Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика. Учебное пособие
.pdf
ϕ
ρε
ϕ
ϕ ϕ ρε
≡∇ =−
222
222
xyz
∂∂∂
∂∂∂
ρ
=
∇=
γ
≠
Лекция 2
Если заряд распределен на поверхности S с поверхностной
плотностью σ, то, аналогично предыдущему случаю, получаем
выражение для потенциала поверхностного распределения заряда
1
ds
=
σ
. (2.21)
∫
4
πε
r
0
S
Таким образом, потенциал поля различных видов распределения зарядов определяются выражениями, представленными
формулами (2.17), (2.19), (2.20), (2.21).
2.5. Уравнения Лапласа и Пуассона
/divE
Подставим в четвертое уравнение Максвелла
выражение напряженности через потенциал
E grad
= −
= −
. Тогда
0
получим
2
/div grad
(2.22)
0
где
2
∇≡ + +
–
оператор Лапласа.
Равенство
∇=−
называется уравнением Пуассона. В вакууме, где
(2.23)
ε
0
0
, уравне-
ρ
2
ϕ
ние Пуассона переходит в уравнение Лапласа
2
0.
ϕ
(2.24)
2.6. Проводники в электростатическом поле
Проводниками называют тела, в которых при наличии электрического поля возникает движение зарядов, т. е. электрический ток. Математически проводники характеризуют тем, что
их проводимость не равна нулю
тике рассматривается случай неподвижных зарядов (
0. Поскольку в электроста-
j
= 0), то
из уравнения
0jE
γ
= =
(2.25)
следует, что в проводнике при отсутствии движения зарядов существует электростатическое равновесие
- 41 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
E
ρε
ρ
=
n
02 01 2 1
,.
n n tt
E E EE
εεσ
−= =
=0. (2.26)
Следует отметить, что поле в проводнике равно нулю только
тогда, когда в нем отсутствуют токи. Когда внутри проводника
имеются токи, напряженность электрического поля, обусловливающего их существование, отлична от нуля
Поскольку при электростатическом равновесии поле внутри
проводника отсутствует, то из (2.26) следует, что
div E
=0. (2.27)
Поскольку в соответствии с четвертым уравнением Максвелла
=
, то объемная плотность зарядов внутри про-
0
/div E
водника равна нулю:
0
. (2.28)
Заряды в проводнике концентрируются на поверхности в слое
атомарной толщины. Если проводник заряжается от источника,
то, благодаря силам отталкивания, одноименные заряды распределяются по поверхности так, чтобы поле внутри проводника
отсутствовало. Если после этого проводник внести во внешнее
электростатическое поле, то заряды на поверхности проводника вновь перераспределятся таким образом, чтобы поле внутри
проводника, являющееся суммой внешнего поля и поля, создаваемого поверхностными зарядами проводника, осталось равным нулю. Явление перераспределения зарядов на поверхности
проводника при внесении проводника во внешнее электростатическое поле называется электростатической индукцией.
Поле вблизи поверхности проводника. Напряженность
электрического поля вблизи поверхности проводника может
быть найдена из граничных условий. Считаем внешнее направление’ нормали к поверхности проводника
положительным.
Индексом 2 обозначим пространство вне проводника, а индексом 1 – пространство внутри проводника и рассматриваем граничные условия
(2.29)
Учитываем, что диэлектрическая проницаемость проводника приблизительно равна диэлектрической постоянной вакуума.
Поскольку внутри проводника напряженность электрического
поля равно нулю:
- 42 -
21
/ , 0.
nt
EE
σε
= =
/.En
σε
()
ϕ
()
ϕ
() () 0,() ()
ϕϕ ϕϕ
Лекция 2
Е
=0 . (2.30)
1n=Е1t
из (2.29) получаем для составляющих поля вне проводника:
(2.31)
Таким образом, напряженность поля у внешней поверхности
проводника направлена по внешней нормали и равна:
=
(2.32)
Отсутствие тангенциальной составляющей поля вблизи поверхности проводника очевидно, поскольку такая составляющая
приводила бы в движение заряды вдоль поверхности проводника.
В состоянии равновесия это исключено. Внутри проводника, как
указано выше, напряженность электрического поля равна нулю.
Потенциал проводника. Из равенства нулю напряженности
поля внутри проводника следует постоянство потенциала вдоль
всего проводника. Если
А
и
В
являются потенциалами то-
чек А и В проводника, то на основании (2.15) получаем
B
A B Edl A B
−= = =
∫
A
(2.33)
Поскольку потенциал во всех точках проводника одинаков,
можно говорить о потенциале проводника. Очевидно, этот потенциал зависит от формы и заряда проводника, от распределения
зарядов на других проводниках и в окружающем пространстве.
