Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика. Учебное пособие
.pdf
µ
ϕρ
Лекция 1
ствий, осуществляемых через микроскопические электромагнитные поля. Структурный подход – характерная особенность
физики XX века; объяснить явление означает вскрыть его микрофизический механизм.
Чтобы уточнить понятие среднего значения, мы введем следующую терминологию, предложенную Лоренцом. Мы будем
называть физически бесконечно малыми в отличии от математически бесконечно малых такие элементы объемов, поверхностей и линий, которые одновременно удовлетворяют следующим двум требованиям:
• физически бесконечно малые элементы должны быть
чрезвычайно велики по сравнению с расстояниями между молекулами среды, а стало быть, и по сравнению с
микроскопическими неоднородностями среды и поля;
• вместе с тем физически бесконечно малые элементы
должны быть чрезвычайно малы по сравнению с макроскопическими неоднородностями поля и среды; другими
словами, средние значения физических величин (например ) в любом из этих элементов должны бесконечно
мало отличаться от средних значений этих величин в
смежных с ними элементах.
Например, даже в газообразных, не говоря уже о твердых
и жидких, телах расстояния между молекулами столь малы по
сравнению с макроскопическими неоднородностями изучаемых
обычно полей, что почти всегда оказывается возможным одновременно удовлетворять обоим этим условиям.
Таким образом, будем в дальнейшем под макроскопическими
величинами понимать средние значения физических величин в
физически бесконечно малом объеме. Другими словами, под макроскопическим значением произвольной физической (скаляр-
ной или векторной) величины
(например
,,E
) в данной
точке пространства P мы будем понимать среднее из истинных
или микроскопических значений этой величины в физически
бесконечно малом объеме V, окружающем точку P:
µµ µ
= =
макро микро микро
1
V
dV
∫
(1.62)
- 31 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
ρ
()
xx
µµ
∂∂
∂∂
В частности, например, внутри проводников атомистическое
строение электричества проявляется в чрезвычайно быстрых колебаниях микроскопических значений физических величин в
смежных точках пространства; так, например, микроскопическая плотность электричества
отлична от нуля лишь внутри
электронов и атомных ядер. Таким образом, говоря о плотности
заряда в поверхностном слое проводников, о постоянстве внутри потенциала в них, мы, в сущности, говорим о средних значениях этих величин, определяемых уравнением (1.62).
Согласно электронной теории Лоренца, используя дифференциальные уравнения для микроскопических величин путем
усреднения, находят уравнения для макроскопических величин.
При этом пользуются следующим положением: среднее значение производной по координате (а также и по времени) от произвольной величины равно производной от среднего значения
этой величины:
=
(1.63)
где черта сверху обозначает образование среднего.
Вывод по лекции
В лекции проведено построение фундаментальной системы
уравнений Максвелла, полностью описывающей динамику формирования и распространения электромагнитных полей как в
вакууме, так и в средах, с учетом их свойств. Также рассмотрен
закон сохранения заряда и энергии применительно к электромагнитным полям.
Вопросы для самопроверки
1. Закон Ампера и Кулона. Системы единиц.
2. Локальные характеристики электромагнитного поля.
3. Закон сохранения электрического заряда. Уравнение непрерывности.
4. Интегральная форма первого уравнения Максвелла (вывод).
- 32 -
Лекция 1
5. Дифференциальная форма первого уравнения Максвелла
(вывод).
6. Интегральная форма второго уравнения Максвелла (вывод).
7. Дифференциальная форма второго уравнения Максвелла
(вывод).
8. Интегральная форма третьего уравнения Максвелла (вывод).
9. Дифференциальная форма третьего уравнения Максвелла (вывод).
10. Интегральная и дифференциальная форма четвертого
уравнения Максвелла (вывод).
11. Закон сохранения энергии применительно к электромагнитным явлениям.
Список литературы по лекции 1: [1], [2], [3], [7].
- 33 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
/0
ρ
Лекция 2.
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
План лекции
2.1. Уравнения электростатики и граничные условия при наличии заряженных поверхностей.
2.2. Электростатическое поле в вакууме
2.3. Нормировка потенциала.
