Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика. Учебное пособие
.pdf
( )
( )
{ }
( )
00
( )
00
2
( )
00
2
Sc
/
ω
/
ω
σ
T
αβ
Т
σ
Лекция 5
волны называют поперечными. Из последней формулы видно,
также, электрическое и магнитное поля плоской волны перпендикулярны друг к другу. Поток энергии в плоской волне
ε
S
EH
=
ε
0nE =
S
=
0
µ
0
. И далее
1
ε
поскольку
EE n n E E−
ɛₒE²
µ
=
n
= cɛₒ E²
0
E nE
µ
0
=
ε
0
µ
0
n
= cµₒH²
=
n
E²
, (5.89)
,n
(5.90)
А модуль вектора
S
можно представить
ş ş
E µH
ε
S
=
+
c (5.91)
Таким образом, поток энергии направлен вдоль направления
распространения волны. Поскольку
ş ş
E µH
ε
+
– ω –
плотность энергии электромагнитной волны, то можно выражение для вектора Пойтинга записать в виде:
S
= ωc
n
(5.92)
с – скорость распространения электромагнитных волн, по модулю равная скорости света.
Импульс единицы объема электромагнитного поля есть
2
/
. Для плоской волны это дает (
на то, что соотношение между энергией ω и импульсом
c
n
)
. Обратим внимание
с
электромагнитной волны оказывается таким же, как для частиц,
движущихся со скоростью света. Поток импульса поля дается
максвелловским тензором напряжений
Выбирая по-прежне-
.
αβ
му направление распространения волны в качестве оси x, найдем, что единственная отличная от нуля компонента
xx
= −
xx
= ω
есть
Как и следовало, поток импульса направлен по направлению
распространения волны и равен по величине плотности энергии. Найдем закон преобразования плотности энергии плоской
- 101 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
²²
²
c
ωω σ
′ ′′
,
ωα
′ ′′
=
σ ωα
′ ′′
=−
α
′
²
c
²
2
ε
ω
²
2
ε
ω
²
электромагнитной волны при переходе от одной инерциальной
системы отсчета к другой. Для этого в формулу
1
= +−
²
V
1
−
VV
2
cc
S
x xx
²
надо подставить
cos
2
,
где
S с cos
x
xx
– угол (в системе K᾽) между осью x᾽ (вдоль которой направлена скорость V) и направлением распространения волны.
В результате находим:
V
′
cos
α
c
²
V
−
′
=
ωω
+
1
1
Поскольку
ω =
E
0
=
=
H
0
,
то абсолютные величины напряженностей поля волны преобразуются как
.
5.3. Монохроматическая плоская волна
Важный частный случай электромагнитных волн представляют волны, в которых поле является простой периодической функцией времени. Такая волна называется монохроматической. Все
величины (потенциалы, компоненты полей) в монохроматической
волне зависят от времени посредством множителя вида cos(ωt + α),
где ω – циклическая частота ( или просто частота) волны.
В волновом уравнении вторая производная от поля по времени равна теперь
²²ft∂
= − ω²f,
∂
так что распределение поля по пространству определяется в монохроматической волне уравнением
²
ω
Δf +
f =0 (5.93)
c
В плоской волне (распространяющейся вдоль оси х) поле является функцией только от
- 102 -
ω
{ }
( )
E
( )
A
Лекция 5
x
t −
.
c
Поэтому, если плоская волна монохроматична, то ее поле яв-
ляется простой периодической функцией от
x
.
t −
c
Векторный потенциал такой волны удобнее всего написать в
виде вещественной части комплексного выражения:
x
it
ω
−−
A = Re
Ae
c
0
(5.94)
видно, что и напряженности E и H в такой волне будут иметь
аналогичный вид с той же частотой ω. Величина
λ =
называется длиной волны; это есть период изменения поля с
координатой х в заданный момент времени t.
k =
(где n – единичный вектор в направлении распространения волны) называется волновым вектором. С его помощью можно
представить (5.19) в виде
A = Re
не зависящем от выбора осей координат. Величину, стоящую с
множителем i в показателе, называют фазойволны.
