σσ
Sj
∆
(4.34)
/
где
И совпадающий в данном случае с
– единичный веток, задающий направление вектора
,dl dR
обозначает сопротивление элемента длины формула линейного проводника. Интегрирование по контуру проводника
L
k
дает:
- 85 -
j
.
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
kk
LL
+= =
=−−
kk k
LL L
=−−
kk
LL
ϕϕ
kk
LL
∂
Ф LJ= ∑
JR LJ
E E dl J dR J R
( )
ст k k k k
(4.35)
Поскольку теперь
E grad
A
∂
ϕ
,
t
∂
следовательно,
A
Edl grad dl dl
ϕ
∂
(4.36)
t
∂
т. к.
grad dl d
= =
= −
Edl dl
0
(4.37)
∂
A
(4.38)
∂
t
Интеграл
E dlε=
ст стор
L
k
(4.39)
k
представляет собой стороннюю электродвижущую силу, приложенную к какому-то проводнику.
Таким образом, подставляя (4.39), (4.38) в (4.35) получаем
J R Adl
стор
ε
= −
kk k
(4.40)
∮
t
∂
L
k
Используя теорему Стокса поток индукции:
Используя связь потока индукции с коэффициентами с само-
индукцией и взаимоиндукцией
Подставляя (4.41) и (4.42) в (4.40) получим
Таким образом, по заданным сторонним силам, сопротивлению и коэффициентам индукции проводников можно определять токи в каждом из проводников путем решения системы
обыкновенных дифференциальных уравнений (4.43).
Adl rotAdS BdS Ф= = =
L
∫∫
SS
k
k ik i
стор
ε
= −∑
k k k ik i
dt
k
d
- 86 -
(4.41)
k
(4.42)
(4.43)
=−−
=−−
( )
=
( )
ε
≥
=−−
22 2
11 1
=−−
∫∫ ∫
22
11
∫∫
Лекция 4
Для случая двух проводников n = 2 имеем:
d
стор
ε
1 1 1 11 1 12 2
стор
ε
2 2 2 21 1 22 2
0
при
( )
dt
d
( )
dt
стор
0t
и
k
(4.44)
t
при
0t
, то значе-
Если заданы
JR L J L J
JR L J L J
JJ=
kk
ние тока определяются для произвольного момента t.
Необходимо отметить два обстоятельства в наших рассужде-
ниях. Это:
1. Отказ от дифференциальной формулировки задачи. Именно переход к интегральной форме, уменьшая число неизвестных, так как распределение скалярного потенциала
выпало из вычислений, ибо для замкнутых контуров
grad dlϕ=
L
k
0
2. Переход к линейным и замкнутым токам свел задачу о
четырех переменных x, y, z, t к функциям только от одной
переменной t.
Важно отметить, что при некоторых условиях можно от ограничения строгой замкнутостью токов отказаться и ввести в рассмотрение незамкнутые токи, оставаясь по-прежнему в области
квазистационарных явлений.
