Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика. Учебное пособие
.pdf
4
Пr
( )
4
Pt
П
r
( )
4
Pt
П
r
00
44
mm
rr
cc
− ∂−
2 22
44
mm
rr
cc
ωθ
− ∂−
=−=
Е иН
Лекция 6
где
r
−
mt
=
П
m
c
(6.105) (6.106) (6.107) определяют напряженности полей переменного магнитного момента.
Выводы.Электрическое поле магнитного момента всегда направлено по параллелям и исчезает при переходе к статистическому случаю ω = 0.
Магнитное поле всегда лежит в плоскостях меридианов и ( в
полной аналогии с полем электрического диполя) в ближайшей зоне
(r<<λ) совпадает с полем магнитного диполя.
2 cos
θ
sin
m
(6.108)
3
θ
m
(6.109)
3
H
=
r
H
=
θ
или элементарной рамки, т. к.
В волновой зоне
2
µω µ θ
E
= = −
ϕ
H
θ
sin
Пc r Пcr
2
Пc Пc r t
Здесь выражения отличаются от соответствующих выражений в случае для электрического диполя разными направлениями
.
Следует сделать ряд и замечаний.
Расчет был проведен в предположении одинаковости тока по
всей длине линейной или рамочной антенны, если длина антенны
сравнима с длиной волны, ток нельзя считать одинаковым по всей
длине антенны, что имеет место в большинстве практических случа
ев. Однако, используя принцип аддитивности полей от разных элементов источника, можно, мысленно разделяя систему на большое
число элементарных антенн, и пользуясь полученными выше ре
зультатами, получить поле излучения для антенны конечной длины.
P JS=
m
Pt Pt
θ
Pt Pt
sin
θ
r
2
sin
2
sin
- 131 -
(6.110)
2
t
∂
∂
(6.111)
-
-
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
Учет конечности размеров поперечных сечений антенн в тех
задачах, где это необходимо, несколько изменяет саму постановку вопроса об излучении. В этом случае необходимо решение задачи о распределении токов в проводнике при заданных
сторонних электродвижущих силах и решение волновых уравнений, которое удовлетворяло бы условию непрерывности тангенциальной компоненты поля при переходе через поверхность.
Решение всей проблемы излучения, включая частные случаи
излучения осциллятора и рамочных антенн, было дано при пренебрежении обратным действием излучения на источник. Наличие обратного действия следует уже из факта уноса энергии
осциллятора излучаемыми электромагнитными волнами. Учет
обратного действия требует конкретизации динамических законов, действующих в самих источниках. Эти законы требуют, как
правило, учёта новых физических факторов, помимо тех, которые учитываются в макроскопической электродинамике.
Выводы
В лекции рассмотрены законы, и описывающие их уравнения, для электромагнитных полей, распространяющихся от электрического и магнитного дипольного переменного моментов в
различных средах. Получены выражения для поляризационных
потенциалов, с помощью которых можно описать электромагнитные поля, порождаемые электрическим или магнитным дипольным моментами.
Вопросы для самопроверки
1. Проблема излучения. Дифференциальные уравнения для
потенциалов.
2. Калибровочные преобразования. Лоренцева калибровка.
3. Калибровочные преобразования. Кулоновская калибровка.
4. Функция Грина для волнового уравнения.
5. Выражения для запаздывающих потенциалов (вывод).
Опережающие потенциалы.
6. Излучение от электрического момента. Уравнения для
потенциалов (вывод).
- 132 -
Лекция 6
7. Электрический поляризационный потенциал. Уравнение
для электрического поляризационного потенциала (вывод).
8. Излучение от магнитного момента. Уравнения для потенциалов (вывод).
9. Магнитный поляризационный потенциал. Уравнение для
магнитного поляризационного потенциала (вывод).
10. Уравнения для поляризационных потенциалов в пространстве вне источников поля. Выражения для поляризационных потенциалов (вывод).
11. Выражения для напряженностей в случае поля создаваемого электрическим диполем. Свойства поле.
12. Выражения и свойства полей, создаваемых электрическим вибратором в ближней и дальней зонах.
13. Вектор Умова-Пойтинга в волновой зоне. Зависимость
мощности излучения от частоты.
14. Выражения для напряженностей и свойства полей, создаваемых переменным магнитным моментом.
Список литературы: [1], [2], [11], [12], [10].