нейные операции, можно опускать знак взятия вещественной
части и оперировать с комплексными величинами как таковыми.
Так, подставив
получим связь между напряженностями и векторным потенциалом плоской монохроматической волны в виде
Здесь
A
– некоторый постоянный комплексный вектор. Оче-
0
2 с
π
(5.95)
ω
Вектор
n
(5.96)
c
i kr t
ω
−
( )
Ae
0
,
(5.97)
До тех пор, пока мы производим над величинами лишь ли-
ω
−
i kr t
= −
At∂
∂
A =
= iω
Ae
0
Ae
0
i kr t
,
ω
−
= ick
- 103 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
A
B
( )
A Ai kr tAikA
B
{ }
α
−
{ }
12
= +
è
12
12
12
( )
ωα
( )
ωα
x
ω
−
it
E =
−A᾽ = iω
–
= rot
=∇=∇ =
= –
1nA
=
c
Ae
0
ω
1
c
iω
c
= ick
nA
=i
,
µ
0
,kA
(5.98)
i
H kA
=
Рассмотрим подробнее вопрос о направлении поля монохроматической волны. Будем для определенности говорить об электрическом поле
Re
E Ee
=
0
i kr t
ω
−
( )
(5.99)
(все сказанное ниже относится, разумеется, в той же мере и к
E
магнитному полю).
2
квадрат
E
есть некоторое, вообще говоря, тоже комплексное
0
число. Если аргумент этого числа есть -2α (т. е.
есть некоторый комплексный вектор. Его
0
2
E
=
0
Ee
220i
−
α
),
то вектор b, определенный согласно
i
=
be
,
(5.100)
=
2
E
. С таким опре-
0
i kr t
ωα
−−
( )
2
b
.
(5.101)
E be
0
Будем иметь вещественный квадрат
делением напишем:
E =Re
Представим b в виде
b b ib
b
b
где
– два вещественных вектора. Поскольку квадрат
1
2
2
b
b
=
1
2
должен быть вещественной величиной, то
b иb
взаимно перпендикулярны. Выберем направление
+
,
2
b
bb
2
- 2i
bb
= 0, т. е. векторы
b
в
1
качестве оси y (ось x – по направлению распространения волны). Тогда из (5.26) имеем:
cos ,
E b t kr
= −+
1
y
E b t kr
cos ,
=± −+
2
z
(5.102)
где знак плюс или минус имеет место в зависимости от того,
b
направлен вектор
в положительном или отрицательном на-
2
правлении оси. Из (5.27) следует, что
E
E
2
y
2
b
1
+
2
z
=1 (5.103)
2
b
2
- 104 -
12
bb=
ω
kk
( )
Лекция 5
Мы видим, таким образом, что в каждой точке пространства
вектор электрического поля вращается в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, причем его
конец описывает эллипс (5.29). Такая волна называется эллиптически поляризованной. Вращение происходит в направлении по
или против направления винта, ввинчиваемого вдоль оси x, соответственно при знаке плюс или минус в (5.27).
Если
, то эллипс (5.28) превращается в круг, т. е. вектор
Е вращается, оставаясь постоянным по величине. В этом случае
говорят, что волна поляризована по кругу. Выбор направлений
осей y и z – составляющих комплексной амплитуды
E
00z
= ±i (5.104)
E
y
E
0
равно
Соответственно для вращения по и против направления вин-
та (правая и левая поляризации).
Наконец, если b
или b2 равно нулю, то поле волны направле-
1
но везде и всегда параллельно (или антипараллельно) одному и
тому же направлению. Волну называют в этом случае линейно
поляризованной или поляризованной в плоскости. Эллиптически поляризованную волну можно рассматривать, очевидно, как
наложение двух линейно поляризованных волн.
