Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
искать корни этого уравнения. Если ограничиться действительными корнями,
,ab
,M a b
OM
M
то можно лишь утверждать, что их не больше, чем . Если же считать допусти-
мыми и комплексные решения, то получается следующий ответ на поставлен-
ный вопрос: любое алгебраическое уравнение степени
корней (действительных или комплексных) с учетом их кратности.
После появления наглядного геометрического изображения комплексных чисел
с помощью точек плоскости и векторов на плоскости стало возможным сводить
к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания,
особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии.
С этого времени существование «мнимых», или комплексных, чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и
числа действительные. К настоящему времени изучение комплексных чисел
развилось в важнейший раздел современной математики – теорию функций
комплексного переменного.
имеет ровно
Радиус-вектор комплексного числа.
Геометрическая интерпретация сложения
Комплексному числу
плоскости, соответствует вектор
(рис. 2). Этот вектор, как нетрудно увидеть, имеет те же координаты, что и точ-
ка
:
, изображаемому точкой
, называемый радиус-вектором этой точки
.
на комплексной
61
Рис. 2
Пусть комплексные числа
1 1 1
,z a b
2 2 2
,z a b
1 2 1 2 1 2
,z z a a b b
Рис. 3
𝑎 𝑏𝑖
𝑏
𝑎
𝑅𝑒
𝐼𝑚
𝑂
𝑀
𝑧
𝑧
𝑧
𝑅𝑒
𝐼𝑚
𝑧
и
представлены радиус-
векторами, тогда сумме
будет соответствовать сумма их
радиус-векторов (рис. 3). Результат суммирования комплексных чисел, как мы
видим, имеет простую геометрическую интерпретацию: сложению комплексных чисел соответствует сложение соответствующих им радиус-векторов.
Модуль и аргумент комплексного числа
Для того чтобы иметь геометрическую интерпретацию операции умножения
комплексных чисел, удобно рассматривать на комплексной плоскости также
полярную систему координат. В полярной системе координатами точки являются
расстояние до начала координат и
62
угол, отсчитываемый от положительного направления оси x до радиус-
Рис. 4
𝑧
𝑅𝑒
𝐼𝑚
𝑎𝑟𝑔𝑧
𝑧
𝑅𝑒𝑧
𝐼𝑚𝑧
вектора точки z (рис. 4) .
При этом положительные углы это углы, соответствующие движению против
часовой стрелки. На рис. 4 указан положительный угол.
Как нетрудно видеть на рис. 4,
. Если число является
действительным числом, то длина радиус-вектора точки совпадает с абсолют-
ной величиной этого действительного числа, обозначаемого
и называемого
модулем этого числа. Поэтому и в случае комплексного числа длина радиус
вектора называется модулем этого комплексного числа и обозначается
Угол радиус-вектора точки, соответствующей комплексному числу, называется аргументом числа и обозначается
.
Для комплексного нуля значение аргумента не определено.
Для ненулевого числа аргумент определяется с точностью до слагаемого
где— любое целое число.
Замечания
Аргумент комплексного числа будет определен однозначно, если значение
63
аргумента выбрать в полуинтервале
1.𝑥 𝑦
2.
𝑦𝑥
𝑦 𝑥
4.
𝑥 𝑦
5.
𝑥 𝑦
. Его обозначают .
Пусть , причем выполнены условия: , ,
Выбрав для точки
на единичной окружности значе-
ния угла , получим тригонометрическую запись числа .
В частности, если
число записано в тригонометрической форме и при этом
и , то
.
Если и , , то это не тригонометрическая
форма записи.
Для того чтобы было легче находить тригонометрическую форму комплексного
числа вида , рассмотрим следующий чертеж.
На единичной окружности, изображенной выше, нетрудно увидеть, что для
точки с номером 1 имеем . Для точек с номерами 1, 2, 3, 4
тогда можно записать:
1.
64
2.
;
3.
4.
;
.
Задача. Дополните чертеж и докажите, что
;
;
;
5.
6.
7.
8.
