Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика. Учебное пособие
.pdf
(( ) () () ( ) .
+=+++=+∇
() ( )F ql E p E
=×=× = ×=×
rF r F rF rF r r F lqE pE
Лекция 2
Разлагая вектор напряженности в ряд Тейлора и ограничива-
ясь слагаемыми первого порядка, получаем
∂∂∂
E r l Er l l l Er l E
EEE
xyz
xyz
∂∂∂
Таким образом,
= ∇=∇
(2.63)
► Моментсил,действующихнадиполь.
При расчёте момента сил учитываем, что на заряды диполя
действуют близкие по величине, противоположно направленные силы, приложенные в точках, разделенных радиус-вектором. Эти силы составляют пару сил. Как известно, момент пары
сил равен.
( ) ()M l F l qE lq E p E
(2.64)
Момент сил стремится повернуть момент диполя до совпадения с направлением напряженности. После поворота диполя
по направлению напряженности, действующая сила, в соответствии с (2.63), стремится сдвинуть его в направлении увеличения внешнего электрического поля.
Заметим, что, если диполь и напряженность электрического
поля контрпараллельны, то момент сил равен нулю, однако это
состояние равновесия неустойчиво и нарушается при любом
произвольном повороте диполя.
×+× =×−× =− ×=× = ×
1 12 2 1 12 2 12 1
()
2.10. Диэлектрики. Поляризация диэлектриков.
Граничные условия при наличии диэлектриков.
Вектор поляризованности
► Диэлектрики.Поляризациядиэлектриков.
Заряды в диэлектриках связаны с атомами и молекулами и
под влиянием внешнего поля могут перемещаться лишь на небольшие расстояния. Электроны не покидают атомы, происходит лишь некоторое перераспределение заряда внутри атома,
поскольку положительные заряды стремятся сместиться по
внешнему полю, а отрицательные – против поля. Атом в целом
продолжает оставаться нейтральным, но в случае «разделения»
- 51 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
DE
ρ
ε
=
D
nn
σ
−=
−=
σ
( )
21nn
DD
( )
21tt
EE
положительных и отрицательных зарядов этот нейтральный
атом создает во внешнем пространстве электрическое поле, которое складывается с первоначально приложенным электрическим полем. Изменение распределения зарядов в диэлектриках
под влиянием приложенного электрического поля называется
поляризацией. Это есть первый фактор поляризации. Второй
фактор поляризации состоит ва следующем. Молекулы могут
иметь асимметричное распределение заряда в отсутствие внешнего электрического поля, благодаря чему нейтральная молекула во внешнем пространстве создает некоторое электрическое
поле. При внесении диэлектрика с такими молекулами во внешнее электрическое поле происходит переориентация молекул в
пространстве. Это явление также называется поляризацией.
► Диэлектрикивэлектростатическомполе.
Записываем основные формулы электростатики, используя
уравнения Максвелла
0rot E
=
div D
=
(2.65)
► Граничныеусловияприналичиидиэлектриков.
Граничные условия при наличии диэлектриков выводятся из
уравнений Максвелла. Основное предположение, следующее из
экспериментальных данных, что нормальная составляющая индукции
не испытывает разрыва на границе двух сред. Используя это предположение и повторяя выводы, проведённые в
пункте 1, получаем:
DD
– поверхностная плотность внешнего заряда на границе
где
21
EE
tt
21
(2.66)
0
двух сред. Таким образом, нормальная составляющая электрической индукции испытывает разрыв только при условии наличия внешнего заряда. При его отсутствии электрическая индукция непрерывна
электрической напряженности всегда непрерывна
=
. Тангенциальная составляющая
=
- 52 -
P
P
PE
π
( )
χχ π
′
=
χ
Лекция 2
► Векторполяризованности.
