Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика. Учебное пособие
.pdf
Лекция 1
012
µ
12
II
µ
22
Лекция 1.
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ПОЛЕЙ И ЗАРЯДОВ
В ВАКУУМЕ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ВАКУУМЕ
План лекции
1.1. Законы Ампера и Кулона. Системы единиц.
1.2. Локальные характеристики электромагнитного поля.
1.3. Сохранение электрического заряда. Уравнение непрерывности.
1.4. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме.
1.5. Закон сохранения энергии применительно к лектромагнитным явлениям.
1.6. Феноменологический подход в электродинамике сплошных сред.
1.1. Законы Ампера и Кулона. Системы единиц
Электромагнитным полем называется область пространства,
в которой проявляется действие электрических и магнитных
сил. Основная система электромагнитных единиц в настоящее
время – это система СИ. В этой системе единица силы тока устанавливается исходя из закона Ампера. В вакууме, в соответствии
с этим законом, удельная сила взаимодействия (на единицу дли-
l
) проводника 1, параллельного другому бесконечно длинно-
ны
му проводнику 2, находящемуся на расстоянии a, равна
II
/
f Fl
,
где
– токи в этих проводниках,
ент. Током силой один ампер (А) считается ток, для которого
удельная сила взаимодействия между проводниками, находящимися на расстоянии a = 1 м, равна f = 2*10-7 Н. Подставляя все
эти величины в формулу (1.1), находим следующее значение коэффициента, который называется магнитнойпостоянной:
Таким образом, значением магнитной постоянной мы задаемся изначально. Исходя из этой величины, определяем единицу
электрического тока – ампер и связанную с ампером единицу
количества электричества Кл (кулон) = А*c. Кулон равен количеству электричества, прошедшему через проводник за время 1с
при токе 1А.
= =
4 *10
µπ
=
0
7
−
, (1.1)
2
a
π
– некоторый коэффици-
0
м кг
. (1.2)
Ас
- 11 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
12
ε
ε
ε
22
22
U NI=
/RU I=
/C qU=
Закон Кулона определяет силу F, с которой взаимодействуют
в вакууме два точечных заряда q1 и q2, находящихся на расстоянии r друг от друга:
qq
1
=
F
4
πε
. (1.3)
2
r
0
Поскольку единицы заряда (кулон) и силы (ньютон) зафиксированы, входящая в эту формулу величина коэффициента –
электрической постоянной
, не может быть свободно выбрана
0
и должна быть определена из эксперимента. Однако, в связи с
невозможностью получения на практике больших зарядов (из-за
возможности пробоя) и, соответственно, удобных для измерения больших сил, точность такого определения непосредственно по формуле (1.3) невелика. Поэтому для получения значения
электрической постоянной
пользуются известным соотноше-
0
нием, которое мы получим в последующих разделах,
1
с
=
εµ
00
, (1.4)
где с – скорость света в вакууме (с = 3*108 м/с, точнее
с = 299792458 м/c). Из (1.3) с учетом (1.4) следует, что
1
=
0
4 *9 *10
π
Ас
9
кг м
3
=
8,85 * 1 0
Ас
12
−
(1.5)
3
кг м
Заметим, что в настоящее время единица длины устанавливается как вторичная по отношению к единице времени – секунде
и скорости света, значение которой регламентируется и приведено выше.
Производными электрическими единицами являются:
• единица напряжения – вольт, получаемая из соотношения
В = Вт/А (исходя из зависимости: напряжение равно
частному от деления мощности на ток (
/
• единица сопротивления – Ом, из соотношения Ом = В/А
(
),
• единица емкости – фарада, из соотношения Ф = Кл/В
(
),
• единица индуктивности – Генри, из соотношения
Гн = В*с/А (
=
).
dt
dI
/
LU
- 12 -
),
12
/rr
r
Лекция 1
Формулы в скобках известны из общего курса физики. Их
обоснование мы приведем ниже.
