Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика. Учебное пособие
.pdf
Лекция 3
.Аj
xx
yy
zz
Аj
Аj
Аj
φ ρε
ρ
φ
Лекция 3
где ψ– произвольная скалярная функция. Поэтому из класса
функций (3.9), соответствующих определению векторного потенциала (3.8), можно выбрать произвольным образом единственную функцию, наложив дополнительное условие (условие
калибровки). При рассмотрении задач магнитостатики таким
дополнительным условием является так называемая кулоновская калибровка
0.div A =
(3.10)
Подставив (3.1)в(3.8), получим
.rot rot A j
µ
=
(3.11)
0
Из известной формулы дифференциальной геометрии (п 7)
следует, что
2
.rot rotA grad div A A= −∇
Поскольку в соответствии с условием калибровки
(3.12)
divA
, то из
(3.11) следует, что
2
∇=−
µ
(3.13)
0
Это векторное равенство включает в себя три скалярных равенства для х, у, z -оставляющих векторного потенциала и плотности тока
2
∇=−
∇=−
∇=−
µ
2
2
0
µ
(3.14)
0
µ
0
Как показано выше, связь лапласиана потенциала электрического поля и плотности заряда
2
∇=−
/
0
взаимно однозначно соответствует интегральной зависимости
тех же параметров
1 ( ') '
=
4
πε
r dV
∫
0
V
'
.
r
По аналогии с этими формулами, исходя из (3.14), можно записать соответствующие интегральные зависимости для составляющих векторного потенциала:
( ') '
j r dV
µ
0
A
=
x
x
∫
4
π
r
'
V
- 61 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
r
00
44
rr
µµ
ππ
φφ φ
=+×
rr r
=+×
23
r
rr
=−=−
( ') '
j r dV
µ
y
0
A
=
y
∫
4
π
'
V
( ') '
j r dV
µ
z
0
A
=
z
∫
π
4
V
'
(3.15)
r
r
Следовательно,
µ
( ') '
j r dV
0
=
Здесь
– расстояние между элементом тока и точкой, в кото-
A
∫
π
4
V
'
. (3.16)
r
рой определяется потенциал.
3.3. Закон Био-Савара
Определим магнитную индукцию, создаваемую в некоторой
точке током, распределенным в объеме V. Используя определение векторного потенциала (3.8) и поставляя его значение (3.16),
записываем
B rot rot dV
= =
jdV j
∫∫
VV
.
(3.17)
В последнем равенстве операции rot и интегрирования переставлены. Такая перестановка возможна, поскольку интегрирование по объему производится при фиксированной точке, где
определяется индукция, а вычисление rot-вариацией указанной
точки при фиксированных токах в объеме V.
В соответствии с одной из формул дифференциальной геометрии (см. приложение) rot произведения произвольных скаляр-
ной и векторной функций равняется
Используем эту формулу для подынтегрального выражения в (3.17)
11 1
()rot A rot A grad A
.rot j rot j grad j
(3.18)
Учитываем, что rot вычисляется по точке, где производится
определение индукции, а вектор
ски постоянным. Следовательно, надо считать, что rot
j
при этом является фактиче-
j
= 0.
В соответствии с приложением (п. 3)
11
grad grad r
r
.
(3.19)
.
- 62 -
Таким образом,
rj
00
33
44
VV
rr
µµ
ππ
××
=−=
∫∫
jrB
B
00 0
3 33
44 4
BI
r rr
µµ µ
ππ π
××
r
r
′
r rr
′′
= −
00
2.
′
11 1
rot j rot j grad j
= + ×=−
rr r
Подставляя это равенство в (3.17), получаем
Лекция 3
×
3
r
B dV dV
r j jr
(3.20)
Формула (3.20) составляет содержание закона Био-Савара.
В соответствии с этим законом векторы
вую тройку векторов. Обычно направление
,,
составляют пра-
определяют в со-
ответствии с правилом буравчика (правого винта).
Если ток линеен и замкнут, то закон Био-Савара можно представить следующим образом
()
jdV r
= = =
×
∫ ∫∫ ∫
V LS L
jdSdl r dl r
.
(3.21)
Здесь интегрирование по объему представлено в виде двух
последовательных интегрировании: по площади поперечного
сечения проводника и его длине. Учтено, что ток в проводнике
замкнут и всюду одинаков
I j dS const= =
∫
S
.
(3.22)
3.4. Поле элементарных линейных токов
Элементарными токами называются замкнутые токи, сосредоточенные в малом объеме, удаленном на значительное расстояние от точки, где определяется индукция.
