Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика. Учебное пособие
.pdf
12
+=+
, ()
(.
∫
()().
Лекция 3
этом изменяется поток магнитной индукции от рассматриваемого момента. Вследствие изменений магнитных потоков, в обоих
контурах возникают ЭДС индукции. Однако изменений токов не
происходит, поскольку источники в цепях обоих контуров обеспечивают его постоянство.
В соответствии с законом сохранения энергии, сумма приращения энергии магнитного поля
ческой работы
dW
, совершенной контуром магнитного мо-
мех
dW
и элементарной механи-
маг
мента в процессе его движения, должна равняться суммой
элементарных работ
dA
, совершаемых источниками электри-
эл
ческого тока в первом втором контурах
dW dA dA dA
маг мех эл эл
(3.59)
Отдельные слагаемые в этой формуле раскрываются следующим образом. Элементарная механическая работа, производимая контуром за время dt равна сумме работ, производимых за
это время отдельными участками контура L магнитного момента
при его движении во внешнем магнитном поле
где
dA ()
dr
– элементарное перемещение отрезка
dF dl dr=
эл
∫
L
(3.60)
dl dF dl
– сила
Лоренца, действующая со стороны поля на малый отрезок контура длиной dl
= ×
,dF I dl B
(3.61)
где I – ток в контуре.
Подставляя (3.61) в (3.60), получаем
Рассмотрим подробнее подынтегральное выражение. Как известно, сомножители в смешанном произведении векторов могут быть переставлены
Векторное произведение элемента контура
ние соответствует элементарной площадке, на которую увеличивается или уменьшается общая площадка S, контура в процессе движения этого элемента
dA I dl B dr
= ×
мех
L
dl B dr dr dl B
×=×
= ×
.dS dr dl
(3.64)
- 71 -
(3.62)
(3.63)
dl
на его смеще-
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
() .
.dA IdФ=
U
11
В зависимости от знака dS, это может быть приращение пло-
S
щадки
контура L) или убывание
(на передней, считая по направлению движения, части
S
(на задней части). Следовательно,
подынтегральное выражение как целое соответствует приращению или убыванию потока при движении элемента
dФ dl BdS=
(3.65)
dl
Следующий интеграл соответствует суммарному приращению потока магнитной индукции, проходящей через площадку,
ограниченную контуром L, в процессе ее движения за время dt
( ) ( , ).
dФ dt dФ dt dl=
∫
L
(3.66)
Таким образом, элементарная механическая работа, производимая контуром в процессе его движения, зависит от тока контура и приращения потока
(3.67)
При этом не важно, каким именно способом происходит движение контура: в форме поступательного движения, вращения,
деформации или их комбинации. В соответствии с законом Фарадея в интегральной форме (1.28), при движении контура возникает ЭДС индукции, величина которой определяется скоростью изменения потока магнитной индукции, пересекающего
площадку, ограниченную контуром,
dФ
ЭДС
Udt= −
.
(3.68)
Поскольку ток I и собственное магнитное поле контура постоянны, здесь следует учитывать только изменение потока индукции внешнего магнитного поля, создаваемого током во втором контуре. Источник постоянного тока в цепи первого контура
создает напряжение, компенсирующее ЭДС индукции, равное
dФ
1
Udt=
.
1
(3.69)
Элементарная работа электрического источника в цепи первого контура
dA
зависит от тока в контуре
1эл
I
, напряжения
1
и отрезка времени dt, когда действует это напряжение
dФ
dt I dФ
dA
=
1эл
1I1
dt =
I
1
=
dt
(3.70)
- 72 -
U
,
1
=
.
=
.
=
21
1 2 2 11
.
