Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика. Учебное пособие
.pdf
ρ
εε
( )
ϕ
′
σ
11
ϕ
∂∂
( )
jj j
( )
( )
4'
( ) ( )
4'
∂−
Лекция 6
Другой полезной калибровкой потенциалов является так называемая, кулоновская или поперечная калибровка. При калибровке налагается дополнительное условие
0divA =
(6.15)
Тогда из (6.5) следует что
ϕ
∆=−
(6.16)
0
решение которого имеет вид:
,
1
= ∫
Па F F
4
(6.17)
′
−
r t dV
( )
rt
,
ρ
Скалярный потенциал в (6.9) является мгновенным кулоновским, потенциалом соответствующим плотности заряда ρ (
´,t ) ,
чем и объясняется название «кулоновская калибровка» В этом
случае A’ удовлетворяет неоднородному волновому уравнению.
2
A j grad
∆− =− +
A
µ
22 2
ct c
∂
об
(6.18)
t
∂
Слагаемое в правой части, содержащее скаляр-потенциал,
может быть в принципе вычислено согласно (6.17). Используя
уже непрерывности мы можем записать
' 't
ϕ
∂−
grad grad dV
∂
t EE
1
= ∫
π
4
0
div j r
−
rr
'
(6.19)
'
Если представить так в виде суммы «продольная» и «поперечная» составляющих.
Таких что rot
j
= 0 и
||
= +
div j
= 0, то эти составляющие запишут-
⊥
(6.20)
||
⊥
ся в виде:
−
1
= ∫
j grad div dV
||
4
j rot rot dV
= ∫
⊥
π
1
π
',
jrt
−
rr
jrt
',
rr
−
'
(6.21)
'
'
(6.22)
Действительно, продифференцируем обе части равны (6.17)
по времени и воспользуемся, условием непрерывности.
, ' ',
r t div j r t
ϕ
∂
t EE r r
1
=−∫
0
'
dV
(6.23)
- 111 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
( )
,'
4'
4'
=−−
( ) ( )
''
,,
11
,'
4 '4 '
ππ
=∫−∫
( )
4'
∫=
( )
'0
4'
∫=
jj j
( )
( )
''
−−
( )
4'
jj
А
A jj j
µµ
где «’» означает, что div проводится по области V’ т. к.
j r t dV
( )
1
=− ∆∫
π
',
jrt
rr
−
(6.24)
1
2
V rr
'
rr
−
πδ
( )
Тогда
j r t rot rot dV grad div dV
( )
jr t jr t
rr rr
−
′
−
(6.25)
Сила тока представлена в виду суммы двух членов, причем
'
,
jr t
rr
−
'
jr t
rr
−
′
0
,
1
div rot rot dV
π
1
rot grad div dV
π
Следовательно
где
= +
j
j
и
определяются (6.21) и (6.22). Интегрированием по ча-
⊥
||
,
||
⊥
стям с учетом того, что подынтегральное выражение исчезает на
границах области интегрирования, можно показать, что
'
,
div dV dV
∫=
Следовательно (6.21) для
j grad dV
||
jr t
rr rr
1
=−∫
π
' ',
div j r t
′
∫
j
принимает вид:
||
' 't
div j r
rr
−
'
'
(6.26)
(6.27)
далее сравним (6.19) и (6.25)
ϕ
∂
|| ||
∂
t
= =
εε ε
0 об
(6.28)
grad
Таким образом, источником в волновом уравнении для
служит поперечный ток.
2
1 A
∆− − − =−
∂
22
∂
ct
- 112 -
( )
(6.29)
⊥
A
A
( )
сс≡
00
εµ
сv≡
( )
δδ
( )
( ) ( )
ψ
Лекция 6
чем и определяется название «поперечная калибровка». Кулоновская (поперечная) калибровка часто используется для описания полей в отсутствие источников. В этом случае φ = 0,
удовлетворяет однородному волновому уравнению, а поля определяются через
соотношениями
= −
E
∂
A
(6.30)
∂
t
B rotA=
.
