Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика. Учебное пособие
.pdf
Dr
0r →
const
ε
=
D
(,,)
εε
=
D
D
ε
IE
Лекция 1
q
видоизменен вблизи
=
в то время как первая форма требует
3
4
r
π
его действительности всюду, в том числе на сколь угодно малых
расстояниях.
Выражение (1.28) получено на основании (1.20) в предположении, что
связи между
когда среда неоднородна, то есть
предположить, что найденная связь между
. В итоге мы получили математическую форму
и ρ, которая не теряет смысла и в том случае,
xyz
. Это дает основание
и ρ имеет место и
для неоднородных сред. В этом предположении заключено обобщение непосредственных исходных данных опыта.
Формально уравнение (1.28) удовлетворяется и при
и ρ
явно зависящих от времени. Поскольку же нет никаких особых
указаний против применимости этого уравнения в случае изменяющихся во времени полей, примем, что это уравнение пригодно и в общем случае, когда поля и заряды зависят от времени.
Рассмотрим далее закон электромагнитной индукции.
Опытный закон электромагнитной индукции Фарадея является вторым из фундаментальных законов, лежащих в основе электродинамики: В замкнутом проводнике индуцируется
электрический ток при изменении потока магнитной индукции,
проходящего через поверхность, ограниченную контуром проводника.
d
IR BdS
= =− Φ=
Φ
dt
(1.29)
∫
где ε – электродвижущая сила индукции, I – сила индукционного тока, R – сопротивление проводника. Знак минус определяет-
ся правилом Ленца.
После подстановки
d
IR BdS
= −
dt
(1.30)
∫
Выразим силу индуцируемого тока (следствие явления) через
первопричину – напряжение электрического поля, только при
σ
=
наличии которого по закону Ома
и может возникнуть ток
в однородном проводнике.
- 21 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
σ
∆
∆
I jS ES
σ
=∆= ∆
LL L
∫∫ ∫
LS
∫∫
LS
∫∫
SS
∫∫
Сопротивление элемента контура длиной dl, определяется
выражением
1 dl
dR
где
= ⋅
S
– площадь сечения проводника. Величина силы тока
,
S
определяется выражением
Следовательно, электродвижущая сила индукции
IR IdR I Edl
ε
= = = =
dl
dS
σ
(1.31)
Экспериментальный результат соответственно выглядит сле-
дующим образом:
= −
d
dt
,
Edl BdS
или вводя производную под знак интеграла
Выражение (1.32) уже не содержит в себе характеристик проводника, оно сохраняет свою форму и для произвольного контура, проведенного в произвольной среде, включая вакуум.
Перейдем к дифференциальной форме. Применим к (1.32)
теорему Стокса
получим
а поскольку равенство имеет место для любых пределов интегрирования, следовательно
Выражение (1.33) является вторым уравнением Максвелла и
указывает на то, что вихревое электрическое поле порождается
изменяющимся во времени магнитным полем.
= −
= −
dB
dt
dB
dt
dB
(1.33)
EdL dS
EdS rotEdS=
∫∫
LS
rotEdS dS
rotEdt= −
- 22 -
(1.32)
,
(,,)
µµ
=
2
π
2
π
=
H
Лекция 1
При получении (1.33) были сделаны следующие обобщения:
• предположено, что (1.33) имеет место для произвольной
точки поля, не обязательно связанной с проводником;
• предположено, что (1.33) имеет место для произвольной
xyz
магнитной среды (как неоднородной
, так и
ферромагнетиков).
Лишь дополнительные экспериментальные факты могут внести ограничения или изменения в соотношение (1.33), так как по
своей структуре оно имеет место и для перечисленных случаев.
Для получения уравнений, описывающих характеристики
магнитного поля, обобщим опытные данные о магнитном поле.