= =
= = =
W dL I I I dФ I dФ= = =
Лекция 3
Таким образом, работа источника постоянного тока в цепи первого контура полностью соответствует механической работе, производимой контуром при движении во внешнем магнитном поле
dА dА
(3.71)
1мех эл
Помимо механической работы и работы источника в цепи
первого контура, следует учесть также изменения магнитного
поля и эффекты во втором контуре, который создает внешнее
магнитное поле для первого контура. Прежде всего, заметим,
что изменение потока в первом контуре обусловлено исключительно изменением взаимоиндукции двух контуров
dФ dL I
2 12 2
Это изменение взаимоиндукции
(3.72)
dL
вызывает также измене-
12
ние потока магнитной индукции во втором контуре от первого,
равное
dФ dL I
2 12 1
(3.73)
Таким образом,
dФ
1
dФ I
=
.
(3.74)
I
2
Следовательно, при изменении взаимоиндукции источник
постоянного тока в цепи второго контура совершает такую же
работу, как источник тока в первом контуре
dA I dФ I dФ
(3.75)
Определим изменение энергии магнитного поля при движении первого контура. В соответствии с (3.53), энергия магнитного поля для случая двух контуров равняется
W L II IФ IФ
12 1 2 1 1 2 2маг
(3.76)
Поскольку токи при взаимном движении контуров остаются
неизменными (
I
=сопst,
1
I
=const), то изменение энергии маг-
2
нитного поля может происходить только за счет изменения взаимоиндукции
12 1 2 1 1 2 2маг
(3.77)
Таким образом, при движении первого контура с током оказываются равными все четыре величины: элементарная работа,
производимая источником постоянного тока в первом контуре,
элементарная работа, производимая источником постоянного
- 73 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
= = =
=−=−
W W IФ=−=−
B
.Ф SB=
mm
тока во втором контуре, механическая работа, производимая
первым контуром в процессе его движения и изменение энергии
магнитного поля
dА dА dА dW
12
ист ист мех маг
.
(3.78)
Таким образом, (3.59) выполняется. Формально принимается, что магнитный момент обладает механической энергией,
работа магнитного момента совершается за счет этой механической энергии. Таким образом,
dW dА dW
m мех маг
.
(3.79)
Поскольку ток в цепи момента постоянен, можно от дифференциалов перейти к полным величинам, считая нулевым значение энергии на бесконечном расстоянии, где поток равен нулю
m маг
(3.80)
При малых размерах площадки S можно считать, что магнитная индукция
внешнего поля на ней постоянна и, следова-
тельно,
(3.81)
Подставляя (3.80) в предыдущее равенство, получаем
W ISB p B=−=−
.
(3.82)
Таким образом, механическая энергия магнитного момента
определяется, исходя из механической работы при его движении. Уменьшение механической энергии и совершение механической работы сопровождается увеличением энергии магнитного поля как целого. При этом механическая энергия момента
фактически точно соответствует работе источника достоянного
тока в цепи контура этого момента.
Рассчитаем энергию магнитного момента еще одним приемом, исходя из прямых механических расчетов. Для этого
воспользуемся следующим приемом. Поверхность диполя заполним сеткой, которую будем считать первоначально произвольной. Ток I, текущий по контуру, можно представить как
совокупность токов такой же величины, текущих по контурам
малых элементов. Поскольку силы, действующие во внешнем
магнитном поле, зависит от направления токов
= ×
,dF I dl B
(3.82)
- 74 -
∑∑
r
⊥
r
B
2
αγ
=
B
FF
Лекция 3
то при таком представлении работа, совершаемая внешней силой в отрезке одного малого контура, компенсируется работой,
совершаемой внешней силой в таком же отрезке соседнего малого контура. Поэтому энергия исходного (большого) контура
может быть представлена как сумма энергий малых контуров
(поскольку только на внешнем большом контуре нет взаимной
компенсации токов).
W dW=
m mik
ik
.
(3.83)
Исходя из (3.83), первоначально определим энергию малого
контура. Без ограничения общности считаем этот контур диполя
прямоугольным. Вносим этот диполь во внешнее магнитное
поле следующим образом. Считаем, что имеется такое начальное положение на бесконечном удалении, чтобы можно было
внести контур в заданную точку
, не пересекая площадкой силовых магнитных линий. При таком положении контура, когда
линии магнитной индукции не пересекают площадки, действующие силы всюду ортогональны током и направлению магнитной индукции, т.е. площадке (
ментарного положения d
F dS
). В то же время, вектор эле-
лежит в плоскости площадки.
