Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика. Учебное пособие
.pdf
Для работы Р сторонних сил, которые предполагаются в ка-
12
εε
=+=
=+==+
22
22
=∫= + +
PQ A
=++
/Wt∂∂
qq q…
ii
11
(,)
ii n n
= ……
ждом из проводников имеем
Перейдем к двум линейным проводникам и заменим jdV на Idl.
P j E dV j E dV
12
∫∫
VV
где
I E dl I E dl I I
ст
ε
ст
ε
и
1
– электродвижущие силы в каждом из проводников.
2
12
стор стор ст ст
∮∮
1 1 2 2 11 2 2
LL
12
Рассмотрим теперь магнитную энергию при квазистационар-
ном режиме:
11
W HBdV L I L I I L I
Учтем возможность перемещения проводников, причем будем считать, что перемещение происходят бесконечно медленно
в таком случае остается в силе вся схема электродинамики, развитая для поля неподвижных тел.
Обозначим через A работу сил взаимодействия между проводниками в единицу времени. Как следствие закона сохранения
энергии должно быть:
Т. е. в общем случае работа сторонних сил обуславливает выделение тепловой энергии Q, в проводниках, изменение магнитной энергии
и работу за счет сил взаимодействия между
проводниками А. Пуст, положение проводников определяется
обобщенными координатами
взаимодействия dt равна:
Q Qq qI I
где
– обобщенные силы. Таким образом,
задача заключается в определении обобщенных сил, исходя из
выражения для баланса энергии, при условии, что нам известны
все входящие туда члены, кроме А. Мы нашли
P jE dV=
стор стор
Adt Q dq
стор
∫
V
( )
=
2
11 1 12 1 2 22 2
dW
12,n
n
∑
2
i
=
(4.65)
dt
. тогда работа за счет сил
,
(4.66)
- 91 -
Лекция 4
(4.63)
,
(4.64)
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
22
11 22 1 1 2 2
P Q I I IR IR
ε
=++
=++
12 21
22
dd
−= + + + + + −
−−=++++
2 ()2(),
LI
()
()
LI
PQ A
−= + +
()
ст ст
−= + − −
εε
(4.67)
Основываясь на основном законе изменения сил токов в линей-
ных проводниках в области квазистационарных явлений (4.44).
ст
1 1 1 11 1 12 2
ст
ε
2 2 2 11 1 12 2
d
IR L I L I
IR L I LI
( )
dt
d
( )
dt
(4.68)
(4.69)
Подставляя (4.68), (4.69) в (4.67)
P Q I IR LI LI I IR LI LI
1 1 1 11 1 12 2 2 2 2 12 1 22 2
22
IR IR LI LI LI LI
1 1 2 2 11 1 12 1 22 2 12 2
( ) ( )
dt dt
dI dI dI dI
dt dt dt dt
dI dI dI dI
11 12 12 22
++++
I II II I
1 12 21 2
dt dt dt dt
Сравнивая выражение для (4.70) с выражением магнитной
энергии (3.53) для двух токов n = 2
1
W L I L II L I P Q
= + + →−= +
22
( )
11 1 12 1 2 22 2
2
dW dW
dt dt
где
dW
–
L
dt
производная магнитной энергии по времени при условии постоянства коэффициентов самоиндукции и взаимоиндукции,
dW
–
I
dt
при условии постоянства токов. Воспользуемся теперь уравнением баланса энергии (4.65)
dW dW
()()
dt dt
(4.72)
Подставив сюда соотношение (4.71) видим, что
dW
Adt=
–
I
работа сил взаимодействия между токами равна изменению магнитной энергии системы, при условии постоянства сил токов
всей. Теперь найдем выражение для обобщенных сил. Рассмо-
трим два уравнения:
- 92 -
. (4.70)
(4.71)
ii
= ∑
()
Ii
()
iI
Лекция 4
dA Q dq
(4.73)
Сравнивая
dW dq
( )
Qdq=
dW
= ∑
I
dq
dW
i
(4.74)
i
Обобщенная сила, действующая на линейный ток в квазистационарной области электромагнитных явлений, равна производной магнитной энергии по соответствующей обобщенной
координате при условии постоянства сил электрических токов
во всех проводниках системы.
