Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Вариант 15
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской форме кубические корни из
комплексного числа .
Вариант 16
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской и алгебраической форме
квадратные корни из комплекс-
ного числа
.
Вариант 17
1. Пусть
Вычислите
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Решите уравнение
.
Вариант 18
1. Пусть
Вычислите
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
4. Решите уравнение
.
Вариант 19
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
Вариант 20
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
81
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской форме кубические корни из
комплексного числа
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской форме кубические корни из
комплексного числа
.
Вариант 21
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Найдите комплексные корни
уравнения
.
Вариант 22
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской форме кубические корни из
комплексного числа
.
Вариант 23
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вариант 24
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
82
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской форме кубические корни из
комплексного числа
.
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской форме кубические корни из
комплексного числа
.
Вариант 25
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть ,
Вычислите
.
4. Найдите комплексные корни
уравнения
.
Вариант 26
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Найдите комплексные корни
уравнения
.
Вариант 27
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть ,
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской и алгебраической форме
квадратные корни из комплекс-
ного числа
.
Вариант 28
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской форме кубические корни из
комплексного числа
83
Вариант 29
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской форме кубические корни из
комплексного числа
.
Вариант 30
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
+
в тригонометрической форме.
3. Пусть ,
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской форме кубические корни из
комплексного числа
.
84
Глава 4. Решение уравнений третьей и четвертой степени
3
0y py q
,pq
0p
3
0yq
q
u
2
uu
sin
3 3 2 2
cos i i
0q
3
0y py
2
0yp
0, 0pq
3
0y py q
3
p
yz
z
2
3 3 0z yz p
0p
0z
22
3 3 0 3 3
3
p
z yz p z p yz y z
z
22
3 3 0 3 3
3
p
z yz p z p yz y z
z
3
p
yz
z
3
0y py q
Решение кубических уравнений
Рассмотрим сначала неполное (или трехчленное) уравнение третьей степени
над полем комплексных чисел:
Случай 1.
. Тогда уравнение примет вид
, где
.
. Для того чтобы ре-
шить это уравнение нужно найти все кубические корни из комплексного числа
. Этот вопрос уже рассмотрен в теме «Извлечение корней из комплексного
числа». Напомним, что в этом случае, найдя одно значение u кубического корня, другие два корня можно записать в виде
ский корень из 1 вида
Случай 2.
решению квадратного уравнения
Случай 3.
. Уравнение примет вид
.
. Покажем, что в этом случае любое решение уравнения
можно представить в виде
и
, где есть кубиче-
.
и его решение сводится к
.
Действительно, рассмотрим уравнение
ся квадратным относительно переменной z и имеет (комплексное) решение при
любом значении переменной y. Поскольку мы рассматриваем случай
. Если z– решение этого квадратного уравнения, то y можно выразить че-
рез переменную z:
Таким образом, достаточно уметь находить z. Чтобы найти z подставим
в уравнение
. Это уравнение являет-
, то
.
и получим
85
3
0
33
pp
z p z q
zz
3
z zp
2
3pz
3
3
27
p
zp
z
2
3pz
3
3
3
00
27
p
q z q
z
3
z
3
63
0
27
p
z qz
3
z
d
3
d
0
d
2
0tt
2
2
4
2 2 4
3
2
0
27
p
t qt
3
zt
6 3 3
1
0
27
z qz p
23
1,2
2 4 27
q q p
t
23
4 27
qp
12
,
22
qq
tt
1
2
q
t
2
, , u u u
13
22
i
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
.
После умножения на
ние является квадратным относительно
, приходим к уравнению
.
Договоримся для комплексного числа d использовать обозначение
и
(в главе комплексные числа мы обозначали его
для того из корней, который имеет наименьший аргумент
). В частности, ес-
ли число d– положительное действительное число, то
метическое значение корня.
Напомним, что корни приведенного квадратного уравнения
можно записать в виде
.
.
. Это уравне-
– ариф-
Поэтому корни квадратного уравнения
подстановки замены
виде
нения символом . Тогда
ни из числа
, получающегося после
в уравнении
. Обозначим дискриминант
, можно записать в
квадратного урав-
. Извлечем кубические кор-
и запишем их в виде
, где
. То-
86
гда корни исходного уравнения, вычисленные по формуле
3
p
yz
z
2
1 2 3
2
, ,
3 3 3
p p p
y u y u y u
u u u
3
1
21
1 2 3
, ,
3 3 3
p p p
y u y u y u
u u u
1
2
q
t
3pu
2
2
q
t
3
12
27
p
tt
3
33
2
3
1
3 27 27
p p p
t
u u t
1 2 3
,,y y y
1
t
2
t
1
u
2
t
1
3pu
1
t
1
1
33
pp
uu
uu
3
p
yz
z
2
2
q
t
2
1 1 1
, , u u u
2
t
4 1 5 1 6 1
1 1 1
, ,
3 3 3
p p p
y u y u y u
u u u
1 2 3
, , y y y
1 2 3
, , y y y
, запишут-
ся в виде
Поскольку
, то
и можно переписать корни в виде
.