1.2. Локальные характеристики электромагнитного поля
В соответствии с законом Кулона, сила F, с которой взаимодействуют два точечных заряда q1 и q2, находящихся на расстоянии r друг от друга, равна в вакууме:
qq
1
F
=
4
πε
0
r
. (1.6)
2
r
r
В этой формуле посредством введения множителя, единичного вектора
, учтено направление действия кулоновской
силы: притяжение при разноименных и отталкивание – при одноименных зарядах.
Исходя из представлений об электромагнитном поле, процесс
взаимодействия между зарядами интерпретируется следующим
образом:
1) точечный заряд, например q
, создает в окружающем
1
пространстве электрическое поле, напряженность которого определяется формулой
−
q
1
r
где
E
=
– радиус-вектор, проведенный из точки, где нахо-
4
πε
1
, (1.7)
2
r
r
0
дится заряд q1, в точку, где определяется напряженность
электрического поля;
Рис. 1
- 13 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
E
F qE
E
Вм
DE
ε
32
01
2) точечный заряд q2, помещенный в электрическое поле
напряженностью
, испытывает со стороны этого поля
действие силы
=
; (1.8)
2
3) подстановка (1.7) в (1.8) позволяет определить силу (1.6),
действующую между зарядами q
и q2.
1
Таким образом, закон Кулона (1.6) выражается совокупно-
стью формул (1.7) и (1.8).
Единица напряженности
(В/м) устанавливается, исходя из
формулы (1.8)
Н Н м Дж
= = =
Кл Клм Клм
/
.
Поле можно характеризовать и электрической индукцией D.
εε
– электрическая постоянная, ε– диэлектрическая прони-
где
0
=
, (1.9)
0
цаемость вещества. Единица измерения электрической индук-
2
ции (
/Кл м
) устанавливается из формулы (1.9)
22
А с В Кл
кг м м
=
м
.
Векторы напряженности и индукции не являются независи-
мыми, поскольку связаны соотношением (1.9).
Подобным же образом процесс взаимодействия между то-
ками интерпретируется следующим образом:
1) Длинный линейный ток, например
I
, создает в окружа-
1
ющем пространстве в точках, где находится другой про-
водник, поле, магнитная индукция которого определяет-
ся формулой
µ
I
=
B
, (1.10)
π
2
a
где a – расстояние между параллельными проводниками
с током. Направление индукции определяется в соответствии с правилом буравчика.
- 14 -
/f F l IB= =
B
H
µµ
µ
Лекция 1
Рис. 2
2) Линейный ток
I
, помещенный в магнитное поле с ин-
2
дукцией B, испытывает со стороны этого поля действие
силы на единицу длины, равное
. (1.11)
2
Направление силы определяется в соответствии с прави-
лом левой руки.
3) Подстановка (1.10) в (1.11) позволяет определить силу
(1.1), действующую между токами.
Таким образом, закон Ампера (1.1) выражается совокупно-
стью формул (1.10) и (1.11).
Тесла (Тл), единица магнитной индукции
, – это индукция
такого поля, в котором каждый метр проводника с током один
ампер, расположенного перпендикулярно направлению вектора
индукции, испытывает силу один ньютон
Н кг
Тл
= =
Ам
Ас
.
2
Магнитное поле можно характеризовать и магнитной напря-
женностью
/HB
где
– магнитная постоянная, µ– магнитная проницаемость
0
=
(1.12)
0
вещества. Единица измерения магнитной напряженности (А/м)
устанавливается из формулы (1.12)
Н
Ам
м кг А
=
22
Ас
.
м
Векторы индукции и магнитной напряженности являются
зависимыми, поскольку связаны соотношением (1.12).
- 15 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
ρ
∫
Ам
dS
Отметим, что носящие несколько асимметричный вид названия электрической напряженности, электрической индукции,
магнитной напряженности и магнитной индукции закрепились
за соответствующими векторами по историческим причинам.
1.3. Сохранение электрического заряда.
