Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика. Учебное пособие
.pdf
i tkr i tk r
ωω
ττ
−=−
( )
23
ωω
( ) ( ) ( )
12 3 312 212
ωωω ωωω ωωω
−+ −= −
( )
−=
ω
=
23
ωω
=
13
ωω
=
ωωωω
= = =
ş
x yz
xyz
∂∂∂
∂∂∂
ş
−⋅ −⋅
ş
A
(
)
şş
A
( )
( )
( )
( )
ωω
ττ
−⋅ −⋅ =
123
ak ak ak⋅=⋅=⋅
Лекция 7
−⋅ −⋅
i Ee i Ee
ωω ωω
( )
1 2 10 2 3 20
Домножая (7.30) на
( )
11 22
−
( )
и учитывая (7.31) и (7.32), полу-
( )
. (7.139)
чаем:
или, после некоторых преобразований, получаем:
Корень
0
мы отбрасываем из очевидных физических со-
2
ωω ω
22 3
ображений. Второе же решение
(7.31) дает
. Таким образом, получаем окончательное вы-
0
. (7.140)
после подстановки в
ражение;
123
. (7.141)
Это означает, что при отражении и прохождении через границу раздела двух сред волна не меняет своей частоты. В дальнейшем, если не оговорено обратное, мы будем писать ω для
каждой из частот.
Определим теперь направление отраженной и прошедших
волн. Для этого рассмотрим оператор
Aa a a a
= ⋅∇ = + +
,
где a – некоторый произвольный вектор, лежащий в плоскости
раздела двух сред. Учитывая (7.17), легко получить, что
Результат воздействия оператора
лим как простое покомпонентное воздействие оператора:
Ab Ab=
ния (7.29) и учитывая (7.35), получим
. Тогда, применяя оператор
i
i
iak E e iak E e
1 10 3 30
=−⋅
Проводя рассуждение, полностью аналогичные переходу от
(7.30) к (7.34), получаем:
где a – произвольный вектор, лежащий на границе раздела двух
сред.
ik r ik r
Ae ik ae
=−⋅
. (7.142)
над вектором b опреде-
к обеим частям уравне-
−⋅ −⋅
i tkr i tkr
11 33
−⋅
ω
i tkr
( )
τ
iak E e
( )
2 20
22
, (7.144)
- 141 -
(7.143)
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
1 12 23 3
= =
( )
i ii
θθ
123
µε θ µε θ µε θ
13
.
θθ
=
12
12
θθ
=
123
xxx
kkk= =
123
yyy
kkk= =
22
3 33xx
k kk=−−
Направляя вектор a по оси Y, т. е. перпендикулярно
k
формулы (7.37) получаем, что в этом случае
k
и
2
тоже оказы-
3
k
, из
1
ваются перпендикулярными вектору a. Значит, при падении
плоской монохроматической волны на границу раздела между
диэлектриками, лучи падающий, прошедший и отраженный лежат в одной плоскости с перпендикуляром к границе двух сред,
если только существуют волны, соответствующие этим лучам.
Предположим, что прошедшая и отраженная волны существуют. Вопрос о условии их существования выясним несколько
позже. Направляя вдоль оси, из формулы (7.37) получим
.k cosa k cosa k cosa
Учитывая, что
π
cos
cosa sin
= −=
2
и используя формулу (7.15), получим:
11 2 2 33
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
sin sin sin .
aa a a aa
= =
(7.145)
Таким образом, получаем равенство углов падения и отражения:
(7.146)
Введем величину
εµ
aa
c
,
(7.147)
v
nc
= =
Называемую абсолютным показателем преломления среды.
Тогда для падающей и прошедшей волн получим соотношение:
,n sin n sin
( ) ( )
(7.148)
называемое закономСнеллиуса.
Определим теперь условие существования прошедшей волны. Из формулы (7.37) легко получить, что для проекций волновых векторов на оси X и Y выполняются соотношение:
,
По сделанному нами ранее предложению, ось Y перпендику-
k
лярна лучу
, а значит все проекции на эту ось равны нулю.
1
Проекция на ось Z вычислим по теореме Пифагора:
- 142 -
.