Пример 1. Найдем тригонометрическую форму числа
разим на комплексной плоскости точку
ет угол или
с положительным направлением оси (сделайте чертеж и
, радиус-вектор которой образу-
. Изоб-
убедитесь в этом!). Расстояние от этой точки до начала координат вычисляем
по теореме Пифагора, оно равно
. Поэтому
.
Пример 2. Найдем тригонометрическую форму числа :
. Поэтому
.
Пример 3. Найдем тригонометрическую форму числа .
Ясно, что
. Поскольку
, то нужно рас-
смотреть два случая.
1. Если
, то
. Нужно
теперь записать число , находящееся на единичной окруж-
ности, в тригонометрической форме (точка 7):
65
arctg , .
arctg arctg , .
arg
arctg , .
2 arctg 2 arctg , .
b
если z I четв
a
bb
если z II четв
aa
z
b
если z III четв
a
bb
если z IV четв
aa
Получаем
.
или
2. Если
, то
.
.
Нужно теперь записать число , находящееся на единичной
окружности, в тригонометрической форме (точка 3):
Получаем
.
. Окончательно имеем:
.
Формулы для вычисления
Если и , то
66
Применение комплексных чисел в геометрии
Геометрическое применение комплексных чисел связано с тем, что комплексному числу соответствует как точка на плоскости, так и радиус-вектор этой
точки. В частности, скалярное произведение векторов на плоскости можно записать с помощью операций с комплексными числами. Точнее, справедливо
следующее утверждение.
Утверждение. Если
и
есть удвоенное скалярное произведение векторов
Доказательство. Поскольку
.
и
– комплексные числа, то
.
, то
С другой стороны,
+
Утверждение доказано.
и
, то есть
Следствие. Если , то равенство
вид или, по-другому,
, то есть
принимает
Задача. Пусть около треугольника описана окружность радиуса с цен-
тром в точке , точка симметрична точке относительно прямой . Докажите равенство:
(рис. 5).
67
.
𝐴
𝑂
𝐷
𝐶
𝐵
𝑅
Рис. 5
𝑅
𝑅
Доказательство. Примем точку за начало координат. Точке соответствует
комплексное число , то есть . Точке соответствует комплексное чис-
ло , точке соответствует комплексное число , точке соответствует комплексное число . По следствию, приведенному выше,
. Здесь есть число, комплексно сопряженное с чис-
лом . Поскольку точка симметрична точке относительно прямой , то
– ромб и
,
.
Если, как обычно,
– модуль комплексного числа
, то
.
Аналогично
Преобразуем левую часть равенства
.
68
1 2 1 2 1 2
cos( ) cos cos sin sin
1 2 1 2 1 2
sin( ) cos sin sin cos
1 2 1 2 1 2 1 2
cos sinz z rr i
1 2 1 1 1 2 2 2
cos sin cos sinz z r i r i
Преобразуем правую часть доказываемого равенства.
.
Поскольку , имеем
.
Сравнивая выражения, полученные для правой и левой части равенства, видим,
что они равны.
Действия с комплексными числами в
тригонометрической форме
Используя формулы
и
,
выведем формулу для умножения комплексных чисел в тригонометрической
форме:
. Действительно,
69
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
cos sin
cos cos sin sin cos sin sin cosrr i
1 2 1 2 1 2
cos sinrr i
1 2 1 2 1 2
cos sinrr i
12
zz
1 2 1 2
z z z z
11
cos sinz r i
11
(cos( ) sin( )) 1z z rr i
1
11
1 2 1 2 1 2
22
cos sin
zr
z z i
zr
1
1
22
z
z
zz
.
По замечанию, приведенному относительно тригонометрической формы ком-
плексного числа, видим, что
рическая форма числа
. Получаем следующий вывод: при умножении
есть тригономет-
комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складывают-
ся. В частности, отсюда немедленно следует, что
Ясно, что
, поскольку нетрудно видеть, что
.
. Поэтому
.
Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычи-
таются. В частности, отсюда немедленно следует, что
.
Геометрическая интерпретация
Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу
второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного
представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]