6.3. Функция Грина для волнового уравнения
Волновые уравнения (6.9), (6.10) и (6.29) имеют одинаковую
структуру
где
,f rt
ψ
∆− =
– функция распределения источников, с – скорость
2
1
ψ
∂
2
∂
с
,f rt
(6.31)
( )
t
распределения волны в пространстве
1
=
–
скорость света в вакууме
1
=
ε εµ µ
–
00
скорость света в веществе.
Для решения уравнения (6.31), так же, как и в электростатике, нужно найти сначала функцию Грина. Поскольку теперь поля
зависят от времени, функция Грина будет зависеть от перемен-
'
ных
, ,,'rr tt
и должна удовлетворять уравнению
1
∆− =− − −
22
сt
2
∂
∂
'
,; ,' ' 'Grtr t r r t t
( )
( ) ( )
(6.32)
Решением уравнения (6.31) в неограниченном пространстве
без граничных поверхностей через G интегралом
, , , ,' ,' 'dt'rt G rtr t f r t dV
= ∫
''
(6.33)
Здесь нужно попробовать, чтобы функция Грина удовлетворяла определенным граничным условиям, которые задаются физическими требованиями.
- 113 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
( )
rr
''
− −−
( )
( )
''
− −−
( )
42
11
c
πω
'r
'tt<
tt>
( )
ω
= ±
Основная функция Грина, удовлетворяющая (6.32) зависит
'
только от разностей координат
−
и времени (t-t’). Для нахождения G обе части уравнения (6.32) в виде интегралов Фурье. Дельта-функцию в правой части можно представить следующим образом
δδ
( ) ( )
1
''
r r t t d k div e e
− −= ∫ ∫
(2 )
3
4
π
ik r r i t t
( ) ( )
ω
(6.34)
Соответственно, физики 17 года были самыми лучшими,
а мы запишем функцию G в виде:
ik r r i t t
ω
Функцию
G rtr t d k d gk e e
gk
ω
=∫∫
легко определить, подставляя (6.34) и (6.35) в
'3
,, ,' ,
ωω
( ) ( )
(6.35)
(6.32). После подстановки и несложных преобразований получим:
,
gk
ω
( )
=
(2 )
(6.36)
2
k
−
2
При подстановке g (
ванием по
k
и ω мы сталкиваемся с особенностью подынте-
грального выражения при
k
ω) в (6.35) и последующем интегриро-
2
ω
2
k
=
.
2
c
Решение (6.36) имеет смысл только в том случае, если мы
знаем правила обращения с этой особенностью. К этим правилам можно прийти только из физических соображений. Функция Грина, удовлетворяющая уравнению (6.32), представляет
собой волновое возмущение, вызванное точечным источником,
находящемся в точке
и излучающем только в течении бесконечно малого промежутка времени при t-t'. Мы знаем, что такое
возмущение распространяется со скоростью с в виде расходящаяся сферической волны. Следовательно, необходимо потребовать, чтобы наше решение для G обладал следующими свойствами:
а) G = 0 виде при
б) G представляет собой расходящуюся волну при
'
При интегрировании по ω в (6.35) сталкиваемся с особенно-
стью функции
ω
, в точках
ck
. Представляя интеграл в
gk
виде интеграла Коши по полноценной плоскости ω и смещая
- 114 -
ω
=
ε
82
()
ki
c
ωε
−+
'Rrr= −
ε
ω
=∫⋅
dk
∞
−∞ < < ∞
RR
cc
ττ
−+
δ
( )
Rc
tt
r
r
Лекция 6
полюса
(А.Н. Матвив, Электродинамика, стр 229-233), получим функ-
цию Грина в виде:
где
личина
Интегрирование по
Интегрирование по
Поскольку интегрирование здесь можно распространить на
весь интеграл
представим (6.39) в виде
Эти интегралы выражаются через
мент второй δ функции никогда не образуется в нуль
Таким образом, вклад в G дает только первый интеграл и функция Грина оказывается равной
Или более подробно
Это групповая функция иногда называется запаздывающей
функцией Грина. Такое название отражает естественную причиную последовательность при распространении волновых возмущений. Эффект, наблюдаемый в точке
вызывается возмущением, которое произошло в точке
ранее (так, называемое запаздывающее время).