- 133 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
( ) ( )
( ) ( )
const
ε
=
const
µ
=
0σ=
ρ
( )
=+=
/0
ρ
∂ ∂=
( )
Лекция 7.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
План лекции
7.1. Плоские волны в неограниченных однородных непроводящих средах.
7.2. Отражение и преломление плоских электромагнитных волн на границе между
диэлектриками.
7.3. Распространение электромагнитных волн в проводящих средах.
7.4. Распространение электромагнитных волн в диспергирующих средах.
7.1. Плоские волны в неограниченных однородных
непроводящих средах
Электромагнитную волну называют плоской, если векторы
напряженности электромагнитного поля одинаковы во всех точках любой плоскости, перпендикулярной направлению распределения волн. Таким образом, поверхностями постоянной фазы
в плоской волне являются плоскости, расположенные перпендикулярно направлению движения волны. Волна называется моно-
хроматической, если векторы напряженности электрического и
магнитного полей изменяются во времени по гармоническому
закону с определенной частотой, например:
,
Ezt Eze=
iwt
,
,
Hzt Hze=
iwt
(7.108)
Рассмотрим простейший случай –однородной непроводящей
среды:
Из уравнения непрерывности:
С учетом того, что среда непроводящая, т. е. токи отсутству-
j EE
ют,
меняться с течением времени и является только функцией от координат:
ние зарядов будет создавать только статические поля, а значит
мы имеем право отвлечься от статических зарядов, поскольку
нас интересует лишь закономерности распространения переменного электромагнитного поля.
σ
ρρ
,
= −
divj
0
стор
=
, следует, что
,.x yz
. Таким образом, стационарное распределе-
,
∂
.
∂
t
.
t
, т. е. p не может
- 134 -
Лекция 7
0
=
Ht∂∂
= −∆
=
∆− =
∆− =
0ε=
µ
=
∆=
∆=
При указанных условиях
E
rotH divE
rotE
∂
= =
= −
µ
ε
a
∂
a
t
∂
H
,
t
∂
, 0,
divH
. (7.109)
Дифференцируя первое уравнение по времени и подставляя
/
из третьего, имеем
HE
∂∂
rot rot rotE
tt
∂∂
2
= = −
ε
a
1
µ
,
a
Или переписывая в ином виде:
2
E
rotrotE
−=
εµ
aa
∂
.
(7.110)
2
t
∂
Поскольку
rotrot grad div
E
, и т. к.
εµ
aa
2
E
∂
0
2
t
∂
0divE
, получаем
. (7.111)
Аналогичным образом можно получит уравнение для H:
2
H
εµ
aa
∂
0
. (7.112)
2
t
∂
H
Таким образом, напряженности электрического и магнитного
полей удовлетворяет одному и тому же волновому уравнению с
одинаковой скоростью распространения
1
v
= =
µ ε µε
aa
c
(7.113)
Сам факт получения волновых уравнений из общих законов
электромагнетизма указывает на то, что исходные посылки электродинамики гарантируют распространение вихревого электромагнитного поля, если оно существовало в некоторый заданный
момент времени, причем скорость распространения определяется
только свойствами среды и не зависит от способа возбуждения
поля. Основными физическими факторами, обеспечивающими
возможность распространения, являются токи смещения и электромагнитная индукция. В отсутствии токов смещения (
и
0
) получаются Лапласа
0H
,
и электромагнитной индукции (
0E
)
- 135 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
0E=
0H=
( )
(0 0
+=
aa
ω εµ
( )
12
( )
( ) ( )
12
ωω
−+
ω
−=
которые принципиально отличаются от волновых уравнений
уже тем, что для поля, всюду ограниченного по амплитуде,
а в бесконечности убывающего, имеется только тривиальное решение уравнения Лапласа
и
.
Таким образом, законы электростатики требуют органической связи поля с источниками. В противоположность этому
волновое уравнение имеет отличные от нуля решения, убывающие в бесконечности и ограниченные всюду. Следовательно,
это уравнение допускает самостоятельное существование поля
без источников.
Рассмотрим частное решение уравнений электродинамики в
случае плоских монохроматических волн.
Совместим ось Z с направлением распространения электромагнитных волн. Векторы напряженности электромагнитного
поля в этом случае выражаются формулами (7.1) . Рассмотрим
уравнение для E. Подставим выражение для E из (7.1) в (7.4)
2
dEz
dz
2
kE z
2
, где
k
=
. (7.114)
Общее решение этого уравнения имеет вид
ikz ikz
E z ae ae
−
= +
. (7.115)
Подставляя (7.8) в (7.1), получаем
Первый член в правой части (7.9) представляет собой волну,
распространяющуюся в положительном направлении оси Z. Это
следует из того, что точка постоянной фазы
движется в направлении возрастающих значений z, т. е. z в (7.10)
при увеличении t тоже увеличивается. Аналогично рассуждения
показывают, что второе слагаемое в (7.9) описывают волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси Z.