Выбираем произвольную точку О внутри указанного малого
объема в качестве начала координат (рис. ). Вектор
начало координат и точку, где определяется индукция, вектор
начало и выделенный элементарный ток, вектор
связывает
r
–
0
– элементар-
ный ток и указанную точку.
Поскольку указанные векторы составляют треугольник и
, то в соответствии с теоремой косинусов
0
222
r r r rr
=+−
(3.23)
- 63 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
00
rr
rr
rr
r
′
00
0 00
11
() .
VV
µµ
∫∫
∫ ∫∫ ∫
00
() .
µ
00
33
() ().
44
VL
rr
µµ
ππ
∫∫
lr∆=∆
00
() .
µ
В соответствии с исходными предположениями
1; 1
<< <<
′
(3.24)
Как показано при выводе соотношений электростатики, из
(3.23), (3.24) следует приближенная формула
≅+
rr
0
.
(3.25)
3
11
Подставляя (3.25) в (3.20), получаем
00
A jdV j rr dV
Величины 1/r и 1/r
= +
r
44
ππ
3
здесь вынесены за знаки интегралов,
3
r
(3.26)
поскольку для заданной точки, где измеряется индукция, они
фиксированы. Преобразуя элемент объема также, как в (3.21),
получаем
jdV j dS dl I dl= = =
0
V LS L
0
0,
(3.27)
поскольку интеграл по замкнутому контуру от элемента этого
контура равен нулю. Таким образом, в (3.26) первый интеграл
тождественно равен нулю, а значение векторного потенциала
целиком определяется вторым интегралом
1
0
A j rr dV
=
3
∫
4
π
r
V
0
Учитывая, что ток линеен, и взяв интеграл по поперечному
сечению проводника, преобразуем интеграл по объему в интеграл по замкнутому контуру, вынося при этом величину тока за
знак интеграла:
А j rr dV rr dl
1
= =
00 0
0
В интеграле по замкнутому контуру (3.28) дифференциал
может быть интерпретирован как приращение радиус-вектора
Таким образом,
(рис.). Учитывая эту замену, запишем
0
I
(3.28)
dl
r
0
(3.28) в следующем виде
I
0
A rr dr
=
3
∫
4
π
r
L
(3.29)
.
- 64 -
00
33
() ().
44
II
rr
µµ
ππ
00
µ
0000
()()()().
=+=
( )0
=
00
( ) ( ).
=
00
µ
( ) ( ).
LL
∫∫
00
33
88
LL
II
rr
µµ
ππ
=− − = ××=
∫∫
() ()
00
33
LL
II
rr
µµ
ππ
= × ×= × ×
∫∫
Лекция 3
Считая некоторую точку D на контуре начальной, возьмем
(3.29) по частям
A rr r r d rr
= −
D
00 0 0
D
∫
L
(3.30)
Первое слагаемое в (3.30) равно нулю в связи с совпадением
начальной и конечной точек пути интегрирования. Поэтому
A r d rr
= −
4
π
( ).
3
∫
r
L
I
0
Далее раскроем дифференциал под знаком интеграла
d r r dr r r dr r dr
В связи с постоянством величины rее дифференциал равен
нулю dr= 0. Поэтому первое слагаемое здесь равно нулю
dr r
и
0
d r r r dr
(3.31)
Учитывая (3.31), приводим (3.30) к виду
A r rdr
= −
4
π
( ).
3
∫
r
L
(3.32)
I
0
Представим величину векторного потенциала A в виде полу-
суммы выражений (3.29) и (3.32)
µ
I
0
A rr dr r rdr
= −
3
π
8
r
Объединяя интегралы, получаем
A rr dr r rdr r dr r
() ( )
( )
00 0 0 00
µ
I
0
= ××
8
3
∫
π
r
L
где использована известная формула (п.1)
A B C B AC C AB
×× = −
и сделаны две перестановки множителей в векторных произведениях при переходе в последнем равенстве.
Поскольку вектор r является постоянным, он может быть
вынесен за знак интеграл
A r dr r r dr r
[ ] [ ]
00 00
88
- 65 -
00 0 0
r dr r
[ ]
00
,
(3.33)
[ ]
(3.35)
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
2
00
,)
[ ]
00
00
[ ]
pr
Замечаем (рис. ), что величина
1
sin ,(
αα
00
соответствует площади сегмента
угол между векторами
dS r dr
= −
r dr
поверхности, ограниченной контуром, причем направление век-
r dr×
тора
-это направление этого сегмента. Поэтому вектор
1
S r dr= ×
∫
2
L
(3.36)
соответствует площадке на поверхности, ограниченной контуром L. При этом не важно, каким именно способом натянута поверхность. Вектор
p IS=
m
(3.37)
называется магнитным моментом элементарного линейного
тока. Магнитный момент составляет с направлением обтекания
контура током правовинтовую систему и его направление определяется по правилу буравчика.