Уравнение непрерывности
Как установлено многочисленными экспериментами, суммарный заряд замкнутой системы тел остается неизменным.
Закон сохранения заряда, полученный опытным путём, математически можно выразить уравнением непрерывности (иногда
говорят неразрывности). Заряд, заключенный внутри объёма V,
выражается интегралом
q dV
ρ
Здесь
– плотность заряда (
=
. (1.12)
∫
V
3
/Кл м
). Изменение заряда q
внутри объёма происходит при движении заряда через поверхность, ограничивающую этот объём. Суммарное количество заряда, проходящего через поверхность за время dt, равно
dt j d S
S
(1.13)
Рис. 3
Под знаком интеграла скалярное произведение плотности
j
тока
элементарной поверхности
2
/
(
) на вектор dS, модуль которого равен по величине
, а по направлению совпадает с
направлением внешней нормали к этой поверхности. Напомним, что вектор плотности тока определяется как частное от деления тока на площадь поперечного (к току) сечения проводника, а его направление совпадает с направлением тока.
- 16 -
ρ
∂
SV
∫∫
( )0
ρ
∂
+=
+=
ρ
∂
Лекция 1
Интеграл в (1.13) определяет силу тока через поверхность.
Интеграл положителен, если ток вытекает из рассматриваемого
объёма, и отрицателен, если втекает. По закону сохранения заряда это приводит к изменению заряда внутри объема V
dq
dq dt dt dV
= =
dt t
∫
V
. (1.14)
∂
Поскольку при протекании тока суммарный заряд внутри и
вне рассматриваемой области остается неизменным, изменения
заряда (1.13) и (1.14) равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку:
ρ
∂
= −
j d S dV
∂
t
. (1.15)
Применяя теорему Гаусса-Остроградского к левой части равенства (1.15), получим:
div j dV
∫
t
∂
V
. (1.16)
Подынтегральное выражение равно нулю, так как (1.16)
справедливо для произвольного объёма. Следовательно
ρ
∂
t
∂
0div j
. (1.17)
Это и есть уравнение непрерывности.
В случае стационарных процессов все параметры остаются
неизменными во времени, следовательно
0
=
. (1.18)
t
∂
Поэтому для постоянных токов уравнение непрерывности
имеет вид
div
j
=0 (1.19)
Oно показывает, что линии постоянного тока не имеют ни начала, ни конца. Это либо замкнутые линии, либо линии, уходящие в бесконечность.
- 17 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
= ⋅⋅
( )
Dr
Dq
Er
Dr
1.4. Система уравнений Максвелла в интегральной
и дифференциальной форме
Выше мы привели законы Ампера и Кулона, которые служат
основой для установления системы электрических и магнитных
единиц. Совместно законом электромагнитной индукции Фарадея, законом Био-Савара и правилом Ленца они послужили основой для предложенной Максвеллом системы уравнений.
Рассмотрим закон взаимодействия между точечными зарядами и его обобщение на случай пространственно протяженных
зарядов.
Закон Кулона, как уже отмечалось, является одним из фундаментальных опытных законов электродинамики. Этот закон
формулируется для предельного случая точечных зарядов, под
которыми понимают заряженные тела, с линейными размерами
весьма малыми в сравнении с расстояниями между ними. Математическая формулировка закона определяется выражением (1.6)
qq
1
F
4
πε
0
12
2
r
r
r
Найдем обобщенную формулу этого закона справедливую
для пространственно протяженных (объемных) зарядов, для не-
,,xyz
εε
однородной среды
=
и переменного поля. Этого можно
достигнуть, перейдя от закона, выраженного в конечных разностях, к дифференциальной форме закона.
Следует заметить, что к исходному опытному факту относит-
ся не только соотношение (1.6) или в векторной форме
но и так называемый принцип суперпозиции полей. В случае
нескольких зарядов:
то есть, закон (1.6) справедлив вне зависимости от наличия или
отсутствия других зарядов в пространстве.