Поэтому работа для всех отрезков малого контура при его движении вдоль линий магнитного поля равна нулю
0.dA F dr= =
(3.84)
Поэтому при расчете энергии диполя достаточно учесть толь-
ко работу, связанную с поворотом момента в магнитном поле.
В связи с возможностью произвольного проведения сетки,
можно считать, что малый диполь при повороте ориентирован
так (рис. ), что две стороны параллельны оси поворота, а две
другие отклоняются на некоторый угол у при повороте. Вектор
магнитного момента изначально при внесении диполя в поле
всюду был ортогонален индукции
, а после поворота диполя
на угол γ будет составлять с направлением индукции
π
= −
.
Силы магнитного поля
ной а, ортогональны индукции
F aIB
m
, действующие на стороны дли-
и стремятся развернуть маг-
нитный момент по направлению поля. Внешние силы
- 75 -
= −
вн m
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
mm
γα α
=−=− =− =− =−
=
W pB
() ()
[ ]
() ( )
() ,
LL
∫∫
B
направлены встречно магнитным силам. При повороте рамки ее
стороны длиной а проходят расстояние h. Поскольку внешние
силы направлены встречно перемещению, их работа равна
2 sin cos cos ,
A F h ab IB ab IB SIB p B
где S = ab – площадь рамки,
p SI
m
– магнитный момент.
Таким образом, в соответствии с (3.84), энергия диполя рав-
няется
.
= −
(3.85)
m
Следовательно, механическая энергия магнитного диполя определяется работой источника постоянного тока в его цепи, а магнитное поле является как бы посредником при этом преобразовании.
3.8. Момент сил, действующих на магнитный момент
в магнитном поле
Момент сил, действующих на магнитный момент в магнитном поле определяется следующим образом. Сила Лоренца, действующая на малый отрезок контура, равняется
= ×
.dF I dl B
(3.86)
Как известно из общих положений теоретической механики,
момент сил, действующих в некотором объеме, определяется
интегралом по этому объем от векторного произведения радиусвектора точки приложения силы на ее удельную величину. Для
контура линейного тока L этот интеграл берется по контуру
MIrdF IrdlB
= × = ××
∫∫
LL
Применяя известную формулу
A B C B AC C AB
×× = −
представим подынтегральное выражение (3.87) в следующем виде
′
r dl B dl rB B rdl
×× = −
Соответственно (3.88), интеграл (3.87) преобразуются в следующую разность интегралов
где в обоих интегралах
вынесена за знак последнего интеграла. Преобразуем и
на
M I rB dr IB rdr= −
dl
заменено на dr, постоянная величи-
возьмем второй интеграл
- 76 -
.
(3.87)
(3.88)
(3.89)
22
r
B
= × ×= ×
M pB
φ
= −
φ
= −
mm m m
= =−=−
mm
W pB
Лекция 3
1
где D – произвольная начальная и конечная точка интегрирова-
rdr d r= = =
∫∫
LL
2
r
D
2
( ) 0,
D
(3.90)
ния на контуре L. В связи с совпадением этих точек второй инте-
грал (3.89) равен нулю. Первый интеграл (3.89) берется аналогично (3.32–3.35), роль постоянного вектора
зависимостях играет вектор
I
M r dr B I S B
()
2
. Таким образом,
[ ]
∫
L
в указанных
(3.91)
Поскольку, в соответствии с определением, магнитный мо-
,
мент равен
p IS=
m
то, внося постоянный множитель I в (3.91)
под знак векторного произведения, получаем
= ×
(3.92)
m
Из общих положений теоретической механики известно, что
момент силы играет роль обобщенной силы при обобщенном
перемещении: угле поворота относительно той же оси. Следовательно, элементарное приращение энергии равно
dW Md
m
(3.93)
Поскольку из (3.92)
M pB
где φ – угол между векторами
dW pB d pBd d pB
sin cos ( )
φφ φ
sin ,
m
p
и B, то
m
. (3.94)
Отсюда получаем
= −
Таким образом, с использованием выражения для момента
сил, действующих на магнитный момент, снова получена формула (3.81) для энергии магнитного момента во внешнем однородном магнитном поле.