Как синонимы магнитного момента используют также термины контур или рамка с током, а также магнитный диполь.
Если выполнить контур из сверхпроводящего материала, через
который пропущен ток, то ток и соответствующий магнитный
момент будут оставаться неизменными бесконечно долго. Однако если вносить этот контур во внешнее магнитное поле, то,
вследствие явления электромагнитной индукции, ток в контуре
будет изменяться. Если выполнить контур из материала, удельное сопротивление которого не равна нулю, то ток будет изменяться и затухать, даже если этот контур неподвижен. С целью
упростить рассмотрение считают, что ток в контуре фиксирован
благодаря источнику постоянного тока, который включен в контур последовательно. Если такой источник отсутствует, то этот
упрощенный случай рассматривается как базовый для последующего рассмотрения.
Векторный потенциал индукции магнитного поля, возникающего в пространстве при наличии магнитного момента, получаем, подставляя (3.32) в (3.26)
×
µ
m
0
A
=
4
π
.
(3.38)
3
r
- 66 -
[ ]
3 53
mm
r rr
V
() .
00
VV
W A rot B dV div A B dV
= +×
∫∫
Лекция 3
Соответственно (см. 4.8), индукция магнитного поля равня-
ется
pr
µµ
00
= = −
B rot
44
ππ
×
m
3( )
p rr p
×
.
(3.39)
Формулы для индукции, вызываемой магнитным моментом,
и напряженности от электрического диполя совпадают с точностью до коэффициентов. Однако следует подчеркнуть, что обе
формулы -приближенные и описывают поля на большом расстоянии от магнитного момента и электрического диполя (в «дальней зоне»). В непосредственной близости к моменту и диполю
характер полей резко отличается. Линии напряженности электрического поля испытывают разрыв на зарядах, поэтому непосредственно между зарядами направление этих линий встречно
общему направлению поля вдали от диполя. В то же время, линии магнитной индукции не испытывают разрыва внутри контура с током.
В этом отличии полей сказывается то обстоятельство, что
электрическое поле потенциально, а магнитное – соленоидально.
3.5. Энергия магнитного поля постоянных токов
В соответствии с (1.47) суммарная энергия магнитного поля
определяется интегралом по объему пространства
1
2
W B dV
=
M
2
µ
0
.
∫
(3.40)
Удельная энергия поля (в единице объема) равняется
2
B
w
M
.
=
(3.41)
2
µ
0
Учитывая известную формулу для произвольных векторов
div A B B rot A A rot B
×= −
векторный потенциал
и представляя вектор индукции через
B rot A=
, выражаем квадрат индукции
следующим образом
2
B B B rot A B A rot B div A B
=⋅= ⋅ = + ×
(3.42)
Подставляем (3.42) в (3.40):
11
M
22
µµ
(3.43)
- 67 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
VV
= +×
∫∫
A
×=
′′
′
VV
′
ik
≥
11
NN
Mk
kk
W A jdV Aj dV I Adl
∑∑
rot B j
µ
Используя первое уравнение Максвелла
=
0
и теорему
Гаусса, получаем
Потенциал
1r−
r, как
, индукция B, в соответствии с (3.21), – как
щадь S, как – r
W Aj dV A B dS
M
22
µ
0
зависит, в соответствии с (3.12), от расстояния
2
. Поэтому при бесконечном увеличении объема
(3.44)
2r−
, а пло-
11
второй интеграл в (3.44) стремится к нулю и в дальнейших расчетах может не учитываться
1
∫
2
µ
0
S
A B dS
0.
(3.45)
Используя (3.12), представляем векторный потенциал как
функцию от токов
µ
j dV
0
A
=
4
π
Здесь r – расстояние от элемента тока
.
∫
V
(3.46)
r
j
до точки, где определяется потенциал. Подставляя (3.46) в (3.44), получаем выражение для энергии магнитного поля в виде двойного интеграла
()
∫∫
′
jj
r
′
′
.