Заметим, что если u есть корень кубический из числа
есть кубический корень из числа
реме Виета
, поэтому
Поэтому каждый из корней
есть сумма кубического корня из
. В самом деле, по тео-
.
, то
.
числа
Наоборот, если
корень из числа
и соответствующего кубического корня из числа
есть кубический корень из числа
. Кроме того, если
Отсюда следует, что если выписать решения
уравнения, используя для корень
из числа
, то три соответствующих корня для исходного уравне-
ния
.
, то
есть кубический
.
неполного кубического
и три кубических корня
совпадут с корнями
.
Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только корни
.
87
Общие формулы
3
0y py q
1
y
23
3
1
, ,
2 4 27 3
q q p p
u v y u v
u
23
3
2 4 27
q q p
23
2 4 27
q q p
2
y
2
1 3 1 3
3 2 2 2 2
p
y u u i i v
u
2
13
( ) ( )
22
y u v i u v
3
y
2
3
2
1 3 1 3
3 2 2 2 2
p
y u u v i u i v
u
3
13
( ) ( )
22
y u v i u v
0p
0q
3
0y py q
Имеется уравнение
. Находим корни последующим формулам,
приведенным ниже в рамке. Для корня
Замечание. Вместо корня
ческого корня из числа
имеем
можно взять другое значение куби-
. Для корня
или, в другой форме,
.
имеем:
.
Для корня
или, в другой форме,
имеем:
.
Приведенные формулы и их разновидности, приведенные ниже, назовем формулами Тартальи-Кардано.
Частный случай. Кратные корни
Напомним, что если
или
, то уравнение
можно решить
без применения рассмотренных выше формул. Поэтому будем считать, что
88
0, 0pq
. Обозначим выражение
23
4 27
qp
0
2 3 2 3
00
4 27 4 27
q p q p
3
2
427p
q
3
3
2
3
3
1 1 3
2 2 2
4
2
27
qq
u q q
qp
p
3
0
2
q
up
vu
3
p
vu
2
2
2
2
39
3 3 3
3 2 4
p q q
v u u u p p p
u p p
2 2 3
3
27
00
4 4 27
q q p
p
1
32q
y u v u
p
2
13
( ) ( ) ,
22
y u v i u v u
3
13
( ) ( )
22
y u v i u v u
23
1
1 2 3
3
0 , , где
2 4 27
y
q q p
y y y
p
3
4 16
0
3 27
yy
4 16
,
3 27
pq
2 3 2 3
23
16 4
0
4 27 4 27 27 3
qp
символом . Рассмотрим случай
. Имеем:
Покажем, что
. Действительно,
. Ясно, что
и
. Поэтому
.
и
.
Значит,
Окончательно получаем
Пример 1. Решим уравнение
которого
. Поэтому
,
.
.
. Имеем неполное уравнение, для
89
и
1
16
3
34
27
4
3
3
q
y
p
23
42
2 3 3
yy
42
,
33
y
3
768 8192 0yy
768, 8192pq
8
768 3 256 3 2p
13
8192 2q
23
13 8
23
2 3 2
4 27 4 27
qp
24 24
2 2 0
13
5
1
8
3 3 2
2 32
32
q
y
p
2
23
16
2
y
yy
32, 16y
32
0Ax Bx Cx D
, , ,A B C D
32
0x bx cx d
xy
32
0y b y c y d
3 2 2 3 2
3 3 2 0b y b c y b c dy
,
. Ответ:
.
Пример 2. Решим уравнение
для которого
тели числа
Значит,
Ответ:
.
Сведение полного уравнения к трехчленному уравнению
. Имеем неполное уравнение,
. Разложив предварительно на простые множи-
и
, получаем
.
,
.
Рассмотрим общее уравнение третьей степени над полем комплексных чисел:
, где
.
Будем считать, что старший коэффициент не равен нулю (иначе это будет квадратное или даже линейное уравнение, а такие уравнения мы решать умеем). Тогда можно разделить на старший коэффициент обе части уравнения и получить
следующее приведенное уравнение:
. Сделаем подстановку
и преобразуем получившееся уравнение:
,
.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]