t ck
вниз от действительной оси на малую величину
,, ,'
G r t r t d k div
( )
= −
,
G dx e e r
iRR i i
ω
'3
1
− ∫∫
4
(2 )
π
′
,i tt
– положительная, бесконечно малая ве-
−
l
1
2
даст
c cik
G d ke
G Rk cidR
=
k
= −
(2 )
3
(2 )
π
3
производим сначала по углам:
2
c
2
(2 )
∫
R
π
0
заменяя переменную k на х = ck, мы
∞
1
π
2
∫
R
−∞
sin
3
ikR
k
sin sin
i ri
( ) ( )
(6.38)
(6.39)
(6.40)
функции Диланд. Аргу-
G
= −
π
4
'
,, ,'
G rt r t
= =
( )
1
δτ
δ
R
'
rr
−
'
c
−
'
rr
−
(6.41)
в момент времени t,
- 115 -
(6.37)
0τ>
'
в более
.
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
rr
ψ
dt'
( )
,'
4'
ψ
( )
rr
'r
rr
tt<
'tt>
−
=′−
tt
'
c
Решение полного уравнения (6.31) в отсутствии границ име-
ет вид
rr
'
−
′
tt
δ
−−
, , 'dt'
r t f r t dV
( )
= ∫
c
rr
−
1
4'
π
'
( )
(6.42)
Производя интегрирование по
запаздывающее решение
где
' 't
fr
означает, что в качестве
зап
r t dV
( )
Из (6.43) видно, что вклад в потенциал в момент времени t
возникает за счёт состояния источника потенциала f(
в предшествующие моменты времени, причем время запаздывания равно
Отсюда ясно, что константа с играет роль скорости распространения действия от источника потенциала в точку, где это
действие проявляется.
При решении уравнения для функции Грина можно было бы
вместо условия, что функция Грина равна нулю при
рое имеет ясный физический смысл принять условия ее обращения в нуль при
, что математически вполне корректно. По
физическому смыслу это означает, что потенциал, создаваемый
источником, возникает раньше, чем источник, т .е. как бы следствие возникает раньше, чем источник возникает раньше, чем
источник. Поэтому такого рода предположение нуждается в
дальнейшем физическом анализе, но такое решение необходимо
иметь, потому что решить задачу с начальными и краевыми условиями, пользуясь только запаздывающим потенциалом, не
удается.
1
= ∫
π
≡′−
t
t
- 116 -
−
, получаем, так называемое
fr
' 't
c
rr
−
−
'
c
'
.
зап
(6.43)
.
'
, кото-
,t’)
tt
−−
tt
+−
11
,'
4 ' 4'
ψ
ππ
=∫=∫
,,, '
,,, '
ϕ
'
'''
22 2
,,, '
,,, '
Лекция 6
Приняв вышеуказанное условие, всё дальнейшие вычисления приводит к решению, точно совпадающему с (6.41), но в
аргументе δ вместо
R
'
стоит
c
R
'
.
c
После интегрирования по t’ а для второго случая получаем
выражение
,
f rt
r t dV dV
( )
rr rr
'
rr
−
+
c
−
′
' 't'
fr
( )
−
(6.44)
Соответственно, решениями уравнений (6.9), (6.10) (6.29) будет являться выражением для
1) Запаздывающих потенциалов
′′
,,,
jxg ft
µµ
0
=
4
µπ
1
πε ε
0
∫
ρ
∫
′
,,,
xyft
A x у f t dV
( )
x y f t dV
( )
=
r
′
−
c
R
′
′
−
R
(6.45)
r
c
(6.46)
где dV
( ') ( ') ( ')R xx yy f f= − +− +−
= dx
dy df
– элемент объема интегрирования;
– расстоянием между
точкой интегрирования и точкой, в которой выявляется
значение функции.
2) Отражающих потенциалов
r
′
′′
,,,
jxy f t
µµ
0
∫
A x y f t dV
( )
ϕ
x y f t dV
( )
=
π
4
1
=
πε ε
4
0
- 117 -
ρ
xyft
∫
R
′
′
,,,
R
+
c
.47)
r
′
+
c
(6.48)
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
JJ t
ω
=
( )
p gtl
mm
6.4. Излучение от электрического и магнитного моментов
Рассмотрим две типичные задачи на определение поля излучения, когда в качестве источника измерения выбрана система,
характеризующаяся или электрическим моментом (открытая
антенна), (а), или магнитным моментом (рамочная антенна) (б).