(3.47)
j
µ
0
=
W dV dV
M
8
π
В этом выражении r – расстояние между элементами токов
j
. Если токи линейны, то интегрирование по площади их попе-
речного сечения приводит к формуле Неймана
NN
µ
W II
0
=
∑∑
M ik
8
π
= =
ik
11
Число контуров N может превосходить единицу (N
∫∫
LL
ik
dl dl
.
(3.48)
r
ik
1). Слагаемые с повторяющимся индексом (i=k) при интегрировании не исключаются (как это делается для зарядов в электрическом поле).
Еще одно выражение для энергии системы линейных токов
можно получить, исходя из (3.44),
11 1
= = =
∫ ∫ ∫∫
22 2
V V VL
= =
k kk
.
(3.49)
Здесь взяты интегралы по площади поперечного сечения и
вынесены постоянные величины токов из интегралов – слагаемых. В результате интеграл по общему элементарному объему
,
- 68 -
11
11
22
NN
M k kk
kk
∑∑
kk k
LS S
∫∫ ∫
2
82
M ik ik ik
ik
Лекция 3
распался на сумму интегралов по контурам элементарных линейных токов. Производя дальнейшие преобразования, получаем
где
W I Adl I Ф
= =
Ф Adl rot AdS BdS= = =
k
∫
= =
L
k
,
(3.50)
(3.51)
поток в к-том контуре, создаваемый всеми токами, включая и
I
ток
– собственный ток в этом контуре. Если контур единствен-
k
ный, то учитываем только собственный поток Ф. Формула (3.51)
тогда принимает вид
1
W IФ=
M
.
(3.52)
Таким образом, энергия магнитного поля, создаваемого током, текущим по контуру, равна половине произведения этого
тока на поток магнитной индукции, пронизывающий поверхность, ограниченную контуром. В связи с соленоидальностью
магнитного поля не важно, каким именно образом проведена эта
поверхность.
3.6. Самоиндукция и взаимоиндукция
Взяв за основу формулу для энергии магнитного поля (3.48),
можно ее представить ее в следующем виде
NN NN
µ
W II L II
0
= =
∑∑ ∑∑
π
ik ik
= = = =
11 11
∫∫
ll
ik
,
dl dl
ik
r
1
,
(3.53)
где
µ
dl dl
0
=
Коэффициент
L
L
ik
∫∫
π
4
ll
ik
называется взаимоиндукцией i-того и k-то-
ik
(3.54)
r
го проводников (i≠r), а при i=r – самоиндукцией i-того проводника. Самоиндукция зависит от формы проводника, а взаимоиндукция от формы двух соответствующих проводников и их
взаимного расположения. Из симметрии формулы (3.54) следует, что взаимоиндукция не зависит от того, какой проводник считать первым, а какой – вторым.
- 69 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
LL=
()
Lk i≠
W LI
. (3.55)
ik ki
Из сопоставления формул (3.47, 3.50) следует, что поток,
пронизывающий к-тый контур, равняется
N
∑
i
.
(3.56)
1
=
ki
со всеми кон-
Ф LI
=
k ki i
Этот поток зависит от взаимоиндукции
турами, самоиндукции
L
рассматриваемого контура и всех N
kk
токов, считая ток в собственном контуре. В случае одиночного
контура
Ф=LI. (3.57)
Энергия магнитного поля, создаваемого одиночным током, в
соответствии с (3.52, 3.57) равняется
2
/ 2.
=
M
(3.58)
3.7. Энергия магнитного момента во внешнем
магнитном поле
Энергия магнитного момента определяется, исходя из работы, совершаемой сторонней механической силой при внесении
этого момента во внешнее магнитное поле. Для определенности
будем считать, что магнитный момент создается током в первом
контуре, а внешнее магнитное поле создается током, протекающим по некоторому неподвижному второму контуру. Второй
контур находится на сравнительно большом расстоянии от рассматриваемого магнитного момента, так что внешнее поле в
окрестности первого контура можно считать однородным.
Вследствие явления электромагнитной индукции при движении рассматриваемого магнитного момента токи в цепях обоих
контуров, вообще говоря, должны изменяться. Однако по условию, в цепь контура магнитного момента включен источник постоянного тока. Будем считать, что в цепи второго контура также
имеется источник постоянного тока, который обеспечивает постоянство внешнего магнитного поля в пространстве рассматриваемого магнитного момента при любых его перемещениях.
При движении магнитного момента его контур совершает
механическую работу и изменяется поток магнитной индукции
внешнего магнитного поля в контуре. Во втором контуре при
- 70 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]