2.4. Потенциал точечного заряда. Потенциал системы точечных зарядов. Потенциал непрерывно распределенных зарядов.
2.5. Уравнения Лапласа и Пуассона.
2.6. Проводники в электростатическом поле.
2.7. Дипольное разложение потенциала.
2.8. Энергия электрического поля. Энергия диполя во внешнем поле.
2.9. Механические силы в электрическом поле. Момент сил. действующих на диполь.
2.10. Диэлектрики. Поляризация диэлектриков. Граничные условия при наличии диэлектриков. Вектор поляризованности.
2.11. Энергия диэлектрического тела во внешнем поле.
2.12. Объемные силы, действующие на диэлектрики.
При постоянстве во времени всех величин четыре уравнения
Максвелла для вакуума (1.20) разбиваются на группу уравнений
для электростатики (при дополнительном условии
div E
=
ε
0
Bt∂ ∂=
)
0rot E =
(2.1)
и группу уравнений для магнитостатики
rot B j
µ
=
(2.2)
0
0.div B =
Это означает, что в стационарном случае электрическое и
магнитное поля теряют между собой связь и их можно рассматривать изолировано друг от друга. Как показывают уравнения
(14.1), в этом случае единственным источником магнитного поля
являются токи проводимости, а электрического поля – заряды.
В стационарном случае порождение магнитного поля изменяющимся электрическим полем и порождение электрического поля
изменяющимся магнитным полем не имеет места. Помимо токов проводимости, существует еще один источник магнитного
поля – магнитный момент элементарных частиц, связанный с
- 34 -
Лекция 2
dS
σ
E
/.
ρε
их спином и движением внутри атомов и молекул. Магнитное
поле, порождаемое магнитными моментами элементарных частиц, также включается в описание.
2.1. Уравнения электростатики и граничные условия
при наличии заряженных поверхностей
► Уравненияэлектростатики
Можно показать, что картина неподвижных зарядов в
вакууме возможна только при условии, что существуют силы,
которые удерживают заряды в местах их расположения. При решении электростатических задач считается, что эти силы имеют не электрическое происхождение и не изменяют электрическое поле, создаваемое зарядами в пространстве. Часто удобно
пользоваться понятием поверхностного заряда, допуская, что
заряд расположен на некоторой поверхности в пространстве и
удерживается на ней некоторыми силами, природа которых не
уточняется, и которые не изменяют поля, создаваемого поверхностными зарядами. Плотность поверхностных зарядов (заряд,
приходящийся на единицу площади поверхности) обозначаем
dq
=
.
Граничныеусловия. Электрическое поле направлено в
противоположных направлениях по разным сторонам поверхности, где находится поверхностный заряд. Следовательно, напряженность электрического поля не является непрерывной функцией и испытывает скачкообразное изменение на заряженной
поверхности. Уравнения, связывающие напряженность электрического поля по разные стороны поверхности, называют граничными условиями.
► Граничноеусловиедлянормальнойоставляющейвек-
тора
. Это условие выводится с помощью уравнения Максвелла
div E
=
(2.3)
0
Рассмотрим малый и тонкий цилиндр, пересеченный поверхностью раздела двух сред. Нормаль к поверхности раздела сред
примем направленной в сторону второй среды. Основания
- 35 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
SS=
VV
∫∫
SS S
∫∫ ∫
ES
σ
−=
цилиндра имеют одинаковые площади, причем поверхности оснований параллельны поверхности раздела. Площадь сечения
цилиндра поверхностью раздела также имеет площадь
.
0
Проинтегрируем обе части уравнения (2.3) по объему цилиндра:
div EdV dV
1
=
ε
.
ρ
0
(2.4)
В соответствии с теоремой Гаусса преобразуем интеграл сле-
ва и получаем
где
EdS E dS dS
≅=
цц
E
– нормальная составляющая напряженности
n
1
n
ε
,
σ
0
(2.5)
0
,
– пло-
ц
щадь основания цилиндра, учтено, что заряд имеется только на
S
площади раздела
.
