Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика. Учебное пособие
.pdf
Таким образом, эти два уравнения сводятся к одному
ПР
22
cc
∂∂
+= − =
=−=
00
µµ
∂
ПM
4
Пr
4
Пr
2
1
∂
∆− =−
22
сt
е
∂
(6.60)
При этом условие на потенциалы
П
1 11
divA div divП
ϕ
t tt
∂ ∂∂
µ
0
∂
е
µ
0
εµ
∂
00
div divП
ε
t
∂
0
ε
е
0
0
е
Для второго случая
0,mA rotП
ϕ
= =
1
rot П rotM
∆− =−
22
ct
∂
(6.62)
n
Лекция 6
(6.61)
divA div rotП
= =
или
rot П M
1
∆− + =
ct
Полученное уравнение удовлетворяется уравнением точно
так же, как и для первого случая
1
∆− =−
22
ct
где только вместо вектора поляризации стоит вектор намагничивания.
Проблема излучения решается при помощи запаздывающих
потенциалов. Следовательно, поле излучение определяется выражением
Pxyf t
= ∫
П dV
е
Mxy ft
П dV
= ∫
м
С помощью поляризационных потенциалов напряженности
полей определяются только путем дифференцирования.
µ
0
2
∂
22
∂
2
∂
∂
′′
,,,
′′
,,,
- 121 -
m
m
n
r
′
−
c
r
′
−
c
0
0
(6.63)
(6.64)
'
(6.65)
'
(6.66)
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
tt
ϕµ
=− −= − =
∂∂
00
t tt
µµ
∂∂
∂ ∂∂
4
mm
0, 0
≠=
22
ct
00
1 11
ее
εε
∂
∂
Для первого случая
A
∂
E grad grad div П
11
= −
ε
1
ε
0
grad div П
0
22
ct
е
2
∂
∂
и для второго случая
П
A
E rot rotП
=−=− =−
∂
m
2
П
∂
е
0
е
(6.69)
m
(6.67)
B rotA rot rotП H rot rotП
= = →=
µ
0
1
(6.70)
Заметим, что второй случай принципиально отличается от
первого тем, что для него всюду, включая и области пространства занятого источником – чисто вихревое, так как дивергенция
всех векторов, характеризующих поле, точно равной нулю.
0divE divH= =
в то время как в первом случае
divE divH
Однако в пространстве все источников записей в этих двух
случаях вполне симметрична, а именно:
П
∆=
,
еm
2
П
∂
1
,
еn
(6.71)
∂
Причем для первого случая
= −=
E grad div П rot rotП
H rot
2
∂
22
∂
ct
1
=
(6.72)
П
∂
е
t
∂
А для второго случая
1
H rot rot П=
(6.73)
m
E rotП
µ
= −
0 m
t
В обоих случаях поле вихревое: кроме того, напряженность
электрического поля в первом случае с точностью до постоянного множителя совпадает с напряженностью магнитного поля,
- 122 -
Е
Н
rl
λ
λ
∫ =∫−
( )
lt
rr r
δ
= +
δ
Лекция 6
во втором случае, если одинаковые поляризующие потенциалы напряженность магнитного поля отличается знаком и такая
постоянная множителем от соответствующей напряженность
электрического поля. Этой симметрией можно (использоваться
для определения поля в одном из случаев, если известно поле в
другом.
Например, найдя распределение поля от электрического ди-
поля, мы автоматически находим распределение поля вокруг
и
магнитного диполя, переставляя местами
учитывая постоянные множители с последующим изменения знака из напряженности электрического поля.
Определим теперь в качестве важного примера поле вокруг
электрического вибратора при упрощающих условиях
l
, где l – линейная размерная область, занятой источником
и
– длина излучаемой волны.
Первой из этих условий является ограничение на пространственную область решения, второе на характер колебательных
процессов в самой излучающей системе.