(7.149)
,
22
2 22xx
k kk=−−
13
kk=
31zz
kk= −
22
21
kk
22
21
kk
12
kk>
12
θ
>
12
nn>
2 2 22 2
12
ωθ
−−
Лекция 7
. (7.150)
Знак минус перед корнем в первой формуле взят из очевидных физических соображений, направленности отраженного
луча в обратную сторону от границы раздела. Знак второго корня выясним в дальнейшем. Учитывая, что падающая и отраженная волны распространяются в одной и той же среде и частоты
их равны, то
. Принимая это во внимание и учитывая
(7.42), первое уравнение (7.43) можно переписать в виде:
. (7.151)
Отметим, что аналогичным результат можно было получить
используя формулу (7.39). Для второго же уравнения (7.43) вытекает два очевидных варианта:
≥
x
и
<
. Первый вари-
x
ант вполне очевиден и приводит к формулам аналогичным
(7.41). Рассмотрим подробнее второй случай.
Положим
сать в виде
при условии
n sin n
. Используя (7.40), это условие можно запи-
x
, т.е. такой случай реализуется только
1
( ) ( )
( ) ( )
. Тогда
k k k ik k
2 21 1 2
z xx
22 2 2
=− − =− −=−
i
, (7.152)
h
2
где знак корня выбран из тех соображений, что амплитуда волн, при
проникновении во вторую среду должна затухнуть. Тогда, представ
ляя (7.45) и (7.42) во второе уравнение (7.27), получаем выражение
для напряженности электрического поля прошедшей волны:
z
−
ω
i tk x
−
( )
1
,
E rt E e e
( )
2 20
2
=
x
h
, (7.153)
Видно, что при проникновении в глубь второй среды волны
экспоненциально затухает. Число
h
1
= =
22
k k n sin n
12 1
x
c
( ) ( )
(7.154)
называют глубиной проникновения, оно показывает расстояние,
на котором интенсивность волны падает в раз (интенсивность
волны пропорциональна квадрате амплитуды). Так как вторая
среда не поглощает, то весь поток энергии падающей волны уходит обратно в первую среду. Это явление называется полным
внутренним отражением.
-
- 143 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
θ
θ
θ
θ
ii
ee
ϕϕ
2
ii
ee
ϕϕ
θ
21
θθ
22 2
21
22
θθ
=−−
В случае обычного отражения
sin
sin
k
1
z
θ
=
,
1
k
1
k
2
z
θ
=
. (7.155)
2
k
2
k
1
sin
sin
x
θ
=
,
1
k
1
k
2
x
θ
=
2
,
k
2
В случае полного внутреннего отражения не существует угла
, который бы удовлетворял соотношениям (7.48), так как эти
2
формулы дают для
sin
значение больше единицы, а для
2
cos
2
мнимую величину. Однако, в целях сохранения знакомых формул, удобно для полного внутреннего отражения ввести комплексный угол
, удовлетворяющий соотношениям (7.48). ко-
2
синус и синус комплексного угла определяются из известных
формул комплексного анализа:
sin
−
−
=
ϕ
,
2
i
cos
=
ϕ
−
+
.
Учитывая все вышесказанное, для тригонометрических
функций от
можно записать выражение:
2
n
1
sin sin
( )
=
n
2
( )
cos
,
n
i
n sin n
( ) ( )
2
( )
. (7.156)
Найдем теперь соотношение между интенсивностями падающей, отраженной и прошедшей волн. Для этого необходимо
использовать граничные условия в явном виде.
Представим падающую волну в виде суперпозиции двух
волн: первой (рис. 7.3а), электрический вектор которой лежит
в плоскости падения (величины, относящиеся к этой волне будем обозначать индексом ‖), и второй (рис. 7.3б), электрический
вектор которой перпендикулярен плоскости падения (величины
этой волны обозначим индексом ⊥). Все рассуждения, для наглядности, мы будем проводить для случая обычного преломления. Однако, все выводы и полученные формулы будут верны
и для случая полного внутреннего отражения, с использованием комплексного угла, определенного выражениями (7.49).