Важно отметить, что здесь силы направлены в сторону возрастания энергии (положительный знак производной) в то время
как в механике силы направлены всегда в сторону убыли потенциальной энергии системы
∂
U
= −
Q
i
(4.75)
dq
i
Например, два одноименных заряда отталкиваются, два тока,
направленные в одинаковую сторону, притягиваются.
Причина указанного обстоятельства заключается в существенно отличной природе стационарных токов, как характеристик
взаимодействующих систем по сравнению с характеристиками
взаимодействующих систем по сравнению с характеристиками
в классической механике. В последней характеристиками взаимодействующих систем являются заряды массы тел, которые
считаются раз и навсегда заданными. Такое задание не противоречит закону сохранения энергия энергии, поскольку совершенно не рассматриваются процессы связанные с изменением этих
индивидуальных характеристик взаимодействующих систем,
а учитываются только изменения их положения в пространстве.
В электродинамике же поддержка постоянства токов требует затраты работы сторонних сил, а изменение токов связанно с
появлением индукционных токов, для компенсирования которых
необходима дополнительная работа сторонних сил. Этим и обуславливается существенная разница формулировок (4.74) и (4.75).
- 93 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
PQ
()()
LI
Если работа сторонних сил только на компенсацию потери
энергии за счет перехода в тепло, то
=
и баланс энергии привел бы нас к результату, аналогичному полученному в механике
dW dW dW
A
=−=− −
dt dt dt
Именно изменение индивидуальных характеристик взаимодействия системы при их перемещение радикально отличает
законы взаимодействия токов от тех, которые имеют место в механике.
Выводы
В лекции рассмотрены законы, и описывающие их уравнения, для квазистационарных электромагнитных полей, распространяющихся в различных средах. Получены выражения для
характеристик полей, с помощью которых можно описать электромагнитные поля, порождаемые электрическим или магнитным дипольным моментами.
Вопросы для самопроверки
1. Область квазистационарных явлений. Условия квазистационарности.
2. Уравнения для квазистационарной области явлений.
3. Квазистационарные явления в линейных проводниках.
Выражение для определения токов в проводнике по заданным сторонним силам, сопротивлению и коэффициенту индукции.
4. Контур с самоиндукцией, сопротивлением и емкостью.
Выражение для силы тока (вывод).
5. Энергия в области квазистационарных явлений.
6. Силы в области квазистационарных явлений.
7. Скин-эффект.
8. Омическое сопротивление для случая квазистационарных и быстропеременных токов.
- 94 -
Лекция 5
E
E
B
B
E
H
H
E
ρ
Лекция 5.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
План лекции
5.1. Электромагнитные волны в вакууме.
5.2. Плоские волны.
5.3. Монохроматическая плоская волна.
Электромагнитное поле в пустоте определяется уравнениями
J
Максвелла, в которых следует положить ρ = 0,
div
= 0,
Et∂
rot
rot
= −
= µₒɛₒ
,
∂
Et∂
,
∂
= 0. Выпишем их
div
= 0 (5.76)
Эти уравнения могут иметь отличные от нуля решения. Это
значит, что ЭМП может существовать даже при отсутствии каких бы то ни было зарядов.
Определение: Электромагнитные поля, существующие в пустоте при отсутствии зарядов. Называются электромагнитными
волнами.
Рассмотрим свойства этих полей. Прежде отметим, что эти
поля обязательно должны быть переменными.
Действительно. В противном случае
Нt∂
∂
= 0 и
Et∂
∂
= 0,
и уравнения (5.1) имеют вид:
rot
= 0, div
= 0, rot
Но решения этих уравнений обращаются в нуль при
ρ = 0,
J
=
= 0.
J
, div
=
ε
0
Введем уравнения, определяющие потенциалы электромагнитных волн.