Выразим закон в интегральной форме, а затем перейдем к
дифференциальной.
q
=
,
= =
3
4
r
π
εε
4
0
q
i
=
∑
, (1.21)
i
3
4
r
π
i
πε ε
, (1.20)
3
r
0
- 18 -
D
4
qq
π
Ω
0Ω→
4
π
Ω→
,.
ii
i ii
∑∑∑
∫
DD
∑
∑
∑
Лекция 1
По определению под потоком вектора электрической индукции через произвольным образом ориентированную площадку
будем понимать выражение:
Обозначим через
ди на направление
cos( )dN DdS DdS D dS= = ⋅
′
cos( )dS dS D dS
= ⋅
проекцию вектора площа-
. Используя выражение (1.20) получим:
(1.22)
где
= = Ω
dN dS d
d
– элемент телесного угла, под которым видна площадка
′
2
r
(1.25)
4
π
из точки, где находится точечный заряд.
В данном случае различают два случая:
1) точечный заряд находится вне замкнутой поверхности;
2) точечный заряд находится внутри замкнутой поверхности.
Случай, когда точка находится на поверхности, приводит к
неопределенности выражения для потока, поскольку на поверхности индукция принимает бесконечное значение.
В первом случае из рисунка 2 видно, что при стягивании всей
поверхности к замкнутой
, а во втором
.
Таким образом, для потока вектора индукции через замкнутую поверхность имеем:
N DdS
= =
если заряд находится вне замкнутой поверхности
∫
s
если заряд находится внутри замкнутой поверхности
q
.0,
На основании принципа аддитивности полей, это соотношение должно иметь место независимо от того, присутствуют ли в
пространстве другие заряды. Поэтому в случае нескольких заря-
женных точечных частиц, можно записать для каждой частицы
N DdS q= =
∫
s
,
и для суммарного потока
N N D dS q= = =
()
S
.
Или же на основании того же принципа
=
,
i
и следовательно
где
N DdS q= =
∫
s
q
– суммарный заряд, находящийся внутри поверхности S.
i
,
(1.24)
i
- 19 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
(, , )xyz
ρρ
=
qd
ρτ
∑
τ
ii
ρτ
=
ρτ
∑
SV
ρτ
∫∫
D
D
SV
τ
xyz
∆ ∂∂∂
VV
τ ρτ
∫∫
∑
Перейдем теперь от точечных зарядов к пространственно
протяженному распределению с некоторой плотностью
→
i
∫
V
Для этой цели вместо заряженных точек введем малые объе-
d
мы
с зарядом
i
некотором объеме V получаем
dq d
. В результате для полного заряда в
d
. Заменяя в пределе сум-
i
i
мирование интегрированием, выражение (1.24) принимает вид:
DdS d
=
(1.25)
Если теперь наложить условие дифференцируемости на век-
торную величину
внутри объема V, то можно от интегральной формы (1.25) перейти к дифференциальной. Воспользуемся
теоремой Остроградского–Гаусса о преобразовании поверхностного интеграла в объемный для произвольной дифференци-
руемой функции
.
DdS divDd
∫∫
=
, (1.26)
где
lim .
divD
= =++
DdS
∫
Sx
0
τ
∆→
∂
τ
D
∂
D
D
∂
y
z
С учетом (1.26) соотношение (1.25) принимает вид:
divDd d
=
(1.27)
Поскольку равенство имеет место для произвольных преде-
лов интегрирования (объема V), то
Уравнение (1.28) является одним из уравнений Максвелла в
дифференциальной форме и представляет собой одно из основных уравнений электродинамики.
Сделаем несколько замечаний относительно уравнения
(1.28). Заметим, что дифференциальная форма закона Кулона,
выраженная уравнением
DdS q=
∫
S
случае, когда закон Кулона в исходной форме
divDρ=
divDρ=
тем, что последняя остается справедливой и в том
i
- 20 -
(1.28)
, отличается от интегральной
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]