В какой-либо из волн направление вектора напряженности электрического или магнитного поля может поменяться на обратное –
это будет означать лишь то, что фаза, соответствующая этому
вектору поменялась на π.
- 144 -
θ
θ
12
EE
ττ
=
( )
13 12 2
θθ
−=
132
EEE
⊥⊥⊥
+=
DE
ε
=
( )
( )
12
12
nn
aa
EE
εε
( )
12
13 1 2 2
aa
ε θε θ
12
HH
ττ
=
12
13 2
11
aa
aa
EE E
εε
µµ
＼＼ ＼
12
13 1 2 2
12
aa
aa
εε
θθ
µµ
12
nn
BB
( )
13 1 2 1
εµ θ εµ θ
13
EE
＼＼
13
EE
＼＼
( )
12
12 21
aa
ε θ θε θ θ
( ) ( )
21
3 21 12
21
21 12
aa
aa
ε θ θε θ θ
ε θ θε θ θ
Лекция 7
Все вычисления для волн обеих поляризаций будем проводить параллельно, в левом столбце для параллельной поляризации, в правом- для перпендикулярной. Для облегчения записи
везде вместо
том всего вышесказанного, первое граничное условие
будем писать
3
, согласно формуле (7.38). С уче-
1
( ) ( )
примет вид:
＼＼ ＼
cos cosEE E
,
. (7.157)
Граничное условие для вектора D, с учетом однородности ди-
электрика и с использованием материального уравнения
можно записать в виде
граничное условие перепишется в виде
( )
＼＼ ＼
EE E
+=
=
( )
sin sin
. Таким образом, второе
( )
( )
, 0=0. (7.158)
Граничное условие для напряженности магнитного поля получим, выразив Hиз уравнения (7.24). Тогда граничное условие
( ) ( )
( )
( )
( )
+=
( )
,
( )
,
( )
⊥⊥ ⊥
EE E
−=
( )
( )
Граничные условие для векторы магнитной индукции
=
( ) ( )
0=0,
запишутся как
11 22
( ) ( )
aa a a
EE E
Выражая из формул (7.50)
дывая получившиеся выражения, получим:
＼
E
2
= =
d
＼
＼
( ) ( )
E
1
Аналогичным образом, выражая из (7.50) и (7.51)
мая одно от другого, для относительной амплитуды отраженной
волны получим:
r
= =
＼
＼
E
＼
( ) ( )
E
1
( )
cos cos
⊥⊥ ⊥
sin sin
+=
1
2 cos sin
ε θθ
a
sin cos sin cos
sin cos sin cos
sin cos sin cos
( )
−
, а из (7.51)
11
+
−
+
( ) ( )
. (7.159)
. (7.161)
. (7.162)
- 145 -
. (7.160)
+
и скла-
＼
E
и отни-
2
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
13
EE
⊥⊥
12
εµ θ εµ θ
12
12
εµ θ εµ θ
εµ θ εµ θ
( ) ( )
µµµ
εε ε
12
21
nn
θ
θθ
12
12
nn
θ
θθ
12
21
12
21
nn
nn
θθ
θθ
−
12
12
12
12
nn
nn
θθ
θθ
−
12 12
θθ θθ
+−
21
12
θθ
θθ
( )
12
12
θθ
θθ
( )
12
12
θθ
θθ
( ) ( )
22
+=
22
⊥⊥
+=
Находя
вторым уравнение (7.50), для
И, наконец, выражая
−
из второго уравнения (7.52) и складывая со
d
получим выражение:
⊥
12
( ) ( )
2 cos
εµ θ
aa
cos cos
+
1
. (7.163)
из (7.52) и (7.50) и отнимая одно от
d
⊥
⊥
E
2
= =
⊥
E
1
12 21
( ) ( ) ( ) ( )
aa a a
E
2
другого, получим относительную амплитуду отражённой волны:
12 21
( ) ( ) ( ) ( )
⊥
E
3
= =
r
⊥
⊥
E
1
cos cos
aa a a
12 21
( ) ( ) ( ) ( )
aa a a
−
cos cos
+
. (7.164)
Выражая (7.54)–(7.57) являются точными решениями для относительных амплитуд отраженной и прошедшей волн. Относительные интенсивности можно найти, возводя соответствующие коэффициенты в квадрат. Однако, для широкого диапазона
частот электромагнитных волн является верным приближение
В этом случае
n
/
= =
a
= =
0
. (7.165)
0aa
. С учетом этого, используя
12
(7.41), формуля (7.54) – (7.57) можно переписать в виде:
2 cos
n
1
1
=
d
r
=
( )
+
cos cos
( ) ( )
cos cos
( ) ( )
+
cos cos
( ) ( )
d
,
⊥
r
,
⊥
2 cos
=
cos cos
( ) ( )
cos cos
( ) ( )
=
cos cos
( ) ( )
n
1
1
( )
+
+
,
. (7.166)
И наконец, используя (7.41), (7.59) можно привести к воду:
2 si n cos
=
d
sin cos
( ) ( )
θθ
21
,
d
⊥
2 si n cos
=
sin
( )
,
+
Формула (7.60) называется формулами Френеля, они выражают амплитуды прошедшей и отраженной волн через амплитуду падающей волны. Легко убедится в том, что
tg
=
tg
−
+
( )
r
r
,
⊥
1rd
и
( ) ( )
- 146 -
=
sin
sin
( )
−
.