В результате поляризации под влиянием внешнего электрического поля диэлектрики становятся источником дополнительного поля. Поэтому учет диэлектриков в электрическом поле
сводится к учету их поляризации и порождаемого этой поляризацией поля. Интенсивность поляризации характеризуется век-
тором поляризованности
, который определяется как дипольный момент единицы объема. Из этого определения следует, что
дипольный момент элемента объема диэлектрика равен
Поляризованность
dp PdV=
в данной точек пропорциональна на-
пряженности электрического
=
χε
. (2.67)
E
поля в этой точке:
∑
(2.68)
0
∑
где безразмерный множитель χ называется диэлектрической
восприимчивостью. Он характеризует способность диэлектрика
поляризоваться. В абсолютной гауссовой системе единиц коэффициентом диэлектрической восприимчивости χ называется
величина в
4
раз меньше величины χ в формуле (2.68):
/4
Диэлектрическая восприимчивость большинства твердых и
жидких диэлектриков выражается числами порядка нескольких
единиц. Диэлектрическая восприимчивость большинства газов
составляет десятитысячные доли единицы и практически всегда
может не приниматься во внимание. Однако имеются диэлектрики, у которых восприимчивость достигает больших значений. У воды
=80, а у спирта χ=25–30. Имеются некоторые
полупроводники, восприимчивость которых достигает сотен
тысяч единиц. Важным классом диэлектриков являются сегнетоэлектрики (сегнетовая соль, титанаты бария и др.). Они характеризуются нелинейной зависимостью поляризованности от
напряженности поля и остаточной поляризованностью, т. е. их
поляризованность не равна нулю после того, как исчезло внешнее электрическое поле, вызвавшее эту поляризованность.
У многих сегнетоэлектриков диэлектрическая восприимчивость
достигает нескольких тысяч.
- 53 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
..
σσ
= = =
σ
EE
σ χε
00
σσσ
εε
−−
( )
00
σε εχ
σ
=
( )
ε εχ
Поляризованность вещества может возникать не только под
действием электрического поля, но и под действием механических напряжений. Это явление называется пьезоэлектрическим
эффектом. Оно наблюдается, например, у кварца, и широко применяется в технике. В анизотропных диэлектриках вектор поляризованности, как правило, не совпадает по направлению с вектором напряженности электрического поля. Такая анизотропия
чаще всего наблюдается в кристаллических диэлектриках. В этом
случае, поляризуемость диэлектрика различна в различных направлениях. Поэтому его диэлектрическую восприимчивость характеризуют тензором диэлектрической восприимчивости.
Рассмотрим элемент объема диэлектрика, в котором под действием внешней электрической напряженности возникают отдельные диполи и соответствующие дипольные моменты.
Вследствие взаимной компенсации зарядов разного знака в толще диэлектрика, суммарный дипольный момент этих диполей
можно считать, что дипольный момент элемента объема возникает вследствие существования двух разноименных зарядов на
поверхностях этого элемента, разделенных расстоянием
где
– плотность связанных зарядов.
.пол
dp dq d dS d dV
пол пол
, (2.69)
d
Соответственно, величина вектора поляризованности равна
dP
P
= =
dV
σ
. (2.70)
.пол
Под действием связанных зарядов возникает электрическое
поле с напряженностью
св
= = =
.
пол пол
εε
00
χ
.
E
.0
Реальное поле можно представить как сумму полей, обусловленных свободными и поляризованными (наведенными) зарядами
своб пол своб
E
= =
Р
.
Отсюда
= += +
своб
Так как
своб
D
, то
EPE
1EE
= +
0
- 54 -
1
.
.
11
χε
( )
PE
χ
0χ>
W pE
00
ED
Лекция 2
Следовательно,
ε
= −= −
ε
= −
Таким образом, диэлектрическая восприимчивость
0
εε
r
(2.71)
0
на единицу меньше относительной диэлектрической проницаемости.
При этом всегда
.
2.11. Энергия диэлектрического тела во внешнем поле
Как известно, энергия диполя во внешнем поле равна
p
– момент диполя.
где
=−⋅
, (2.72)
В соответствии с принципом суперпозиции, энергия диэлектрического тела во внешнем поле равна сумме энергий отдельных диполей. На первый взгляд кажется, что формула (2.72) для
энергии диполя во внешнем поле приводит для энергии элемента объема поляризованного диэлектрика к соотношению
dW P E dV=−⋅
поскольку его дипольный момент
d p P dV=
,
, а полная энергия
диэлектрического тела является интегралом от этой величины
по объему тела.
Однако такое заключение неправильно, так как каждый эле-
dV
мент
объема диэлектрического тела становится источником
электрического поля и в такой расчет входит дважды: один раз как
дипольный момент, находящийся во внешнем поле, другой –
как источник поля, в котором расположены другие дипольные
моменты.