Вернемся к определению волнового вектора и введем четы-
рехмерный волновой вектор
i
k
= (
)k
(5.105)
c
Тот факт, что эти величины действительно составляют 4-век-
тор, очевиден хотя бы из того, что при умножении на 4-вектор
x
он дает скаляр-фазу волны:
i
kx
= ωt – kr (5.106)
i
Из определений (5.21) и (5.30) видно, что квадрат волнового
4-вектора равен нулю:
i
=0 (5.107)
i
Это соотношение следует также и непосредственно из того,
что выражение
A =
i
ik xAe−
i
0
Должно быть решением волнового уравнения (5.9).
i
- 105 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
Выводы
В лекции рассмотрены законы, и описывающие их уравнения, для электромагнитных полей, в вакууме в отсутствии источников полей. Получены выражения для характеристик электрической и магнитной составляющих, с помощью которых можно
описать динамику поля.
Вопросы для самопроверки
1. Электромагнитные волны. Уравнения для потенциалов
(вывод).
2. Плоские волны. Свойства плоских волн (вывод). Вектор
потока энергии для плоской волны.
3. Монохроматическая плоская волна. Виды поляризации
волн (вывод).
- 106 -
Лекция 6
t
∂
DE
BH
jE
Лекция 6.
ПРОБЛЕМА ИЗЛУЧЕНИЯ
План лекции
6.1. Дифференциальные уравнения для потенциалов.
6.2. Калибровочные преобразования. Лоренцева калибровка, Кулоновая калибровка.
6.3. Функция Грина для волнового уравнения.
6.4. Излучение от электрического и магнитного моментов.
В электростатике и магнитостатических задачах электромагнитное поле рассматриваются только совместно с источниками-зарядами и токами, так как оно органически связано с этими
источниками и не может существовать без них. По другому обстоит дело в случае переменных во времени полей. Здесь возникшее поле может и «отпачковываться» от источников и таким
образом получает полную самостоятельность существования,
что указывает на новую форму движения материи.
Основная задача в проблеме излучения является определение
свойтсв поля излучения в зависимости от характеристики источников переменных во времени зарядов и токов.
6.1. Дифференциальное уравнение для потенциалов
Поставим задачу определения векторного и скалярного потенциалов по заданным источникам поля зарядам и токам, не
накладывая ограничений на быстроту изменения всех величин
во времени.
Система четырех уравнений Максвелла
div Dρ=
0divB =
rotH j
rotI
= −
∂
z
B
∂
∂
D
= +
дает полное описание динамики заряженных частиц, взаимодействующих с ЭМП. Для макроскопического описания динамических характеристик среды, состоящей из большого количества
атомов, используются материальные уравнения
εε
=
0
,
=
µµ
0
,
σ
=
- 107 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
E
H
=
+=
ϕ
=−−
B
A
BE
tt
∂∂
=+=+ =
∂∂
tt
∂∂
+ −−
∂∂
∂∂
∂∂
11
∂∂
εµ
= =
Уравнения Максвелла образуют систему взаимосвязанных
уравнений первого порядка в частных производных, определяющих изменение составляющих
и
. Для простых конфигураций они могут быть решены непосредственно. Однако часто
удобно ввести потенциалы и свести систему к меньшему систему уравнений второго порядка.
Так как
0div B = ⇒
B rotH
(6.1)
Подставляя (6.1) в 4 уравнение
∂
А
0
rot E
(6.2)
t
∂
Величину в круглых скобках, ротор которой равен 0, очевидно, можно представить в виде grad некоторой скалярной функции:
∂
A
или
Поля,
+=−
E grad
∂
t
E grad
Е
и
, определенные через потенциалы
∂
A
ϕ
(6.3)
t
∂
и φ соотно-
шениями (6.2) и (6.3), тождественно удовлетворяют однородным уравнениям Максвелла. Подставляя (6.2) в третье уравнение Максвелла.
graddiv A A j grad
(для случая
rot rot A j j
A grad divA j
∆− − + =−
∆− =− + +
µµ µµ µ ε µ
00 аб аб аб
j grad
µ εµ ϕ
аб аб аб
µ εµ ϕ εµ
−∆ = − −
εµ εµ µ
аб аб аб аб аб
A j grad divA
ct c
1
аб аб аб аб аб
2
A
2
t
∂
2
A
µ
22 2
∂
аб
t
∂
(вакуум)
- 108 -
A
2
A
2
t
∂
ϕ
е
∂
ϕ
(6.4)
t
∂
Подставляя (6.3) в первое уравнение Максвелла
− −=
В
А
ϕ
ψ
ϕ ϕϕ
∂
→−
,)
ϕ
∂
×=
∂
ϕ
А
ϕ
ϕρ
Aj
A
ρ
div grad
∂
ϕ
t
ε
∂
аб
Лекция 6
∂
ϕ
∆+ =−
divA
∂
t
ρ
(6.5)
ε
аб
Уравнение Максвелла таким образом, сведены и двум уравнениям (6.4) и (6.5), которые однако остаются взаимосвязанные.