- 95 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
E
∂
B
A
A
A
A
∂
∂
A
A
E
E
A
A
A
A
²
00
A
²²
сt
Как известно, в силу неоднозначности потенциалов всегда
можно наложить на них некоторое дополнительное условие. На
этом основании, выберем потенциалы ЭМВ так. Чтобы скалярный потенциал был равен нулю:
φ =0 (5.77)
Тогда
= −
At∂
;
= rot
(5.78)
Подставляя в (5.3) в 3 уравнение Максвелла (5.1) находим:
rot rot
= − ∆
+ grad div
= ɛₒµₒ
Et∂
= −ɛₒµₒ
²²At∂
(5.79)
Несмотря на то, что мы уже наложили одно дополнительное
условие на потенциалы, потенциал
все же еще не вполне однозначен. А именно, к нему можно прибавить градиент любой
не зависящей от времени функции (не меняя при этом φ). В частности можно выбрать потенциал электромагнитной волны таким образом, чтобы
div
= 0 (5.80)
Действительно, подставляя
− div
т. е. div
есть функция только координат. Эту функцию всегда
At∂
∂
из (5.3) в div
= −
t∂∂
div
можно обратить в нуль прибавлением к
= 0,
A
= 0, имеем
градиента от соот-
ветствующей не зависящей от времени функции.
Уравнение (5.4) приобретает вид:
∆
− ɛₒµₒ
²²At∂
= 0, или ∆
∂
−
1
²²At∂
с
= 0 (5.81)
∂
т. к.
1
с =
ε
µ
Уравнение (5.6) определяет потенциал электромагнитных
волн. Оно называется уравнением Даламбера или волновым
уравнением. Волновое уравнение записывают в виде:
²
1
□
= 0, где □ = ∆ −
∂
− оператор Даламбера.
∂
- 96 -
xx
/t∂∂
E
H
A
²
23
сt
A
22
сt
)0
E
22
сt
B
22
сt
H
22
сt
F
xx
∂
xx
kl
xx
∂∂
Лекция 5
²
□ = −
∂
∂∂
i
i
−
вид оператора Даламбера в четырехмерном пространстве.
Применяя в (5.6) операции rot и
том, что напряженности
и
удовлетворяют таким же урав-
, можно убедиться в
нениям
1
rot
∂
∂
−
∂
2
(rot
1 H
∂
2
At∂
= 0
2
A =
2
= 0
∂
3
−
−
1 A
с
1 A
2
1 E
∂
∂
= 0 rot ∆
3
t∂∂
3
∂
= 0 rot ∆
∂
= 0, ∆
−
1 B
2
∂
∂
= 0, ∆
∆
t∂∂
At∂
∆
∂
∆
−
²1
A
−
с
–
Повторим вывод волнового уравнения в четырехмерном
виде. Для этого напишем вторую пару уравнений Максвелла для
поля в отсутствии зарядов в виде:
ik
Fx∂
= 0
k
∂
, выраженные через потенциалы
k
∂
A
ik
=
F
∂
x
k
−
i
Ax∂
,
∂
i
Подставим сюда
получим
ik
k
²
A
∂
xx
∂∂
i
−
k
²
A
∂
∂∂
k
i
= 0 (5.82)
k
Наложим на потенциалы дополнительное условие
k
Ax∂
=0 (5.83)
k
Это условие называют лоренцевым, а об удовлетворяющих
ему потенциалах говорят как о потенциалах в лоренцевой калибровке.
Тогда в уравнении (5.7) первый член выпадает и остается
i
²
A
∂
∂∂
k
g
=
k
i
²
A
∂
kl
=0 (5.84)
- 97 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
=
A
A
A
A
A
A
F
x yz
x zy
E EE
−−
F
EH
ϕ
∂
A
A
²
²
²
Выражение (5.9) – есть волновое уравнение, записанное в че-
тырехмерном виде. При этом
x
– компоненты четырехради-
i
ус-вектора, которые можно рассматривать, как координаты события (ct, x,y,z):
i
= (φ,
0
x ct
) – координаты четырех-вектора, называемого четы-
,
1
x
= x,
2
x
= y,
x
3
= z,
рех-потенциалом:
0
ik
– компоненты четырех-тензора ЭМП:
= φ;
0–
ik
F E HH
= −
E
y
E
z
A
=
x
0
H
0
z
–
H
H
y
x
;
–
H
0
2
x
A
=
или
;
y
ik
= ( -
3
A
=
;
z
,
) .