Для подсчета энергии целесообразно исходить из полной
энергии поля. Для упрощения допустим, что диэлектрик однороден и заполняет все пространство, а заряды, создающие электростатическое поле, распределены в конечной области пространства. Обозначим через
,
- векторы поля, создаваемые
данным распределением зарядов в вакууме. Полная энергия
поля в этом случае равна
- 55 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
W E D dV
ED E
εε
ε
εε
EE
εε
( )
0 0 00 0 00 0
( ) ( )
E EP
− =−=
2
EE<
1
=
0 00
∫
2
V
(2.73)
где интеграл распространяется на все пространство. Предположим, теперь, что все пространство заполнено однородной диэлектрической средой, а распространение свободных зарядов,
создающих поле, остается неизменным. Обозначим через
,,
=
соответственно диэлектрическую проницаемость и
векторы поля среды. Для полной энергии поля получаем
1
W E DdV= ⋅
∫
2
V
. (2.74)
Следовательно, энергия диэлектрика, помещенного во внеш-
нее поле
E
равна
0
W W W E D E D dV=−= −
Д
0 00
1
( )
∫
2
V
(2.75)
Как отмечалось раньше, при заполнении всего пространства
однородным диэлектриком с проницаемостью
во всех точках пространства уменьшается в
напряженность
/
раз и, следова-
0
тельно,
/
=
. (2.76)
00
С учетом (2.75) подынтегральное выражение в (2.76) преобразуется:
22 2
− = − =−− =−
ε ε εεε ε
/ED E D E E E PE
, (2.77)
где
Тогда формула (2.78) принимает вид
Таким образом, при размещении диэлектрика в электрическом поле происходит уменьшение энергии электрического
поля. Это обусловлено уменьшением величины
кой-то степени диэлектрик похож на проводник, поскольку поле
внутри него уменьшается (но не равно нулю).
εεε ε εε
/
0 00 0
W P E dV=−⋅
Д
- 56 -
.
1
∫
. (2.78)
0
. В ка-
0
E
( )
( )
( )
( )
f EE
ABE
2
22
00
22
ε ε χε
−
Лекция 2
2.12. Объемные силы, действующие на диэлектрики
Поскольку дипольный момент элемента объема dV поляризо-
ванного диэлектрика, находящегося в электрическом поле
равен
dp PdV=
, на этот элемент объема согласно формуле (2.71)
действует сила
dF dp E= ⋅∆
(2.79)
Отсюда для объемной плотности силы получаем
/f dF dV P E= = ⋅∆
(2.80)
Принимая во внимание формулы (2.79) и (2.80), это выражение можно переписать в виде
εε
Пользуясь (2.81), где
E E grad E E rotE⋅∆ = − ⋅
( )
− ⋅∆
0
= =
1
,
И принимая во внимание, что в электростатике
(2.81)
,
2
(2.82)
0rot E =
, мож-
но записать формулу для объемной плотности силы:
f grad E grad E
= =
(2.83)
,
Из нее видно, что направление силы, действующей на диэлектрик, не зависит от направления поля, она всегда направлена
в сторону максимального возрастания напряженности электрического поля. Это означает, что диэлектрик увлекается в область
наибольшей напряженности электростатического поля.
Эта формула очень наглядна, поскольку показывает, что на
элементарные объемы диэлектрика действуют силы, стремящиеся сдвинуть эти объемы в направлении максимальной скорости
возрастания напряженности электрического поля. Иногда это
выражают в виде утверждения, что элемент объема диэлектрика
увлекается в сторону больших полей.
Формула (2.83) справедлива как для абсолютно жестких диэлектриков, так и для сжимаемых диэлектриков при условии,
что их поляризация линейно зависит от плотности массы, или,
иначе говоря, при условии, что дипольные моменты индивидуальных молекул и атомов при сжатии и расширении элемента
- 57 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
объема не изменяются, а дипольные моменты, обусловленные
смешением ионов, либо отсутствуют, либо их вклад можно считать несущественным.
Вывод по лекции
В лекции рассмотрены законы, и описывающие их уравнения, для электростатических полей как в вакууме, так и в диэлектрических средах. Показано, что наличие диэлектрических
сред оказывает влияние на внешнее электрическое поле, и величина этого влияния характеризуется диэлектрической проницаемость вещества.