Емкость проводника. Если взять уединенный проводник, т. е.
проводник, удаленный от других тел и зарядов достаточно далеко, чтобы эти тела и заряды не вызывали перераспределения
зарядов на рассматриваемом проводнике, то его потенциал зависит только от формы проводника и величины заряда. Емкостью
проводника называется отношение заряда уединенного проводника к его потенциалу:
q
.
Cϕ=
(2.34)
Емкость проводника выражают в фарадах. Из (2.34) следует,
что единица емкости равна: [С]=Ф=Кл/В. В системе СГС емкость выражают в сантиметрах, а формула емкости совпадает
с (2.34). Поскольку
- 43 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
1
1
В =
ед. СГСq, 1 Кл = 3 • 109 ед. СГС9,
300
то из (2.34) следует, что 1Ф=9*1011см.
Металлическийэкран.Электрическое поле в точках внутри
проводника является суммой двух полей: поля, создаваемого поверхностными зарядами проводника, и внешнего электрического поля, в которое помещен проводник. Поверхностные заряды
проводника перераспределяются так, что создаваемое ими поле
внутри проводника компенсирует внешнее поле, так что полное
поле внутри проводника равно нулю. Как отмечалось, поверхностные заряды расположены вблизи поверхности проводника
в слое атомарной толщины. Диэлектрическую проницаемость
проводника примем равной диэлектрической постоянной. Если
всю внутренность проводника вырезать, за исключением тонкого приграничного слоя, в котором сосредотачиваются поверхностные заряды, то поле не изменится; поверхностные заряды
в проводящем приграничном слое (оболочке) распределяются
так, что поле в полости равно нулю. Такая проводящая оболочка называется экраном. Она экранирует внутреннюю полость от
внешних полей; поле внутри полости не зависит от полей вне
экранирующей оболочки.
Если убрать экранирующую среду, оставив полость, окружающую металлическую оболочку, в которой расположены индуцированные поверхностные заряды, то поле не изменится: поле
вне оболочки будет по-прежнему равно нулю. Таким образом,
проводящая оболочка, соединенная проводником с бесконечно
удаленной точкой («заземленная оболочка»), экранирует пространство вне полости от зарядов, заключенных внутри полости; поле вне оболочки не зависит от полей внутри полости.
Если некоторая полость окружена заземленной проводящей
оболочкой, то эта оболочка является экраном: электростатическое поле внутри полости не зависит от электростатических
полей, существующих вне полости, наоборот, поле вне полости
не зависит от полей, существующих внутри полости. Как показывает опыт, металлический экран не обязательно делать из
сплошного проводника. Достаточно хорошая экранировка обеспечивается экранами из мелкой металлической сетки.
- 44 -
12
ϕϕ
Лекция 2
В технике экранирующие оболочки применяют очень широко. Защитная свинцовая оболочка кабеля играет роль экрана,
благодаря которому поле проводов внутри кабеля не выходит
за пределы кабеля, а поэтому исключается электростатическое
влияние кабеля на близлежащие провода линий связи.
Конденсаторы. Если проводник не единственный, то его потенциал зависит от зарядов и расположения других проводников. Конденсатором называется совокупность двух проводников,
разность потенциалов между которыми определяется зарядами
проводников. Проводники называются обкладками конденсатора. Они заряжаются равными по значению, но противоположными по знаку зарядами. При этом между обкладками возникает
определенная разность потенциалов, пропорциональная заряду
на обкладках. Емкостью конденсатора называется отношение
заряда пластины к разности потенциалов между пластинами:
Q
C
=
.
(2.35)
−
Простейший, плоский конденсатор представляет собой две
параллельные проводящие пластины, расположенные одна от
другой на расстоянии, много меньшем линейных размеров пластин. При малом расстоянии между пластинами обеспечивается
экранирование пространства между обкладками конденсатора
от внешних полей. Экранировка будет тем более полной, чем
больше линейные размеры пластин по сравнению с расстоянием
между ними.
Широко распространены цилиндрические и шаровые конденсаторы. Цилиндрический конденсатор представляет собой совокупность двух коаксиальных проводящих цилиндров, расстояние
между стенками которых много меньше высоты цилиндров. Шаровой конденсатор состоит из двух концентрических проводящих
сфер. В шаровом конденсаторе наиболее полно удовлетворяется
требование полной экранировки внутреннего поля.