(7.167)
+
1rd
(7.168)
0const
σ
= ≠
ε
=
µ
=
( ) ( )
ω
( ) ( )
it
ω
jE
σ
=
aa
=+=−
ωµ
= −
σ
ωε
=
ωµ
= −
Лекция 7
Это означает, что при отражении света вся энергия падающей
волны переходит в энергию преломленной и отраженной волн.
7.3. Распространение электромагнитных волн
в проводящих средах
Выясним характер распространения электромагнитных мо-
нохроматических колебаний в среде, для которой
,
const
a
,
const
a
.
Уравнение Максвелла в этом случае имеют вид:
E
= −
∂
ε
,
a
t
∂
H
∂
µ
. (7.169)
a
t
∂
rotH j
= +
rotE
Полагая в них
,itErt Ere
=
а также заменяя ток как
,
Hrt Hre
,
=
,
, перепишем выражения (7.62) в
виде:
σ ωε ω ε
rotH E i E i i E
σ
,
ω
Таким образом, сравнивая формулы (7.63) и (7.2), можно заключить что отличие проводящей среды от случая идеального
непроводящего диэлектрика заключается в том, что в роли диэлектрической проницаемости выступает величина
По сходству записи уравнений эту величину называют комплексной диэлектрической постоянной.
В этом случае уравнения распространения волн по форме совпадают с уравнениями для идеального диэлектрика:
Так как комплексная диэлектрическая постоянная в рассматриваемом случае не зависит ни от времени, ни от координат, то
результаты полученные ранее вполне применимы к настоящей
rotE i H
εε
ω
rotH i E
rotE i H
= −
a
a
i
ω
ω
a
- 147 -
.
(7.170)
. (7.171)
,
. (7.172)
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
EE
HH
µωε
∆+ =
ri
= +
a aa a
ki
ωεµ ωεµ ωσµ
r i aa
ωεµ
−=
2
ri a
ωσµ
⋅=−
i tkr
⋅=
⋅=
2
ρ
задаче. Применяя, оператор ротора к одному из уравнений и подставляя другое, получим уравнения второго порядка для векторов
напряженности электромагнитного поля:
2
µωε
∆+ =
a
a
0
,
ω
2
0
. (7.173)
ω
Решение, по аналогии с полученными ранее результатами,
представляют в виде плоской монохроматической волны, однако в отличие от непроводящей среды, с комплексным волновым
числом
E Ee
ω
−⋅
i tk r
( )
=
ω
0
(7.174)
где
k k ik
ω
. (7.175)
Подстановка (7.68) в волновое уравнение (7.66) приводит к
дисперсионному уравнению:
22 2
= = −
ωω
. (7.176)
Исследуем ограничения, вводимые этим уравнением на действительную и мнимую части волнового числа. Имеем:
22 2
kk
kk
,
. (7.177)
Очевидно, что поле в этом случае можно записать в форме:
E Ee e
=
Отсюда видно, что действительная часть волнового вектора
определяет плоскости равных фаз:
k r const
r
а мнимая часть – плоскость равных амплитуд.