Вопросы для самопроверки
1. Уравнения электростатики. Граничные условия при наличии заряженных поверхностей.
2. Электростатическое поле в вакууме. Потенциал.
3. Физический смысл скалярного потенциала. Нормировка
потенциала.
4. Уравнения Лапласа и Пуассона.
5. Электростатическое поле внутри проводника. Электростатическое поле вблизи поверхности проводника.
6. Потенциал проводника. Емкость. Металлический экран.
7. Конденсаторы. Емкость плоского конденсатора (вывод).
8. Емкость сферического конденсатора (вывод).
9. Емкость цилиндрического конденсатора (вывод).
10. Дипольное разложение потенциала.
11. Энергия электростатического поля.
12. Энергия диполя во внешнем поле.
13. Механические силы в электрическом поле. Момент сил,
действующий на диполь.
14. Диэлектрики. Поляризация диэлектриков. Граничные условия при наличии диэлектриков.
15. Вектор поляризованности. Диэлектрическая восприимчивость.
16. Энергия диэлектрического тела во внешнем поле.
17. Объемные силы, действующие на диэлектрики.
Список литературы: [1], [2], [11].
- 58 -
Лекция 3
.
=
SS
∫∫
Лекция 3
МАГНИТОСТАТИКА
План лекции
3.1. Граничные условия магнитостатики в вакууме
3.2. Векторный потенциал.
3.3. Закон Био-Савара.
3.4. Поле элементарных линейных токов.
3.5. Энергия магнитного поля постоянных токов.
3.6. Самоиндукция и взаимоиндукция.
3.7. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле.
3.8. Момент сил, действующих на магнитный момент в магнитном поле.
3.9. Cила, действующая на магнитный момент во внешнем магнитном поле.
Как показано выше, при неизменности во времени зарядов и
токов система четырех уравнений Максвелла расщепляется на
две системы. Эти две системы составляют два уравнения электростатики (2.1) и два уравнения магнитостатики, имеющие вид:
rot B j
µ
3.1. Граничные условия магнитостатики в вакууме
=
(3.1)
0
0.div B =
(3.2)
Граничные условия в вакууме для нормальной составляющей определяются по аналогии с электрическим полем. Повторив вывод (2.3-2.7) и учитывая, что магнитные заряды отсут-
ствуют (поскольку
составляющая при прохождении границы раздела двух сред, не
обладающих магнитными свойствами, остается неизменной
Граничные условия для касательной составляющей определяются следующим образом. Построим малый, тонкий прямоугольник, ориентированный длинной стороной по тангенциальной составляющей магнитной индукции и ортогональный
поверхности раздела двух сред (рис. 1).
Возьмем интеграл по площади выделенного прямоугольника
от обеих частей уравнения (3.1)
0div B =
), можно заключить, что нормальная
B const
n
rot B dS j dS
(3.3)
µ
=
.
0
(3.4)
- 59 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
∫
SL
∫∫
A
A
Рис. 1.
Считаем сторону прямоугольника, ортогональную поверхности раздела, малой, и, соответственно, близкой нулю площадь
прямоугольника. В этом случае
0.
jdS =
S
(3.5)
Преобразуя интеграл слева (3.4) в соответствии с теоремой
Стокса, получаем
rot BdS B dl= =
0.
t
(3.6)
Поскольку с одной стороны поверхности раздела интеграл
берется по направлению касательной соответствующей магнит-
ной индукции
менность
B
, а с другой - против, то из (3.6) следует неиз-
t
B
при переходе через поверхность раздела
t
B const=
t
.
(3.7)
Таким образом, при отсутствии сосредоточенных токов при
пересечении поверхности раздела немагнитных материалов
магнитная индукция не претерпевает разрыв.
3.2. Векторный потенциал
Из условия
го потенциала, т.е. такой векторной функции
0div B =
следует возможность введения векторно-
, для которой
.B rot A=
(3.8)
Эта функция не является единственной. Если некоторая
функция
определена в соответствии с условием (3.8), то тому
же условию будет соответствовать также функция
′
= +
,A A grad
ψ
(3.9)
- 60 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]