Для контура с самоиндукцией, сопротивлением и емкостью,
выделяя линию интегрирования вдоль линейного проводника от
точки 1 до точки 2 можно написать:
22 2
JdR EdL E dl= +
∫∫∫
11 1
стор
(4.45)
Так как
A
∂
µ
,
t
∂
A
ϕ
∂
(4.46)
t
∂
то
E grad
Edl grad dl dl
При этом:
ϕ
∂
= −
Edl dl
∂
t
(4.47)
- 87 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
22
11
tt
∂∂
∫∫
S
12
ϕϕ
−
−=−
1n=
0
τε
=− −+
Далее
A
dl Adl
=
∂∂
(4.48)
Предположим теперь, что щель в контуре, обусловленная наличием емкости столь мала, что мало изменят картину распределения магнитного поля, так что можно приближенно считать
для векторного потенциала цепь замкнутой, то есть
2
Adl Adl≈
∫
1
(4.49)
∮
L
Основанием для такого приближения является непрерывность векторного потенциала при переходе из проводника в вакуум при условии, что проводник имеет магнитную проницаемость, близкую к единице. Тогда
Adl Bds Ф LJ= = =
L
∫
,
(4.50)
где L – коэффициент самоиндукции цепи. Разомкнутость цепи
мы учитываем наличием конечной разности потенциалов на
концах цепи
. Выразим эту разность потенциалов через
заряд и емкость:
ϕϕ
12
q
,
C
где знак учитывает выбранное нами направление обхода контура, совпадающее с направлением тока. Поскольку теперь
,
q Jdt=
t
(4.51)
∫
0
dq
Jdt=
Имеем, подставляя выражения отдельных частей (4.43) и полагая
или
RL Id L
L RL Id
t
1
∫
C dt
t
dI
dt C
1
++ =
∫
0
dI
τε
стор
стор
(4.52)
Таким образом, мы получим уравнение, дающее возможность определить токи в разомкнутом контуре при заданных
начальных условиях и заданных сторонних электродвижущих
силах. Продифференцируем (4.52) один раз по времени
- 88 -
12
00
εε
= += −
b bc
aa
=−± −
aL=
bR=
≥
bc
bc
4
bc
4
bc
→∞
Лекция 4
2
d I dI d
LR I
+ +=
2
dt
1
dt C dt
стор
ε
(4.53)
Представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка и с учетом начальных условий может быть решено
несколькими способами. Одним из таких способов является
метод Лапласа-Меллина. Рассмотрение этого метода проведем
на практическом занятии. Окончательное же решение при этом
принимает вид:
стор стор
It e e
( )
a pp pp app
pt pt
12
ee
−− −
12 21 12
( )
(
pt pt
(4.54)
где
стор стор
εε
= =
0
p
1,2
const
– электродвижущая сила, неменяющаяся со
временем для всех
2
;
2
2
a
4
0t
2
1
R
>
2
C
4
L
;
cC=
1
; (4.55)
Необходимо различать два случая
2
>
или
2
a
4
a
2
<
2
a
4
a
1)
соответствует наличию большого сопротивления цепи. Здесь
I t e sh t
2
>
или
2
a
a
стор
ε
0
= −
( )
2
bc
a
4
a
−
2
a
Включение постоянной электродвижущей силы приводит к
апериодическому изменению тока. В частном случае отсутствие
разрыва цепи, т.е. пологая
C
стор
ε
= −
( )
0
a
It e
- 89 -
2
b
2
L
b
t
−
2
a
имеем:
1
1
>
(4.56)
LC
2
2
4
a
R
t
−
L
(4.58)
(4.57)
a
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
4
bc
a
4
L
0R →
VV
∫∫
S=∆
S
σ
∆
∆
2 2 22
1 12 21122
=+= + =+
2)
2
<
или
2
a
2
1
b
<
LC
2
соответствует достаточно малому сопротивлению.
Тогда
стор
ε
I t e sin t
( )
0
= −
cb
a
−
a
b
t
−
2
a
2
2
4
a
2
cb
2
a
a
4
(4.59)
В цепи возникает затухающие колебания. Для предельного
случая
период незатухающих колебаний Т равен
2T LC
π
=
(4.60)
4.4. Энергия и силы в области квазистационарных явлений
Составим баланс энергии для системы линейных проводников при наличии в них переменных токов столь малых частот, что
можно считать рассматриваемое явление квазистационарным.
Согласно (1.54) тепловой энергии, выделяющейся в проводниках в единицу времени, имеем:
Q jEdV dV
= =
2
j
(4.61)
σ
Для линейных проводников положим:
I
j
;
dR
dl
=
Таким образом
22
j IS
= =
dV dl I dR
σ
∆
()
S
dR – сопротивление элемента длины dl линейного проводника,
S
– площадь его поперечного сечения.
Если имеется в наличии только два линейных проводника,
то, разбивая интеграл в (4,61) на два по объему каждого из проводников:
22
j dV j dV
12
Q J dR I dR I R I R
∫∫
σσ
12
VV
∮∮
LL
12
- 90 -
∆
2
σ
2
(4.62)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]