k r const
i
Причем, поскольку
k k kk
⋅=− =
r i ri
дисперсионное уравнение не приводит к однозначному выводу
относительно взаимной ориентации плоскостей равных амплитуд и равных фаз – в решении имеется произвол (3 неизвестных
k
k
,
, ρ и всего два уравнения для их определения).
i
r
kr
−⋅
i
0
ωσµ
a
- 148 -
ω
−⋅
( )
r
. (7.178)
, (7.179)
, (7.180)
cos
, (7.181)
ρ
=
= −
aa a
kg a
−= =
ka
−=
≠
44 0
− −=
22
11 1 1
aa
= = −+ = + −
11
11 1 1
22
=⋅⋅+ += ⋅+ +
11
11 1 1
22
=⋅⋅+ −= ⋅+ −
Лекция 7
Рассмотрим частный случай
амплитуд совпадают с плоскостями равных фаз. Представим
0
, когда плоскости равных
k
ω
в виде комплексного числа
2
k k ig
ω
ω ε µ ωσµ
, (7.182)
. (7.183)
из сравнения с (7.69), получаем
2 22
k ikg g i
− −= −
Приравнивая действительные и мнимые части последнего
равенства, получаем:
22 2
ωεµ
aa
, (7.184)
Выражая g из второго уравнения (7.77) и подставляя в пер-
вое, получим:
или, принимая условие
2
b
2
4
0k
, получим биквадратное уравнение
,
2
k
для k:
4 22
k ak b
Решая его, получаем выражение для
a a ba b
4 16 16
2
k
= = ±+
22
±+
82
Из очевидных соображений положительности
.
2
k
:
11
a
2
.
2
k
, необходимо отбросить знак минус в последнем выражении. Подставляя
найденное k в выражение для g и домножая знаменатель на
сопряженное, получим:
22
b b ba b
2
g
Таким образом, для
2
k
4
21 1 /
ka
−+
a ba
( )
2
( )
k
и g получим выражения:
2
b
a
ω µε
aa
2
σ
ωε
2
,
a
ga
2
b
a
ω µε
aa
- 149 -
2
σ
ωε
a
.(7.185)
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
0σ→
ω
0g→
( ) ( )
00
i tk r i tkz
ωω
00
i tk r i tkz
ωω
1/2dg=
( )
λ
=÷⋅
ω
−
σ
εε
=
σ
2
µµ
dм
−
Из уравнений (7.78) видно, что идеальный диэлектрик есть
предельный случай проводящей среды с
k
→
и
v
,
. В этом случае
что соответствует уравнению (7.15).
По аналогии с (7.16) запишем решение в виде плоской волны, распространяющейся в проводящей среде в положительном
направлении оси Z:
E Ee Ee e
= =
H He He e
= =
−⋅ −
ω
−⋅ −
( ) ( )
ω
−
gz
−
gz
.
. (7.186)
Из последних уравнений видно, что амплитуда волны экспоненциально уменьшается. Таким образом, в проводящей среде
электромагнитная среда затухает.
На пути
энергия волны падает в e раз, поэтому d на-
зывают глубинойпроникновенияволны в проводящую среду.
Проведем оценку глубины проникновения видимого света в
глубь металлов. Для видимого света
сюда
7
~ 10 /См см
15 1
~ 5 10 c
⋅
. Проводимость металлов имеет порядок
. В динамических процессах диэлектрическую
0,4 0,7 10
6
−
или от-
проницаемость металлов принимают равной единице, т. е.
. Тогда
0a
εω
a
2
~ 2 10 1
⋅
.
Учитывая это, в выражении (7.78) можно пренебречь всеми
единицами под корнем. Получаем:
ωσµ
g
a
,
или, переходя к d:
Для не ферромагнитного материала имеем
Таким образом, глубина проникновения волны много меньше
длины волны, а потому говорить о распространении электромагнитных волн в большинстве проводящих сред не имеет смысла.
d
~ 3 10
- 150 -
2
⋅
1
ωσµ
.
a
и тогда
9
.
0a
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]