Для получения отдельных уравнений воспользуемся неоднозначностью задании потенциалов. Так как,
связано с
формулой (6.1), то векторный потенциал определен с точностью до
аддитивной векторной функции, являющихся градиентом произвольной скалярной функции ϕ.
Магнитное поле не меняется если
'
A A A grad
→=+
(6.6)
Чтобы при этом осталось неизменность так же и электрическое поле, следует одновременно преобразовать и скалярный
потенциал
′
=
(6.7)
t
∂
Соотношения (6.6), (6.8) позволяют в частности выбрать та-
А
ϕ
кую систему потенциалов (
чтобы выполнялось равенство
0div A
(6.8)
t
При этом соотношения (6.4) (6.5) сводятся к двум отдельным
неоднородных волновым уравнениям для
2
ϕ
ϕεµ
∆− =
∂
аб аб
2
∂
t
∆− =−
∆− =−
0
ϕ
ct
1 А
ct
2
1
∂
22
∂
2
∂
22
∂
divА
ε
µ
и
µε
аб аб
∂
∂
t
= −
(6.9)
0
(6.10)
0
Уравнения (6.9), (6.10) в совокупности с (6.8) образует систему уравнений, полностью эквивалентную уравнениям Максвелла.
- 109 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
А
A
′
ϕ
′
ϕ
′
22
2 2 22
1 11
tt
c c ct
ϕ ϕψ
∂ ∂∂
∂∂
ψ
11
ψϕ
∂∂
ϕ
′
ϕ
∆− =
ϕ
′
ϕ
′
6.2. Калибровочные преобразования.
Лоренцева калибровка, Кулоновая калибровка
Преобразования (6.6) (6.8) называются калибровочными образованиями, а ивариантность полей относительно этих преобразований называется калибровочной инвариантностью.
Соотношение (6.8) называется условием Лоренца. Покажем,
что всегда можно выбрать потенциалы так, чтобы они удовлетворяли условию Лоренца. Для этого предположим, что потенциалы
и ϕ удовлетворяющие уравнениям (6.4) и (6.5), не удовлетворяют уравнению (6.8). Произведем калибровочное преобразование потенциалов
и
и попробуем, чтобы A′ и
удов-
летворяют условию Лоренца:
′′
+ = = + +∆ −
Очевидно, если калибровочная функция для
0div A div A
ψ
(6.11)
∂
выбрана та-
ким образом, что она удовлетворяет уравнению
2
ψ
∆− =− +
22 2
сt c
то новые потенциалы А′ и
∂
div A
(6.12)
t
∂
будут удовлетворять условию Ло-
ренца и постановку уравнениям (6.9) (6.10)
Потенциалы, удовлетворяющее условию Лоренца (6.8), все
еще содержат некоторую неопределенность. Очевидно, что
группа ограниченных калибровочных преобразований
→+
′
ϕϕ
→−
A A grad
, (6.13)
ψ
∂
∂
t
С функцией ψ удовлетворяющей уравнению
2
1
ψ
∂
ψ
2
с
сохраняет условие Лоренца, если первоначально А′ и
0
(6.14)
е
∂
удовлетворяли этому условию. Все потенциалы этого ограниченного
потенциалов называют принадлежащими. Лоренцева калибровка является наиболее употребительной поскольку, во-первых
при её использовании
и А′ входят эквивалентным образом в
волновые уравнения (6.9) и (6.10) и во-вторых, потому, что она
не зависит от выбора координатной системы и поэтому очень
удобно в специальной теории относительности.
- 110 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]