Решения уравнения (7.5) находятся аналогично. Поэтому, для
векторов напряженности электромагнитной волны, распространяющейся в положительном направлении оси Z, можно записать
следующие выражения:
,
E z t ae ae
i t kz i t kz
= +
t kz cons t
- 136 -
(7.116)
(7.117)
ω
( )
ωω
ωπ
2
π
Лекция 7
где
i t kz
ω
−
,
E zt Ee
( )
E
H
и
0
– амплитуды напряженностей полей.
0
( )
=
0
,
H zt He
,
( )
i t kz
ω
−
( )
=
0
, (7.118)
Выражение (7.11) показывает, что плоские волны в однородном диэлектрике распространяются без изменения амплитуды,
т.е. без затухания.
Фазовая скорость волны находится с помощью дифференцирования уравнения (7.10) по времени:
dz c
Групповая скорость определяется выражением
= = = =
dt k
k
Зависимость
=
1
ω
ε µ εµ
aa
d
v
=
гр
dk
v
. (7.119)
ф
. (7.120)
носит название дисперсионногоурав-
нения. Это уравнение характеризует законы распространения
немонохроматических волн в средах.
В случае линейного дисперсионного уравнения для электромагнитных вол в пустоте или однородном диэлектрике обе скорости совпадают и не зависят от частоты
vvv
= = =
ф гр
c
. (7.121)
εµ
Длина волны λ связана с k соотношением
Величина
k
ω εµ
= = =
aa
k
указывает число волн, укладывающихся в
2
v
(7.122)
λ
единицах длины и называется волновым числом. Совместно с
циклической частотой ω эти две величины являются основными
характеристиками плоских монохроматических волн.
Чтобы освободится от увязки направления распространения
волны с с осью Z, можно ввести k-волновой вектор, который по
направлению совпадает с направлением распространения волны,
а по абсолютному значению определяется выражением (7.7). Для
плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси Z, модуль векторов E и H в любой точке плоскости,
- 137 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
= ⋅
xyz
k r kx ky k⋅= + +
///
x yz
exeyez∇=∂∂+∂∂+∂∂
⋅
( ) ( ) ( )
xyz
eee
xxx
∂∂∂
∇= + + =
∂∂∂
( )
( )
( )
ωω
=∇⋅ =−⋅ =−⋅ =
=∇⋅=−⋅=
0
⋅=
0
⋅=
/
µ
=−∂ ∂
( )
00
перпендикулярной Z, один и тот же. Пусть r – радиус-вектор ка-
кой-либо точки на такой плоскости постоянной фазы. Очевидно,
kz k r
что
где
и, следовательно, вместо (7.11) можно написать
,
E rt Ee
=
( )
0
−⋅
( )
,
H rt He
,
( )
i t kr
ω
−⋅
( )
=
0
, (7.123)
i t kr
ω
. Эти формулы описывают напряженность
электрического и магнитного полей плоской электромагнитной
волны, распространяющейся в направлении вектора. частота
волны равна ω, а длина волны λ дается выражением (7.15).
Для исследования свойств электромагнитных волн подставим
выражение (7.16) в уравнение Максвелла. Рассмотрим действие
ik r
оператора
ik x ky kz i kx k y kz ikx k y kz
− ++ − ++ − ++
ik r
⋅
eeee
xyz x yz xyz
на экспоненту вида
e
:
. (7.124)
− ++
ik x ky kz
( )
=− ++ =
xyz
ike e k e k e k ike
xx yy zz
−⋅
ik r
В случае однородного диэлектрика объемные заряды отсут-
ствуют и, значит,
divE E e ik E e ik E
i t kr i t kr
−⋅ −⋅
00
0
(7.125)
Аналогичным образом для вектора H в однородном диэлек-
трике имеем:
0divH H ik H
. (7.126)
Равенство нулю скалярных произведений
kE
и
kH
(7.127)
означает, что векторы E и H в случае плоской волны лежат в
плоскости, перпендикулярной направлению распространения
волны, т. е. k.