В качестве примера вычислим емкость шарового конденсатора,
внутренняя сфера которого имеет радиус
R
, внешняя –
1
R
2
. Про-
странство между обкладками характеризуется диэлектрической
- 45 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
ξ
12
()
≤≤
∫∫
21
RR
ϕϕ
21
RR
′
ρ
V
′
∫
постоянной
. Пусть заряд конденсатора (т. е. заряд каждой из
0
пластин) равен q. Проведем мысленно концентрическую сферу
радиусом
RR R R
и воспользуемся теоремой Гаусса:
EdS qε=
∫
S
/
.
0
Учитывая, что поле сферически симметрично и вектор Е направлен вдоль радиус-вектора, проведенного из центра сферы,
получаем
2
14q
πε
0
4
π
.
.
2
R
Отсюда, следует
EdS E dS R E
= =
SS
E
=
Это означает, что равномерно заряженная сфера создает во
внешнем пространстве такое поле, как одиночный заряд, сосредоточенный в ее центре. Для вычисления разности потенциалов путь интегрирования удобно выбрать вдоль радиус-вектора,
проведенного из центра сферы. Тогда
(2)
−= ⋅= = =
12
E dl EdR
∫∫ ∫
(1)
RR
22
RR
11
q dR q
44
πε πε
2
R
0 0 12
−
RR
.
Вычисляя емкость по формуле (2.35), находим
RR
πε
12
0
. (2.36)
−
4
C
=
2.7. Дипольное разложение потенциала
Во многих случаях важна следующая задача: в некотором
объеме
заряд, плотность которого равна
которой точке, удаленной от этого объема.
Выбираем начало координат в некоторой точке О внутри объема
и условие нейтральности заряда в этом объеме записыва-
ем следующим образом:
V
распределены нейтральный в целом электрический
, определить потенциал в не-
′′
r dV
=
(2.37)
( ) 0.
ρ
′
V
- 46 -
() ,
′
rrR
= +
()
ρ
′
rr R
2.R r r rr
′′
=+−
rr
′
>>
2 22
′′ ′
12 1
αα
− ≅−
1.
′
α
00
VV
ϕρ ρ
′′
′ ′ ′′ ′
∫∫
r
′
33
00
11
() () ,
44
rr
ϕρ
=⋅=⋅
′′ ′
′
Лекция 2
В соответствии с (2.20) потенциал в некоторой произвольной
точке с радиус-вектором г записывается следующим образом
где
да
Векторы
r dV
ϕ
=
′
– радиус-вектор, соединяющий точку с плотностью заря-
r
и точку, где определяется потенциал с радиус-вектором r.
′
,,
составляют треугольник. В соответствии с
ρ
∫
πε
4
′
0
V
′
R
(2.38)
1 ()
r
теоремой косинусов
22 2
(2.39)
Потенциал определяется в удаленной точке, поэтому
Следовательно, можно записать приближенную формулу:
.
≅ − = − ≅−−
2 1 2 / 2(1 ) ,R r rr r rr r rr r
(2.40)
где использована известная приближенная формула
α
для
<<
1.
Соответственно
11
≈+
Rr
rr
⋅
(2.41)
2
r
где использовано
1
1
≅+
1
−
α
при
α
<<
1.
Поставляя (2.41) в (2.40) получаем
() () ()
11
r r dV r r dV
≅ ⋅ +⋅
44
r
πε πε
r
3
r
. (2.42)
Здесь в первом интеграле вынесена постоянная величина 1/r,
во втором интеграле изменен порядок скалярного умножения на
постоянный вектор
/r3 и интегрирования по объему
V
. Поскольку заряд в целом нейтрален (2.37), первый интеграл (2.42)
равен нулю. Следовательно, потенциал можно представить в
следующем виде
r pr
r r r dV
πε πε
где интеграл
p r r dV
определяет дипольный момент заряда в объеме
′′
∫
′
V
()
ρ
=
∫
′
V
(2.44)
(2.43)
V
.
- 47 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
3 33
3.
r rr
=−=− = −
ε
( )( )( )
ϕϕ ϕ
ϕ
()
ϕϕ
Заметим, что в предельном случае, когда диполь состоит из
положительного q и отрицательного -q зарядов, находящихся на
расстояние l, длительный момент равен
,p ql=
(2.45)
где l – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному.
Используя (п.7), получаем величину напряженности электри-
ческого поля, создаваемого диполем
E grad grad
1 1 ()
ϕ
πε πε
44
pr r pr p
00
(2.46)
Следовательно, напряженность поля диполя убывает обратно
пропорционально кубу расстояния от диполя. При этом по оси
диполя напряженность направлена также как диполь, а на перпендикуляре к оси – контрпараллельна. При этом на некотором
расстоянии r по оси диполя модуль напряженности в два раза
больше, чем на таком же расстоянии в ортогональном к оси направлении.