Используя первое из условий, можем написать
′′′
,ó , ,
Рх ft
=
П dV P x t dV
е
r
где
– расстояние о точки наблюдения до некоторой фиксиро-
0
44
r
−
c
Пr Пr c
1
′′
0
′
′
,ó ,f , '
r
(6.74)
ванной точки источника. Для того, чтобы воспользоваться вторым из условий, предположим, что изменение во времени вектора поляризации осуществляется по закону
′′′
=
Р Р х fe
,ó ,
0
ω
, (6.75)
и следовательно
r
it
ω
′′′ ′′
Рх P х e
,ó ,f ,t ,ó ,f'
r
−=
c
( )
0
−
c
(6.76)
Тогда расстояние до любой точки источника можно записать
в виде
0
r
где
– очевидно не превышает линейные размеры источника.
- 123 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
ωδ
00
00
11
44
rr
=∫ −=
=∫ −= −
rl
λ
44
еm
rr
cc
ПП
Пr Пr
−−
ϕθ
∂∂
∂∂
rr
θϕ
ϕθ
∂∂
Отсюда имеем:
rr
δ
r
00
ωω
−− −
it it
cc c
ee
= − +…
1
ir
ωδ
c
(6.77)
Если
21r Пl
≈
cA
То можно ограничиться только первым членом разложения,
тогда
1
П P х f t dV
е
4
Пr c
′′′ ′
,ó , ,
P х f t dV P t
Пr c Пr c
р
где
– полный электрический момент системы.
′′′ ′
,ó , ,
0
r
(6.78)
Совершенно аналогичный результат имеет место и для магнитного вектора поляризации. Таким образом, получим при условии
и
l
pt p t
= =
,
m
т. е. поляризационные потенциалы представляют собой сферические волны, распространяющиеся от источника, как центра
излучения.
Вычислим теперь поля
1
E rot rot П
M rot
=
ε
0
1
=
е
П
∂
е
t
∂
В сферической системе координат
rot a a a
1
= −
r
sin
r
11
= −
rot a ra
rot a ra
sin
θ
( )
θθ ϕ
a
∂
∂
r
sin
θϕ
∂∂
( )
∂
∂
1
= −
rr
- 124 -
( )
a
r
θ
(6.79)
( )
ap=
cos
θ
=
sin
θ
= −
0
=
П
rr r
θ θθ
∂∂ ∂
=−− =−
∂∂ ∂
tr
r rr
∂∂
∂∂
∂ ∂∂
( )0
rr
−∂
Лекция 6
Для нашего случая, выбирая сферическую систему с началом
в центре вибратора и направляя полярность сферической системы параллельно направления электрического момента
имеем
ПП
r
ПП
θ
П
(6.80)
ϕ
r
−
Pt
=
П
c
r
,
Вектор
не имеет составляющей по ϕ и, кроме того он не
меняется при изменении ϕ вследствие симметрии системы относительно направления электрического момента
rot П r П П
1
ϕ
Следовательно:
HHH
= = = −
0, 0, 1sin
r
т. е. напряженность магнитного поля всегда направлена по параллели.
Составим пропорции
ординат
rot rot П rot П
( ) sin
()
rot rot П r rot П r
r
Тогда для напряженности электрического поля получим:
p
rot П =
( ) ( )
θϕ
Eu rot rot П
1 2 cos
= = −
θθ
sin
∂ ∂∂
1 sin
=−=
θϕ
rr r r r
rot rotПϕ=
E
=
0
r
0rot Пθ=
(6.81)
sin cos sin
θ
2
П
∂
θ
∂∂
в сферической системе ко-
θ
( )
( )
2 cosrП
ϕ
θ
θ
∂
ε
0
- 125 -
, поэтому имеем:
П
(6.82)
П
θ
П
(6.83)
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
Er
rr r
∂∂
=
4
Пr
П
ii
HH H П
ωω
EП
θω
22
EП
rc
r
ω
=
0θ=
sin П
θ
∂∂
=
θ
0E
ϕ
(6.84)
Другими словами, напряженность электрического поля всегда
лежит в плоскости меридианы. Следовательно, векторы электрического и магнитного поля осциллятора всегда перпендикулярны.