Прямолинейный ток создает магнитное поле, величина напряженности которого определяется выражением
I
H
,
=
(1.34)
r
2
π
а направление определяется правилом буравчика. Этот простейший закон положен в качестве первого опытного факта о причинах создания магнитного поля. Попытаемся представить закон в
форме, которая бы не содержала ограничивающую особенность
исходного опытного положения. Для этого умножим правую и
r
левую части на
:
rH I
(1.34)
Учитывая, что вектор напряженности магнитного поля направлен по касательной к окружности (силовой линии) получим
где циркуляция
берется по окружности, охватывающей пря-
HdL I=
∫
L
(1.35)
молинейный ток. Хотя соотношение (1.35) есть иная запись
(1.34), однако в ней уже не предполагается прямолинейность
проводника, и нет ограничений на форму траектории, по которой берется циркуляция. Таким образом (1.35) можно обобщить
на случай произвольных контуров, охватывающих один или несколько контуров с током с суммарной силой I и произвольной
диэлектрической или магнитной средой.
- 23 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
SS
∫∫
divJ
Далее, используя теорему Стокса
HdL rotHdS=
∫∫
LS
перейдем к дифференциальной форме уравнения (1.35)
rotHdS I JdS= =
(1.36)
При равенстве интегралов равны их подинегральные выра-
жения
где
J
– ток проводимости, обусловленный направленным
провод
rotH J=
(1.37)
провод
движением зарядов.
Уравнение (1.37) говорит о том, что магнитное поле является вихревым (его силовые линии замкнуты) и порождается оно
движущимися заряженными телами.
Однако Джеймс Кларк Максвелл, опираясь на результаты
экспериментов Фарадея, обнаружил некорректность уравнения
(1.37). Данное уравнение получено из закона Ампера, сформулированного для постоянных токов, когда
ние к
ствительно, взяв
содержится непосредственно в законе Ампера. Дей-
div
от обоих частей равенства (1.37):
divJ div rotH= =
провод
0
0divJ =
. Это требова-
Другой опытный факт, указывающий на иную причину создания магнитного поля, помимо токов проводимости, установлен Максвеллом.
Рассмотрим электрическую цепь с конденсатором. При наличии в начальный момент времени
зарядов на пластинах конденсатора в такой цепи
появляется электрический
ток вследствие разрядки
конденсатора. Опыт показывает, что разрыв электрического тока
проводимости вследствие разомкнутости цепи не сопровождает-
- 24 -
+=
()
() 0
dD
∂∂
+= + = + =
∂∂
()
J J JJ
→ +→ +
= += +
Лекция 1
ся, однако, разрывом магнитного поля. Магнитное поле продолжает «создаваться» внутри конденсатора некоторым током, природа которого уже не может быть связана с током проводимости.
По этой причине необходимо обобщение самого понятия
плотности тока, как причины создания магнитного поля. Из
уравнения непрерывности для заряда и тока следует
ρ
∂
divJ
провод
Максвелл заметил, что при учете закона Кулона
0
(1.38)
t
∂
divDρ=
уравнение (1.38) можно представить в виде равенства нулю дивергенции некоторого вектора:
divJ divJ divD div J
провод
ρ
t dt t
(1.39)
Соответственно, Максвелл обобщил закон Ампера на случай
переменных полей, произведя в нем замену
где
J dD dt=
см
провод провод провод см
/
– добавочное слагаемое имеет размерность плот-
D
∂
∂
t
, (1.40)
ности тока, и было названо Максвеллом током смещения. Тогда
уравнение (1.37) принимает вид:
∂
rotH J J J
провод см провод
D
(1.41)
t
∂
для стационарных процессов это соотношение дает прежний,
экспериментально проверенный закон, но теперь оно стало совместимым с уравнением непрерывности.
Введенная модификация закон Ампера имеет решающее значение для быстро меняющихся полей. Без неё не было бы электромагнитных волн. Максвелл пришел к заключению, что свет
представляет собой ЭМВ, и показал возможность генерации
электромагнитных волн различных частот. Это привлекло внимание всех физиков и стимулировало множество теоретических
и экспериментальных работ в конце девятнадцатого столетия.