3.9. Cила, действующая на магнитный момент
во внешнем магнитном поле
Cила, действующая на магнитный момент во внешнем магнитном поле в некотором направлении, определяется, исходя из
общих положений теоретической механики, как производная
- 77 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
xm
ym
zm
Fp
xx
Fp
yy
Fp
zz
∂∂
∂∂
∂∂
энергии по соответствующему направлению, взятая с отрицательным знаком. Таким образом, на магнитный момент в направлениях x, y, z действующие составляющие силы
W
∂
m
=−=
W
∂
m
=−=
W
∂
m
=−=
B
∂
B
∂
(3.92)
B
∂
Здесь подставлено (3.85) и учтено, что величина момента
при всех перемещениях остается неизменной благодаря источнику постоянного тока, включенному в контур.
Как следует из (3.85), свободный магнитный диполь поворачивается по полю таким образом, чтобы его энергия уменьшается. Затем он начинает двигаться по направлению увеличения
магнитной индукции В.
Энергия магнитного момента, определяется такой же формулой, как и энергия электрического диполя
Однако сходство это только внешнее. Покажем это на примере. При повороте электрического диполя происходит переход
энергии электрического поля в работу.
Выводы
В лекции рассмотрены законы, и описывающие их уравнения, для электростатических полей как в вакууме, так и в диэлектрических средах. Показано, что наличие диэлектрических
сред оказывает влияние на внешнее электрическое поле, и величина этого влияния характеризуется диэлектрической проницаемость вещества.
Вопросы для самопроверки
1. Магнитостатика. Граничные условия магнитостатики в
вакууме.
2. Энергия магнитного поля постоянных токов.
W pE= −
эл
.
(3.93)
p
m
- 78 -
Лекция 3
3. Самоиндукция и взаимоиндукция.
4. Сила, действующая на ограниченное распределение тока
во внешнем магнитном поле (вывод). Энергия.
5. Момент сил, действующий на ограниченное распределение тока во внешнем магнитном поле (вывод). Энергия.
6. Макроскопические уравнения в магнитостатике. Выражения для векторного потенциала (вывод).
7. Макроскопические уравнения в магнитостатике. Уравнения Максвелла в среде (вывод). Гистерезис.
8. Абсолютная магнитная проницаемость вещества. Абсолютная магнитная восприимчивость вещества.
9. Граничные условия для магнитной индукции и напряженности поля.
Список литературы: [1], [2], [11], [12].
- 79 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
∂
∂
≠=
DB
tt
∂∂
∂∂
Лекция 4.
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
План лекции
4.1. Область квазистационарных явлений.
4.2. Уравнения для квазистационарной области явлений.
4.3. Квазистационарные явления в линейных проводниках.
4.4. Энергия и силы в области квазистационарных явлений.
4.1. Область квазистационарных явлений
Из всей области электромагнитных явлений модно выделить
так называемую квазистационарную область явлений, в которой
для некоторых величин
0
=
и для других
В отличие от магнитостатики и электростатики, где производная по времени от всех величин равные нулю, при выделении
квазистационарной области, очевидно, поступают непоследовательно, что оправдывается определенными критериями приближения и результативностью практического применения в широкой области явлений. В частности, электротехника переменных
токов относится целиком к области квазистационарных явлений.
С точки зрения общей теории возможны два допущения
D dB
∂
∂
t dt
или
t
∂
t
∂
0
≠
.
0 , 0.
(4.1)
мально больших значений диэлектрической постоянной сред и
не нашло ещё приложения.
выясним, при каких условиях в случаи переменных во времени
полей можно пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости.
0, 0
= ≠
(4.2)
Первое допущение теоретически возможно для случая ано-
Исследуем условие, когда допустимо второе предположение.
Для этого рассмотрим области внутри проводящих сред и
- 80 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]