0
Учитывая, что рассматриваемый цилиндр имеет малые раз-
меры, считаем неизменной величину плотности заряда
на поверхности раздела внутри него. Исходя из соображений симметрии, считаем абсолютную величину нормальной составляющей
E
напряженности
да, взяв интеграл слева и замечая, что в среде 2 векторы
одинаковой с каждой стороны раздела. Тог-
n
è
E dS
n
–
параллельны, а в среде 1 – антипараллельны, получаем итоговое
равенство
σ
EE
21
nn
.
(2.6)
ε
0
Если поверхность разделяет проводник и вакуум, то это равенство еще более упрощается. Как будет показано ниже, напряженность электрического поля в проводящей среде (считаем,
что это среда 1) равна
E
= 0. Тогда
1
E
σ
.
=
2
(2.7)
n
ε
0
Таким образом, нормальная составляющая напряженности
электрического поля в непосредственной близости от проводника и плотность заряда на его поверхности связаны линейной
зависимостью.
- 36 -
210
lll= =
tt
= = −=
∫∫
ll=
21
.
tt
EE=
21tt
EE
21 0
0/
σε
Лекция 2
► Граничное условие для тангенциальной составляю-
щейвекторанапряженностиэлектрическогополя
Это условие выводится с помощью уравнения Максвелла
rot E
=0. (2.8)
Пересечем поверхность раздела малой прямоугольной площадкой S,ограниченной контуром L. Длинные стороны площадки ориентируем по направлению касательной составляющей
E
напряженности электрического поля, а короткие стороны –
t
ортогонально площадке. Площадка пересекает поверхность раздела по линии
ны поверхности, причем
l
. Первая и вторая стороны площадки параллель-
0
. Проинтегрируем уравнение
(2.8) по поверхности S:
rot EdS =
∫
S
0
(2.9)
Интеграл преобразуем по теореме Стокса:
rot EdS Edl E l E l
SL
2 2 11
0.
(2.10)
Здесь учтено, что направление обхода контура в среде 2 совпадает с выбранным направлением касательной составляющей напряженности, а в среде 1 – противоположно этому направлению.
Поскольку
2 1,
.то
(2.11)
Если выбрать другое направление касательной к поверхности раздела, то можно получить такое же равенство для другой
проекции касательной составляющей напряженности. Отсюда
следует, что всегда
=
(2.11 а)
Таким образом, тангенциальная составляющая напряженности электрического поля при прохождении заряженной поверхности раздела остается неизменной.
2.2. Электростатическое поле в вакууме
► Уравненияэлектростатики.
Как показано выше, уравнения электростатического поля и
граничные условия имеют такой вид:
rot E E E
= −=
nn
- 37 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
0 21
tt
ϕ
() ()
ϕϕ
div E E E
/
ρε
= =
(2.12)
► Потенциальностьэлектростатическогополя
Векторное поле, ротор которого равен нулю, называется потенциальным. Электростатическое поле является потенциальным, поскольку
0.rot E =
(2.13)
Работа силы при перемещении заряда в этом поле зависит
только от начальной и конечной точек пути. Выбор пути, по
которому производится перемещение, не имеет значения. Это
непосредственно следует из условия (2.13). Независимость работы сил поля от пути, про которому перемещается заряд между
двумя точками, обусловливает существование такой скалярной
функцииϕ, разностью значений которой в конечной и начальной точках пути определяется эта работа. Такая скалярная функция называется скалярным потенциалом. Поскольку ротор градиента всегда равен нулю, то общим решением уравнения (2.13)
является
E qrad
= −
(2.14)
Благодаря знаку минус вектор напряженности электрического поля направлен в сторону уменьшения потенциала. На
основании (2.14) выражение для интеграла от напряженности
по произвольному пути L может быть записано в виде разности
потенциалов конечных точек
2.3. Нормировка потенциала
∫
L
= −
(2.15)
Edl A B
Сам по себе потенциал является вспомогательной величиной. Его числовое значение является условной величиной, физический смысл имеет лишь разность потенциалов. Эта разность потенциалов не изменится, если к значению потенциала
во всех точках пространства прибавить одну и ту же постоянную величину. Поэтому можно сказать, что потенциал определен лишь с точностью до аддитивной постоянной, которая может быть выбрана произвольно. Пользуясь этим, можно
потенциал в некоторой фиксированной точке пространства счи-
- 38 -
() 0
ϕ
∞=
() ,
q
qr
rr
Лекция 2
тать равным заранее заданной величине. Тогда потенциал всех
остальных точек оказывается определенным однозначно. Такая
процедура придания однозначности скалярному потенциалу
называется нормировкой потенциала. В практической электротехнике при нормировке потенциала обычно принимают равным нулю потенциал Земли. В теоретической физике обычно
полагают, что потенциал равен нулю на бесконечном удалении
от конечной области пространства., где расположены заряды
(
). При такой нормировке потенциал равенство (2.14) в
случае, когда точка В находится в бесконечности, принимает вид
∞
A Edl
ϕ
=
(2.15)
∫
A
где форма пути интегрирования является произвольной. При
практическом вычислении этот путь выбирается наиболее удобным для интегрирования.