Предположим, что в обоих случаях возбуждается переменный ток.
cos
0
причем антенна предполагается настолько короткой, что так
считается неизменным по всей и длине (элементарная антенна).
В первом случае электрический момент
=
будет изменяться за счет изменения заряда на одном из концов антенны
(поскольку, длина антенны l) причем, очевидно
dp dq
dt dt
l Jl
= =
(6.49)
Можно рассмотреть случай распределения электрического
момента в области занятой источником. Предположим, что в каждой точке источника известен вектор поляризации Р(х,у,f,t).
dp
Тогда электрический момент
элемента объема dV равен:
dp PdV=
(6.50)
Первое излучение может быть охарактеризовано электрическим элементом системе
p PdV= ∫
(6.51)
Если задана рамка, то такая система, очевидно, не имеет
электрического момента, так как электрический ток в этом случае можно считать замкнутым. Переменное поле, возбуждённое
рамкой, может быть охарактеризовано переменным по времени
магнитным моментом
поскольку так J и векторная площадь рамки
р
:
m
p JS JSn= =
m
(6.52)
Sn
считаются за-
данными.
Обобщая этот случай, можно считать заданными распределение в источнике вектора намагничивания
dp MdV p MdV= = ∫
,
(6.53)
- 118 -
( )
( )
U хуft
ϕρ
Aj
+=
=−− =
ρ
=
11
∂∂
Лекция 6
Итак, решим задачу определения поля излучения в первом
случае по заданному вектору поляризации
ром случае по заданному вектору намагничивания
,,,P ху ft
и во вто-
,,,
Исходными могут служить уравнения для потенциалов, лежащие в основе решения проблемы излучения:
2
1 d
ϕ
∆− =−
22
c dt
1 A
∆− =−
∂
22
c dt
1
c
Через эти потенциалы определяются поля
E grad B rotA
,
ϕ
ε
0
2
µ
0
ϕ
∂
0divA
2
t
∂
∂
A
t
∂
Неудобство непосредственно применения этих формул заключается в несколько иной характеристики источников через
заряды и тока, тогда так в приведенной выше постановки задачи
заданы вектор поляризации или вектор намагничивания. Поэтому, прежде всего, введем эти величины в исходные уравнения
теории и токами с одной стороны и вектором поляризации и вектора намагничивания с другой.
divPρ= −
∂
P
=
∂
t
(6.54)
св
j
св
для первого случая:
0
.
Таким образом, для первого случая:
j rotM=
мол
∆− =
∆− =−
2
∂
2
∂
f
c
2
1 P
22
ct
∂
(6.55)
divP
ϕ
ε
0
A
µ
0
- 119 -
(6.56)
t
∂
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
+=
+=
ϕµ
=−=
00
11 1
εε
00
tt
µµ
∂∂ ∂
∂∂
tt
∂∂ ∂
∂∂
1
∂
0divA
2
t
∂
c
для второго случая:
2
1
∂
∆− =
22
сt
∂
0
ϕ
(6.57)
∆− =−
2
∂
1
22
∂
ct
A rotM
2
1
ϕ
∂
2
t
∂
c
µ
0
0divA
где ϕ можно положить тождественно равным нулю.
Сведем эти два тока уравнений практически и одному, введя
новый неизвестнный вектор электрический поляризационный
потенциал
П
и магнитный поляризационный потенциал
е
П
.
m
Пусть для первого случая:
1
ε
0
,
divП A
е
П
∂
е
(6.58)
0
t
∂
Тогда подстановка даст
− ∆− =
div П divP
− ∆− =
div П divP
∆− =−
∆− =−
∂
22
∂
ct
1
∂
22
ct
∂
2
1
22
ct
∂
2
1
22
ct
∂
2
е
2
е
П
е
П
е
P
P
Или
div П Р
∆− + =
∂∂
∆− + =
t
∂
2
∂
1
22
ct
∂
2
1
22
ct
∂
- 120 -
е
ПP
е
0
(6.59)
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]