Уравнение (1.41) является третьим фундаментальным уравнением электродинамики, связывающее токи проводимости и
токи смещения с интенсивностями вихревых магнитных полей.
- 25 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
∫
τ
(,,)
()
LS
∫∫
LS
∫∫
Рассмотрим далее опытные факты об отсутствии магнитных
зарядов, аналогичных электрическим.
Как показывает опыт в макроскопической физике нельзя выделить свободных магнитных зарядов, аналогичных свободным
электрическим. Этот факт может быть количественно сформулирован некоторым дополнительным условием.
Так как заряд в случае электрического поля вполне определяется потоком вектора электрической индукции
DdS q=
∫
S
,
то искомое дополнительное условие должно иметь вид:
0
BdS =
S
(1.42)
Или используя теорему Остроградского – Гаусса
BdS divBd
=
∫∫
SV
получаем
Легко убедиться, что (1.43) не противоречит уравнению
rotEdt= −
0divB =
(1.43)
dB
Применим к левой и правой части операцию дивергенции и
учтем, что
Получим
Из последнего следует, что
вольна, в том числе она может быть равна нулю.
Таким образом, можно записать систему четырех уравнений
Максвелла в дифференциальной и интегральной форме:
rotH J
rotEdt= −
= +
провод
dB
dB d
div divB
= =
dt dt
divB f x y z=
∂
D
∂
t
- 26 -
0div rotE =
.
0
Hdl J J dS= +
Edl BdS
= −
. Функция f произ-
пров см
d
dt
S
∫
, ,( )
ε µσ
E
H
0divB =
Лекция 1
divDρ=
0divB =
DdS q=
∫
S
BdS =
(1.44)
0
В системе уравнений (1.44) первое является обобщением
опытных фактов об источниках вихрей магнитного поля, второе –
обобщение закона электромагнитной индукции, третье – обобщение закона Кулона, четвертое – выражает опытный факт об
отсутствии магнитных зарядов. Эти уравнения дает полное описание электромагнитного поля.
Кроме того, имеются еще три уравнения:
D E B H J EE
εε µµ σ
= = = +
00
(1.45)
стор
играющие роль уравнений состояний для сред, поскольку в них
входят характеристики сред – постоянные
,,
.
Сделаем несколько общих замечаний.
Последняя пара уравнений отличается от первых двух тем,
что в них не входят производные по времени. В некоторых задачах неизвестным является шесть величин: компоненты векторов
и
. Тогда первые два уравнения (так как их тоже шесть)
дают возможность при заданных токах определить эти неизвестные, но ввиду того, что уравнения в частных производных допускают разные решения, последние два уравнения выбирают из
комплекса решений первых двух именно те, которые совмести-
мы с условиями
divDρ=
и
.
Уравнения поля и уравнения сред – линейны. Поэтому в них
выражен принцип аддитивности: результирующее поле, создаваемое несколькими источниками, равно сумме полей от каждого из источников по отдельности. Это следствие того свойства
линейных уравнений, что для них сумма частных решений является также решением данного уравнения.
- 27 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
F
q
//
ii
ii
p qE v E qv E j
∑∑
qv j
∑
∂
()
1.5. Закон сохранения энергии применительно
к электромагнитным явлениям
Рассмотрим некоторый объём V, ограниченный поверхностью S. Электрическое поле внутри этого объема производит работу по изменению состояния движения зарядов, магнитное
поле работы не совершает, т. к. оно перпендикулярно скорости
заряда. Элементарную работу, совершаемую силой
на пути dr, представляем в виде
дом
dA F dr=
. (1.46)
над заря-
Мощность, производимая при этом внешней силой, равняется
v
– скорость заряда.