2.8. Энергия электрического поля.
Энергия диполя во внешнем поле
► Энергияэлектрическогополя.
В разделе 1 получено выражение (1.46) для энергии электрического поля
W E dV
=
э
2
Энергия электрического поля может быть выражена также
через потенциал и плотность заряда. Чтобы показать это, применительно к потенциалу и напряженности используем формулу
для дивергенции произведения
Поскольку
div E divE E grad
E grad
= −
= +
отсюда получаем
2
E divE div E
= −
Значение Е2 подставляем в выражение (1.46) для энергии
электрического поля
- 48 -
2
0
.
∫
V
(2.47)
(2.48)
(2.49)
().
VS
ϕϕ
∫∫
() 0
∫
22
VV
W divE dV dV
∫∫
ϕ
ij
r
12
Лекция 2
W E dV div EdV div E dV
э
2
ε εϕ ε ϕ
= = −
00 0
∫∫ ∫
VV V
(2.50)
Второй интеграл преобразуем по теореме Гаусса
div E dV EdS
=
(2.51)
()
где S – поверхность выделенного объема.
Будем полагать, что выделенный сферический объем очень
велик и заряды находятся близко к его центру. В соответствии с
(2.16, 2.17) потенциал обратно пропорционален длине радиус-вектора, а напряженность – обратно пропорциональна квадрату этой
длины. Поскольку поверхность S пропорциональна квадрату радиуса, то при бесконечном увеличении выделенного объема интегралы (2.51) стремятся к нулю. Поэтому можно считать
div E dVϕ=
V
(2.52)
Учитывая четвертое уравнение Максвелла и (2.53), преобразуем (2.51)
ε
0
ϕ ϕρ
= =
э
1
(2.53)
Если заряды точечные, то формула (2.53) допускает дальнейшие преобразования. В соответствии с (2.18) потенциал
, в ме-
сте расположения i-того заряда равняется
q
1
ϕ
r
– расстояние между i-тым и j-тым зарядами, i-тый заряд из
где
ij
=
i
πε
4
i
(2.54)
∑
r
≠
ij
0
ij
суммы, разумеется, должен быть исключен. Подставляя (2.54)
в (2.53), получаем энергию электрического поля, выраженную
через заряды
=
э
πε
8
0
(2.55)
∑
r
≠
ij
ij
qq
1
W
В частном случае двух зарядов, находящихся друг от друга на
расстоянии
qq
1
=
W
э
4
πε
(2.56)
r
0
- 49 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
r ll
W qrl qr q rl r
ϕ ϕϕ ϕ
()rl
ϕ
xyz
rlr lll
xxx
ϕϕϕ
ϕϕ
∂∂∂
+=+++
∂∂∂
,,
xyz
W qEl pE=−=−
E
В этом выражении коэффициент удвоен по сравнению с
(2.55), поскольку следует учитывать два слагаемых, для каждого
заряда раздельно.
Энергия диполя во внешнем поле равна сумме энергий его
зарядов. Если отрицательный заряд расположен в точке г, а по-
(
+
ложительный – в точке
– плечо диполя), то энергия дипо-
ля во внешнем поле с потенциалом ϕ определяется выражением
( ) ( ) ( ( ) ( )).
= −− = −−
(2.57)
Поскольку плечо диполя мало, то, разлагая в ряд Тейлора по
+
трем переменным, величину
и ограничиваясь слагаемы-
ми первого порядка малости, получаем
( ) ()
(2.58)
Учитывая, что
=− =− − − =++
E grad i j k l il jl kl
ϕ
∂∂∂
xyz
ϕϕϕ
∂∂∂
можно выделить в (2.58) скалярное произведение приведенных
выше величин и представить (2.59) в следующем виде
p
где
– момент диполя.
э
(2.59)
2.9. Механические силы в электрическом поле.
Момент сил. Механические силы
в электрическом поле
В соответствии с определением, сила Лоренца (1.21), действующая на одиночный заряд q в электростатическом поле с
напряженностью
, равна
F qE=
. (2.60)
Главный вектор сил, действующих на распределенный заряд
с плотностью р, равен
F EdV
=
.
ρ
∫
V
(2.61)
Сила, действующая на диполь в целом, равна сумме сил, действующих на отдельные заряды
( ) ( ) ( ( ) ( )).F qEr l qEr qEr l Er= +− = +−
(2.62)
- 50 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]