В трехмерной форме условие(5.8) имеет вид:
1
c t
∂
+ div
=0 (5.85)
Оно является более общим, чем использованные нами выше
условия φ = 0 и div
= 0; потенциалы, удовлетворяющие этим
последним, удовлетворяют также и (5.10). В отличие от них, однако, условие Лоренца имеет релятивистки инвариантный характер: потенциалы, удовлетворяющие ему в одной системе отсчета, удовлетворяют ему и во всякой другой системе отсчета
(условия же (5.2) и (5.5) нарушаются, вообще говоря, при преобразовании системы отсчета).
5.2. Плоские волны
Рассмотрим частный случай электромагнитных волн, когда
после зависит только от одной координаты, скажем x (и от времени). Такие волны называют плоскими. В этом случае уравнения поля принимают вид
где под f подразумевается любая компанента векторов Е и Н.
f
t∂∂
− c²
- 98 -
f
= 0, (5.86)
x∂∂
dt
dx
dd
dt dx
c
c
2
2
ξ
∂
2
dd
η
∂
2
dd
²
ξη
∂
1
2
Лекция 5
Для решения этого уравнения перепишем его в виде
d
(
И введем новые переменные
ξ = t −
− c
d
c
)(
x
, η = t +
+
) = 0
x
,
так что
1
(η + ξ ), x =
t =
c
(η − ξ ),
Тогда
1
c
=
∂
−
(
dt dx
),
1
=
∂
+
(
dt dx
c
),
и уравнение для f:
f
= 0.
∂∂
Очевидно, что его решение имеет вид
f =
Пусть, например,
смысл этого решения.
f
f
2
x
(t −
1
f
) +
2
c
= 0, так что f =
(t +
x
) (5.87)
c
f
1
(t −
x
). Выясним
c
В каждой плоскости x = const поле меняется со временем;
в каждый данный момент поле различно для разных x. Очевидно,
что поле имеет одинаковое значение для координат x и моментов
времени t, удовлетворяющих соотношениям с − x/c = const, т. е.
x = const + сt.
Это значит, что если в некоторый момент t = 0 в некоторой
точке x пространства поле имело определенное значение С, то
через промежуток времени t то же самое значение С поле будет
иметь на расстоянии сt вдоль оси x от первоначального места.
Мы можем сказать, что все значения электромагнитного поля
распространяются в пространстве вдоль оси x со скоростью,
равной скорости света с.
Таким образом,
f
(t − x/c) представляет собой плоскую вол-
ну, бегущую в положительном направлении оси x. Очевидно,
f
(t + x/c) представляет собой волну, бегущую в противопо-
что
ложном, отрицательном направлении оси x. В предыдущем параграфе было показано, что потенциалы электромагнитной вол-
ны можно выбрать так, чтобы φ = 0, причем divA = 0.
- 99 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
∂
²
At∂∂
E
B
A
EA
B
tA
B
H
Eи
H
Выберем потенциалы рассматриваемой теперь плоской вол-
ны именно таким образом. Условие divA = 0 дает в этом случае
A
x
= 0,
x
∂
поскольку все величины не зависят от y и z. С учетом последнего
равенства и согласно (5.11), получим что
а, следовательно
Но производная
/
видим, что отличная от нуля компонента
A
x
= ,
2
t∂∂
At∂
x
= const.
∂
определяет электрическое поле, и мы
A
означала бы в рас-
x
сматриваемом случае наличие постоянного продольного электрического поля. Поскольку такое поле не имеет отношения к
электромагнитной волне, то можно положить
A
= 0.
x
Таким образом, векторный потенциал плоской волны может
быть всегда выбран перпендикулярным к оси x, т. е. к направлению распространения этой волны. Рассмотрим плоскую волну, бегущую в положительном направлении оси ;x в такой волне все величины, в частности и A, являются функциями только
от t − x/c. Из формул
At∂
= −
мы находим поэтому:
;
=−
=
A
∇
где штрих обозначает дифференцирование по t − x/c, а
=
;
∂
∇−
= rot
x
c
′
= −
′
1nA
c
,
n
– единичный вектор вдоль направления распространения волны.
Подставляя первое равенство во второе, находим:
Мы видим, что электрическое и магнитное поля
ской волны направлены перпендикулярно к направлению распространения волны. На этом основании электромагнитные
=
1nE
c
→
1nE
1
=
µc
0
→ µₒ
c
H nE
=
=
ε
0
nE
µ
0
(5.88)
пло-
- 100 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]