Если в уравнение Максвелла,
rotE H t
a
подставить
выражение для напряженности полей из (7.16), то, учитывая
(7.17), получим:
i t kr i t kr
ωω
−⋅ −⋅
rotE E e e E ik E i H
=∇× =∇ ⋅ = − ⋅ =−
( )
( )
ωµ
. (7.128)
a
Пусть n – единичный вектор в направлении распространения
волны. Тогда для k имеет место соотношение
k kn n
= =
ω εµ
aa
. (7.129)
- 138 -
aa
nE H
εµ
aa
EH
εµ
22
aa
EH
S EH n
εµ
aa
22
2
aa
EH
εµ
ω
Sv
ω
=
Лекция 7
Подставляя (7.22) в (7.21), получим
×=
(7.130)
Отсюда видно, что вектора E и H перпендикулярны друг другу. Ранее было показано, что оба этих вектора перпендикулярны
n. Таким образом, из (7.23) можно заключить, что вектора E, H
и n составляют правую тройку взаимно перпендикулярных векторов.
Взяв модуль от обеих частей (7.23), получаем
=
. (7.131)
Плотность потока электромагнитной энергии определяется
вектором Умова-Пойнтинга, который в случае плоской монохроматической волны равен:
=×=
+
2
µε
aa
, (7.132)
где учтено равенство (7.23). принимая во внимание, что
1/
vµε=
– есть фазовая скорость, можно ввести вектор ско-
рости волны v= vn.
Также, учитывая, что
+
=
есть плотность энергии электромагнитного поля, выражение
для вектора Умова-Пойтинга можно записать в виде
Таким образом, скорость движения энергии, переносимой
плоской волной в однородном диэлектрике, равна фазовой скорости волны. Согласно (7.16), плоская волна распространяется в
однородном диэлектрике без изменения амплитуды, т.е. без потерь энергии.
7.2. Отражение и преломление плоских
электромагнитных волн на границе
между диэлектриками
Рассмотрим задачу об отражении и преломлении плоской
монохроматической волны на плоской границе между двумя
однородными непроводящими диэлектриками. Пусть две среды
. (7.133)
- 139 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
( )
( )
21
i tkr
( )
33
i tkr
−⋅
12
EE
ττ
12
DD
ττ
12
HH
ττ
12
BB
ττ
i tkr i tkr i tk r
ωω ω
ττ τ
+=
( ) ( ) ( )
i tkr i tkr i tk r
ωω ω
ττ τ
ωω ω
+=
11 33
i tkr i tk r
ωω
ττ
−=−
( )
33
i tkr
−⋅
разделены плоской границей, на которую со стороны первой
падает плоская монохроматическая волна. На границе эта волна частично отразится обратно в первую среду в первую среду,
а частично пройдет во вторую. Таким образом, в первом диэлектрике присутствуют падающие и отраженные волны, а во втором лишь преломленные.
Будем обозначать величины, относящиеся к падающей волне,
индексом 1, к преломлённой – 2, к отраженной – 3.
Тогда для напряженности электрического поля падающей,
отраженной и прошедшей волн можно записать выражения:
,
E rt E e
1 10
,
E rt E e
2 20
,
E rt E e
( )
3 30
ω
=
=
=
−⋅
,
i tkr
ω
−⋅
( )
22
,
ω
( )
. (7.134)
Аналогичные выражения можно записать и для напряженно-
сти магнитного поля.
Задачу о связи характеристик падающей, отраженной и про-
шедшей волн решают с помощью граничных условий
=
( ) ( )
,
=
( ) ( )
,
=
( ) ( )
,
Рассмотрим связь частоты падающей, отраженной и прошедшей волн. Тогда перепишем первое уравнение (7.28) расписав
результирующие поля в виде суммы волн, используя уравнение
(7.27):
−⋅ −⋅ −⋅
( ) ( ) ( )
11 33 22
Ee Ee Ee
10 30 20
Продифференцируем последнее уравнение по времени:
−⋅ −⋅ −⋅
i Ee i Ee i Ee
11 33 2 2
1 10 3 30 2 20
Тогда, подставляя правую часть (7.29) в правую часть (7.30) и
группируя слагаемые, получаем выражение
−⋅ −⋅
i Ee i Ee
ωω ωω
( )
1 2 10 2 3 30
( )
Аналогичным образом, выражая
ставляя в (7.30), получаем
- 140 -
=
( ) ( )
( )
τ
Ee
30
. (7.135)
(7.136)
. (7.137)
( )
. (7.138)
ω
из (7.29) и под-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]