Конкретизируем полученные выражения для напряженности полей в предположении монохроматических колебаний осциллятора.
r
it
ω
−
ПP
p
– постоянный вектор, направленный по оси осциллятора.
где
0
=
c
l
0
(6.85)
Здесь мы предположим, что с течением времени меняется только величина, поле направление вектора
.
В указанном случае, производя дифференцировании, имеем:
= = = +
r
θϕ
2 cos 1ri
= +
sin 1 i
θ ωω
= +−
0
ε
0
ε
ε
r
0
0, sin
1
θ
rc
2
(6.87)
cr
2
cr
(6.86)
(6.88)
Отдельные члены в полученных выражениях для напряженностей полей убывают с увеличением расстоянии от осциллятора неодинаково быстро; встречаются члены, по разному зависящие от r. Новым, в сравнении со статическим случаем является
появление членов, убывающих обратно пропорционально первой степени расстояния, что характерно для сферических волн
r
it
ω
−
1
~
c
e
;
при переходе к статическому случаю эти члены исчезают, так
как они содержат ω, а в статическом случае
0
.
Имеется зависимость от азимута θ. В направлении оси осцилятора
магнитная напряженность полностью исчезает.
В этом направлении радиальная компонента электрического
поля максимальна, а остальные две равны нулю.
- 126 -
λ
.rλ
rλ
r
00
( )
r
r
= =
[ ]
r
Лекция 6
Рассмотрим два крайних случая – поле вблизи вибратора и
поле вдали от него. За меру сравнения необходимо выбрать характерную длину, входящую в доказанную задачу в качестве параметра
λ
,
=
ω
2cП
–
длина излучаемых волн.
Таким образом, под близкой зоной будем понимать область
пространства вокруг осциллятора, где
Под дальней зоной, которую называют волновой зоной, будем понимать область, где
.
Для близкой зоны, опуская члены, в содержащие в знамена-
теле, имеем:
r
−
Pt
=
ϕ
sin
ωθ
Hi
c
(6.89)
2
В этом же приближении
ir
ω
− +…
it
ω
1
r
P t pe Pe p t
−= ≈ =
c
c
it
ω
(6.90)
( )
Следовательно
=
ϕ
sin
ωθ
(6.91)
2
Hi
pt
Поскольку для монохроматических колебаний
p
( )
∂
=
t
∂
i pt
ω
Имеем
sin p
θ
H
ϕ
∂
=
(6.92)
2
t
∂
r
Для линейной антенны
∂
p
=
Jl
l
– длина антенны J – сила тока в антене.
,
∂
t
Следовательно
sin
=
ϕ
=
HJ
θ
(6.93)
2
HH
er
(6.94)
3
r
0
θ
H Jl
Или в векторной форме, учитывая, что
- 127 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
( )
( )
τ
44
rr
cc
ωθ
− ∂−
2 22
00
44
rr
cc
ωθ
εε
− ∂−
00
rr
= = = =
r
00
HE
ϕθ
µε
Er⊥
Hr⊥
r
EH⊥
00
HE
µε
(6.94) есть выражение магнитного поля, создаваемый элементом длины в токе с силой тока J, которые мы получали ранее
для статического и квазистатического случаев.
Для напряженности электрического поля в близкой зоне
1
E
=
r
2
ε
П
1
E
=
θ
П
4
ε
pt
cos
θ
(6.95)
3
0
r
pt
sin
θ
(6.96)
3
r
0
что совпадает с электромагнитным полем электрического момента. Итак, поле колеблющихся осциллятора в близкой зоне
совпадает с квазистационарным полем с точностью до членов
порядка r/λ .
Рассмотрим теперь поведение поля в волновой зоне. В этом
случае в общих выражениях мы должны удержать только члены,
наименее убывающие с расстоянием, то есть члены с
pt pt
2
( ) sin
i
H
= =
ϕ
sin
θ
Пe r Пcr
2
2
t
∂
1
:
(6.97)
2
( ) sin
i
E
= = =
θ
Пс Пcr t
pt pt
sin
θ
HH EE
Отсюда можно сделать следующие выводы. В волновой зоне
имеются сферические волны, распространяющиеся от источника.