2.4. Потенциал точечного заряда. Потенциал системы
точечных зарядов. Потенциал непрерывно
распределенных зарядов
Потенциалточечногозаряда. Поле точечного заряда
является сферически симметричным. Следовательно, потенциал
точечного заряда также является сферически симметричным.
Он зависит только от расстояния между точкой, в которой вычисляется потенциал, и точечным зарядом, который создает этот
потенциал. Принимая во внимание, что напряженность поля точечного заряда на расстоянии г от него равна
E
=
4
πε
. (2.16)
2
0
и пользуясь формулой (2.15) получаем
∞
()
r Edl
ϕ
= =
∫
r
1
q
. (2.17)
4
r
πε
0
При вычислении (2.17) в качестве пути интегрирования выбран путь вдоль радиус-вектора. Таким образом, потенциал точечного заряда q на расстоянии z от него прямо пропорционален
- 39 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
12
,qq
ϕϕ ϕ
2 22
( )( )( )
i ii
ϕ
ρ
,
∆
ρ
∆
2 22
( )( )( )
ϕ
′′′ ′ ′ ′
′ ′′
ρ
ϕ
r
заряду, деленному на это расстояние. Наоборот, зная потенциал
как функцию координат, нетрудно определить напряженность
электрического поля по формуле (2.13).
Потенциал системы точечных зарядов. Если имеются два то-
чечных заряда
E
E
и
поля
полная напряженность поля, образуемого двумя зарядами равна
1
, то, в соответствии с принципом суперпозиции,
2
каждый из которых в отдельности создает
E E E grad grad grad
=+=− − =−
12 1 2
ϕϕ ϕ
= +
12
В соответствии с тем же принципом потенциал совокупности
точечных зарядов равен сумме потенциалов, созданных каждым
точечным зарядом в отдельности. Поэтому потенциал системы
зарядов
где
q
равен
1
r
- расстояние от заряда
i
q
1
ϕ
=
πε
4
q
i
(2.18)
∑
r
i
0
i
до точки, в которой вычисляют
i
потенциал ϕ. Если координаты точки, где определяется потенциал ϕ, обозначить (х,у,z), а координаты заряда – (х,у,z) то формулу (2.18) подробно можно записать так
(,,)
xyz
1
=
∑
4
πε
i
xx yy zz
0
−+−+−
q
i
. (2.19)
► Потенциалнепрерывнораспределенныхзарядов.
В случае непрерывного распределения зарядов с плотностью
весь объем разбивают на бесконечно малые элементы
содержащие заряды
V
. К этим зарядам можно применить
i
V
i
формулу (2.18) для потенциала суммы точечных зарядов:
(,,)
Более кратко та же формула записывается следующим образом
где
– расстояние между точкой, где определяется потенциал и
xyz
1 (,,)
=
∫
4
πε
0
V
'
=
4
x y z dx dy dz
ρ
xx yy zz
−+−+−
1 ( ') '
πε
r dV
∫
0
V
'
,
r
(2.20)
точкой объема, по которому производится интегрирование.
- 40 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]