где
P dA dt F dr dt F v= = =
, (1.47)
В соответствии с законом Кулона сила, действующая на заряд
F qE=
равна
.С учетом этого равенства перепишем (1.47)
P qE v=
. (1.48)
Равенство записано для одиночного заряда. Для единичного
объема
= = =
, (1.49)
где под знаком суммы все заряды этого объема. Последнее равенство включает в себя плотность тока, поскольку
=
.
i
i
Первое уравнение Максвелла в вакууме имеет вид
E
rotB j
= +
Из этого уравнения следует, что
j rot B
= −
µ
µ εµ
0 00
1 E
0
∂
.
t
∂
ε
(1.50)
0
t
∂
Подставим это выражение в (1.49) и получим количество
энергии, которое теряется в объёме в единицу времени:
P E j dV rot B E dV
= = −
∫∫
VV
1
µ
0
E
∂
ε
0
t
∂
- 28 -
VV
∫∫
VV
EE
tt
∂∂
∂∂
∫∫
V VV
∫ ∫∫
22
22
S VV
BE
tt
∂∂
∂∂
∫ ∫∫
[]
И ЭМ
∂
∂
[]
∫
Лекция 1
1
E rotB dV E dV
= −
µ
0
ε
E
∂
0
(1.51)
t
∂
Второе слагаемое представляем в следующей форме
2
1
EdV dV
=
2
(1.52)
Из дифференциальной геометрии известно следующее ра-
венство для двух произвольных векторов:
[]E rot B div E B B rot E=− ×+
. (1.53)
Считаем этими функциями электрическую напряженность
и магнитную индукцию соответственно обозначениям выше и
подставляем (1.53) в (1.51):
2
11
P div E B dV B rot E dV dV
=− ×+ −
µµ
[]
00
ε
E
∂
0
2
∂
t
. (1.54)
В соответствии со вторым уравнением Максвелла
rot E
.
∂
t
∂
B
= −
Подставим это равенство во второе слагаемое. После использования теоремы Гаусса в первом слагаемом и очевидных преобразований во втором, получаем
11
P E B d S dV dV
=− ×− −
[]
µµ
00
ε
0
. (1.55)
Перенося первое слагаемое в левую часть этого равенства и
меняя порядок интегрирования по объему и дифференцирования по времени во втором и третьем, можем записать:
где
мощность излучения через границу выделенного объема
(в интеграле справа интегрирование производится по площади
поверхности выделенного объема S );
мощность тепловых потерь в выделенном объеме;
PP W W
+=− +
P E B dS
= ×
И
µ
P E j dV=
t
1
∫
0
S
V
- 29 -
, (1.56)
– (1.57)
– (1.58)
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
ε
S EB
2
0
W E dV
=
Э
∫
2
V
– (1.59)
энергия электрического поля в выделенном объеме;
1
W B dV
=
М
2
∫
2
µ
0
V
– (1.60)
энергия магнитного поля в выделенном объеме.
В подынтегральном выражении (1.57) так называемый вектор Умова – Пойнтинга определяет удельную (на единичную
площадку, ортогональную направлению распространения) мощность электромагнитного излучения
1
= ×
µ
. (1.61)
0
Таким образом, в полном соответствии с законом сохранения
энергии суммарные удельные (в единицу времени) потери энергии в произвольном объеме равняются суммарной мощности
потерь (тепловых и излучения через границу объема).
1.6. Феноменологический подход
в электродинамике сплошных сред
ская теория поля, разработанная Максвеллом, как в её интегральной, так и дифференциальной форме носит макроскопический характер; иначе говоря, она является феноменологической
теорией. То есть в ней не учитывается атомно-молекулярная
структура вещества. Учет строения вещества привел к возникновению классической электронной теории или классической
микроскопической электродинамики, основателем которой стал
Г. Лоренц (1853-1928). Лоренц предложил исключительно удачный и плодотворный метод усреднения истинных микроскопических значений физических величин и получения их макроскопических значений, которые используются в «обычной» физике
и технике. В электронной теории взамен феноменологического
метода исследования используется структурный подход, при котором макроскопические закономерности получают модельное
обоснование путем анализа атомно-молекулярных взаимодей-
Электродинамика полей и зарядов в вакууме или классиче-
- 30 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]