Напряженности электрического и магнитного поля перпендикулярны друг к другу, к радиус-вектору
осцилятора к данной точке поля, т. е. ЭМВ поперечны.
Амплитуды напряженностей электрического и магнитного
поле находятся в соотношении
И в системе Гаусса совпадают по абсолютной величине и совершают колебания в одной фазе.
Определим величину и направление вектора Умова-Пойтинга в волновой зоне. Поскольку
параллелен
. Далее, так как
r
=
- 128 -
2
∂
0
, проведенному от
(6.98)
и
и
, то вектор
=
S EH
=
22
22 22
00 00
2
EH EH
ωε µ ε µ
= +=−
r
θ
= =∫⋅ = −
32
Пc
⋅−
rr
cc
−= −
42
11
TП
2
Лекция 6
ε
s EH E H
=⋅= =
0
µ
0
µ
0
(6.99)
ε
0
Установим связь величины вектора Умова-Пойтинга с плот-
ность электромагнитной энергии в волновой зоне. Имеем:
1
( )
(6.100)
Следовательно
r
sc
ω
=
(6.101)
Эта зависимость наиболее просто интерпретирует смысл
вектора Умова-Пойтинга как потока электромагнитной энергии
со скоростью с.
Выясним зависимость потока энергии от угла
. Используя
выражения для напряженностей полей в волновой зоне (6.97),
имеем:
µ
S sin p t
0
= −
(4 )
П сr
22
2
θ
2
r
(6.102)
c
Полярная диагностика этой зависимости наглядно показывает, что в напряжении оси осциллятора энергия не излучает.
Излучение максимально в направлении, перпендикулярном к
оси осциллятора. Полную энергию, излучаемую осциллятором
в единицу времени во всех направлениях, мы получим, проинтегрировав вектор Умова-Пойтинга по сфере с радиусом r.
0
P EH dS E H dS cos t
∮
S
ПП
sin d cos t
∫∫
00
θϕ
2
θθ ω
1
6
16
42
ω
ε
c
0
Пc
p
0
3
42
p
ω
1
23
0
ε
0
r
2
ω
c
r
(6.103)
где
pt p t
cos
ω
0
Средняя за период мощность излучения осцилятора, очевидно, равна
так как
2
cosα=
1
.
T
p pdt
= =
∫
0
12
p
ω
0
(6.104)
3
ε
c
0
- 129 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
~ r
Hi П
rе
EП
θω
22
EП
rc
em
EH
em
HE
Ei П
ω
=−+
rm
HП
ω
22
HП
rc
Таким образом, мощность излучения осциллятора весьма
сильно зависит от частоты, будучи пропорциональной четвертой степени частоты. Это означает, что для увеличения мощности излучения выгодно переходить и более коротким волнам.
Так как,
ность сферы растет
S
убывает обратно пропорционально 1/r2, а поверх-
2
, то полный поток энергии Р пересека-
ющий сферу, не изменяется с расстоянием.
Таким образом, энергия без потерь переносится в отдельные
участки пространства в виде энергии ЭМВ, излучаемых осциллятором.
Рассмотрим поле, создаваемое переменным магнитным моментом или рамочной антенной. Как ранее было отмечено, ввиду симметрии полей, создаваемых электрическим и магнитным
моментом, от одного случая можно перейти к другому, переставляя для этого напряженности полей с последующим применением коэффициентов и знаков. Для электрического диполя мы
имеем: (6.86), (6.87), (6.88)
1
i
rc
2
r
cr
i
ω
e
0
Пr
4
ω
е
i
cr
2
r
c
sin
ωθ
= +
ϕ
2 cos 1
= +
ε
0
sin 1ei
θ ωω
= +−
θ
ε
0
ПP
=
e
Производя перестановку
ϕ
θ
ε
0
sin
µω θ
0
2 cos
θ
= +
1
sin
θ
+−
- 130 -
→
1
rc
1
i
2
cr
r
ωω
∂
cr
µ
и
i
→−
0
(6.105)
m
(6.106)
2
(6.107)
m
получим:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]