Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Индукционный переход: предположим, что неравенство
проверим, что неравенство
также верно.
верно и
Для этого представим число
в виде:
Тогда имеем:
Выбирая в каждой скобке слагаемое
слагаемое вида
Выбирая в первой скобке выбрать слагаемое
гаемое
, после раскрытия скобок получим слагаемое вида
.
.
, после раскрытия скобок получим
, а в остальных скобках сла-
Такое же слагаемое получится, если во второй скобке выбрать слагаемое
, а в остальных скобках выбрать
.
.
.
Итого будем иметь одинаковых слагаемых, сумму которых мож-
но записать в виде:
.
Кроме того, в сумме будут и другие слагаемые. Нам важно лишь, что все
они положительны. Итак,
.
Используем предположение индукции
и получим
Индукционный переход доказан.
21
5. Докажите, что для любого натурального справедливо неравенство
.
6. Докажите, что для любого натурального справедливо двойное нера-
венство:
7. Докажите, что
8. Докажите, что
Указание. Докажите сначала, что
.
.
, .
.
9. Докажите, что если и , то
10. Докажите, что
11. Докажите, что +
.
, , если .
для любого натурального и не-
отрицательных чисел и .
Решение. Очевидно, что в случае, если одно из чисел равно нулю, неравенство
верно. Поскольку +
, будем до-
казывать последнее неравенство. Если , то неравенство верно. Рассмотрим
теперь случай, когда оба числа положительны и . Докажем по индукции,
что если символом обозначено большее из чисел , то есть если , то
для любого натурального .
Для случая утверждение верно. Пусть утверждение
кажем, что верно утверждение
неравенства на положительное число , получим
. В самом деле, умножив обе части
верно. До-
. Умножив
обе части неравенства на положительное число , получим
. Тогда
для всех натуральных чисел . Поэтому
или
. Таким образом, имеем
>0.
22
Неравенство задачи доказано.
12. Докажите, что
для любого натурального
>1 и неотрицательных чисел и .
Указание. Используйте задачу 11.
13. На сколько частей делят плоскость прямых, никакие две из которых не
параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.
14. Докажите, что любую сумму денег, большую семи копеек, можно упла-
тить без сдачи, используя только трех- и пятикопеечные монеты.
15. Плоскость разбита на части прямыми. Докажите, что ее можно закра-
сить черной и белой краской так, что любые две части, имеющие общую
сторону, будут окрашены в разный цвет (такая раскраска называется правильной).
16. Докажите, что любой из квадратов, размеров , , , …,
, из которого вырезан угловой квадратик , можно разрезать
на квадратики размера без угловой клетки.
23
Глава 2. Теория делимости
Отметим, что операция умножения выполнима для любых натуральных чисел,
а операцию деления можно выполнить не всегда. Число 6 можно разделить на 3
и получить частное 2, являющееся натуральным числом, и нельзя подобрать
натуральное число так, чтобы , или, по-другому, число 6 нельзя разде-
лить (нацело) на число 4. Мы рассмотрим в этой главе вопросы, связанные с
делением, когда
одно натуральное или целое число делится нацело на другое;
можно осуществить такое деление не нацело, а с так называемым остат-
ком. Деление нацело является при этом частным случаем деления с
остатком (остаток просто равен нулю).
Отметим, что деление с остатком мы выполняем в повседневной жизни, когда
выясняем, например, какое максимальное количество карандашей можно купить, имея 200 рублей, если карандаш стоит 15 рублей. Задачи подобного рода
предлагаются и на итоговых экзаменах по математике.
Делимость натуральных чисел
Определение. Если для натуральных чисел и существует такое натуральное
число , что , то говорят, что число делится нацело на число или что
делит. Число называют делителем числа, делимое называют крат-
ным числа , а число называют частным от деления числа на число .
Говорят также, что на множестве натуральных чисел задано отношение дели-
мости, то есть для любых натуральных чисел и либо делится на , либо
не делится на .
Обозначения. Запись означает, что число делится на число .
24
Запись означает, что делит или, по-другому, есть делитель.
Свойства делимости натуральных чисел
1. Любое натуральное число делится на единицу: .
2. Единица делится только на единицу: .
3. Если число меньше числа, то не делится на число.
4. Если , …, , то
Действительно, , аналогично
.
.
, то есть
, поэтому
5. Если числа и делятся на , то числа + , делятся
на число .
6. Если одно из чисел суммы двух чисел делится на число , а другое не де-
лится на, то сумма не делится на число.
7. Отношение делимости
рефлексивно, то есть или любое натуральное число делится на себя
же; действительно, ;
транзитивно, то есть если и , то ;
действительно, поскольку
; то и поэтому ;
не является симметричным (отсутствует симметричность): если,
то необязательно ; например, является верным утверждением,
но утверждение не является верным;
антисимметрично, то есть если и , то действительно,
.
Тем самым свойство делимости является отношением нестрогого порядка,
то есть обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.
25
Связанные определения
У каждого натурального числа, большего единицы, имеется, по крайней ме-
ре, два натуральных делителя: единица и само это число. При этом натуральные числа, имеющие ровно два делителя, называются простыми, а числа, имеющие больше двух делителей, – составными. Единица имеет ровно
один делитель и не является ни простым, ни составным.
У каждого натурального числа, большего 1, имеется хотя бы один простой
делитель.
Примеры составных чисел
1. Число 2727 составное, поскольку
.
2. Число 9991 составное, поскольку
9991=
.
3. Число является составным для любого натурального числа . Дей-
ствительно,
4. Проверьте, что если число – составное, то число
.
– также
составное.
Делимость целых чисел
Определение. Если для целых чисел и существует такое целое число , что
, то говорят, что число делится нацело на число или что делит.
При этом число называют делителем числа, делимое называют кратным
числа, а число называют частным от деления на. Обозначения такие же,
как и для натуральных чисел, в частности, означает, что число делится
на число.
Свойства делимости целых чисел несколько отличаются от свойств делимости
натуральных чисел.
26
Свойства делимости целых чисел
1. (Отличие от натуральных чисел.) Ноль делится на любое целое число и
частное равно нулю: .
2. (Отличие от натуральных чисел.) На ноль делится только ноль:
, причем частное в этом случае не определено.
3. Любое целое число делится на единицу: .
4. (Отличие от натуральных чисел.) Единица делится только на единицу
или единицу со знаком минус:
=
.
5. (Отличие от натуральных чисел.)
Если меньшее по модулю целое число делится на большее по модулю целое
число, то меньшее число есть 0.
Действительно, пусть и
, то меньшее натуральное число разделилось на большее натураль-
<
, тогда и
=
. Если
ное число, что невозможно по свойствам делимости натуральных чисел. Поэтому
6. Если , …, , то
Действительно, , аналогично
.
.
, то есть
, поэтому
7. Если числа и делятся на , то числа + , делятся на
число .
Отношение делимости целых чисел
рефлексивно, то есть или любое натуральное число делится на
себя же; действительно, ;
транзитивно, то есть, если и , то ;
действительно, поскольку
;
то и поэтому ;
27
не является симметричным (отсутствует симметричность):
если, то необязательно ;
например, является верным утверждением, но утверждение не
является верным;
(отличие от натуральных чисел) нет антисимметричности, т.е.
и , не верно, что .
Действительно,
.
Деление натуральных чисел с остатком
Деление с остатком производят только на число, отличное от нуля.
Определение. Говорят, что натуральное число разделено с остатком на нату-
ральное число, если представлено в виде: , где каждое из чисел
либо натуральное, либо равно 0 и при этом .При этом числа и
называются неполным частным и остатком соответственно.
Замечание. Условие можно заменить условием , по-
скольку и – натуральные числа.
Пример. Деление числа 2 на число 3 с остатком выглядит так:
Остаток удовлетворяет требуемому неравенству .
Теорема (о возможности и однозначности деления натуральных чисел с
остатком). Всякое натуральное число можно разделить на натуральное число
с остатком. При этом числа и определяются однозначно.
.
Доказательство. Индукцией по числу докажем существование непол-
ного частного и остатка.
28
Для числа утверждение верно, поскольку если , то
. Если , то и .
Предположим теперь, что число можно разделить с остатком на
число , то есть можно представить в виде . Покажем,
что можно разделить с остатком на число . Действительно,
. Если , то – остаток, и все доказано. В про-
тивном случае, , но тогда
Возможность деления доказана.
Проверим единственность деления с остатком.
Пусть есть два представления:
1) и ;
2) и .
Если , то пусть символом
выполняется неравенство . Тогда
обозначен больший из двух остатков, то есть
Но число есть натуральное число, меньшее, чем , или 0. Мень-
шее натуральное число
ло . Поэтому . Но тогда
не может делиться на большее натуральное чис-
. Поскольку то
.
или
. Единственность доказана.
Деление целых чисел с остатком
Деление целых чисел с остатком также производят только на число, отличное
от нуля.
Определение. Говорят, что целое число разделено с остатком на целое
ло, если представлено в виде: , где и число удовле-
творяет неравенству: ( ).
29
При этом числа и называются неполным частным и остатком соответ-
ственно.
Замечание. Если целое число разделилось на целое число нацело (то есть с
остатком 0) и при этом
, то .
Теорема (о делении целых чисел с остатком).
Всякое целое число можно разделить на целое число с остатком.
При этом числа и определены однозначно.
Доказательство. Для доказательства возможности деления с остатком
рассмотрим различные случаи.
Случай 1. Число – натуральное. В этом случае разделим на натураль-
ное число
с остатком и получим , где <
. Поскольку
равен или , то искомое представление имеет вид , где
.
Случай 2. , тогда искомое представление имеет вид
Случай 3. Число – отрицательное целое, тогда есть натуральное
число и по случаю 1 можно разделить число на целое число с остатком:
= , <
.
Значит, .
Если , то искомое представление получено. Если то
, то есть число
можно считать остатком, и тогда имеем
.
.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]