Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Поскольку
, то
Искомое представление получено.
Замечание.
.
Единственность. Пусть есть два различных представления
.
1) и
2) и
Тогда
лое число, меньшее чем
. Поэтому, по замечанию, приведенному выше, оно
может делиться на , как это требуется для равенства
только в случае, если . Но тогда
то или
. Единственность доказана.
;
.
. Но число
. Поскольку
есть це-
Наибольший общий делитель натуральных чисел
Определения.
1. Натуральное число называется общим делителем натуральных чисел
, если является делителем каждого из этих чисел.
2. Общий делитель называется наибольшим общим делителем натураль-
ных чисел , если делится на любой общий делитель этих
чисел.
Из определения не ясно, существует ли наибольший общий делитель ( ) и
является ли он единственным. Общих делителей может быть несколько, поэтому можно говорить о множестве общих делителей. Для множества всех общих
делителей чисел и мы будем использовать обозначение:
– мно-
жество общих делителей чисел , то есть
31
.
В следующих случаях существует и легко вычисляется.
Примеры
Если , то наибольший общий делитель
существует и ра-
вен .
Если , то наибольший общий делитель
существует и равен
.
Наибольший общий делитель натуральных чисел определен однозначно.
Докажем это.
Утверждение. Наибольший общий делитель натуральных чисел и опреде-
лен однозначно.
Действительно, если и
— два наибольших общих делителя натуральных
чисел, то они являются и общими делителями, поэтому делятся друг на друга.
Значит, справедливы равенства и , причем . Перемножив эти равенства, будем иметь , поэтому
, что и требовалось доказать.
Нашей ближайшей задачей будет научиться находить наибольший общий дели-
тель двух чисел и . Кроме того, мы будем записывать его в виде
(линейной) комбинации этих чисел.
Докажем сначала следующий вспомогательный факт (лемму).
Лемма. Если в результате деления натурального числа на натуральное число
с остатком получено , где , то
.
Действительно, из равенства видно, что любой общий делитель чисел и является общим делителем чисел и .
32
Наоборот, поскольку , то любой общий делитель чисел и является общим делителем чисел и . Поэтому множество общих делителей чисел
и совпадает с множеством общих делителей чисел и , то есть
.
Следствие. Если , где и существует
существует и
Для нахождения
используют алгоритм Евклида.
.
Алгоритм Евклида
Из определения наибольшего общего делителя следует, что
. Поэтому можно считать, что .
Алгоритм Евклида состоит из следующих шагов.
Разделим число на число с остатком: . Если , то
, то
. Если же , то разделим число на число
, где
.
Продолжая дальше подобным образом, разделим остаток на остаток
) с остатком и получим новый остаток ,
. Поскольку величи-
с остатком:
(если
ны остатков строго убывают, являясь натуральными числами, то в некоторый
момент очередной остаток (впервые) обратится в 0. Пусть это остаток
есть
. Имеем последовательность равенств:
, то
33
Докажем, что существует и , где
ненулевой остаток в алгоритме Евклида.
– последний
Действительно, по лемме
. Но
, и поэтому
(смотри пример
нахождения Н.О.Д. для случая , рассмотренный выше). Значит, по следствию из леммы, существует
.
и при этом
Линейное выражение Н.О.Д. двух чисел через исходные числа
Пусть имеются три целочисленные переменные величины . Будем говорить, что выражается линейно через переменные и с целыми коэффициентами и , если можно представить в виде .
Покажем, что наибольший общий делитель чисел и можно выразить линейно через эти числа, то есть для некоторых целых чисел и справедливо равенство .
Заметим сначала, что если выражается линейно через переменные и с целыми коэффициентами, а величины и выражаются линейно через переменные и с целыми коэффициентами, то величина выражается линейно через переменные и
с целыми коэффициентами. Проиллюстрируем это на
числовом примере.
Пусть
Мы видим, что выражается линейно через переменные и
. Тогда
.
с целыми ко-
эффициентами.
Проверим теперь, что любой остаток в алгоритме Евклида для нахождения вы-
ражается линейно через числа и .
34
Действительно,
1
1
2
2
3
3
60
1008
16
60
408
360
48
60
1
48
12
48
4
48
0
b
q
r
q
r
q
r
, то есть первый остаток выразился
линейно через числа и . Для второго остатка имеем
. Поэтому
, то есть снова
имеем линейное выражение.
Кроме того, поскольку
то остаток
(начиная с номера ) выражается линейно через два преды-
,
дущих остатка, которые также выражаются линейно через числа и . Таким
образом, спускаясь вниз по формулам алгоритма Евклида, получим линейное
выражение для последнего ненулевого остатка, который и есть
.
Применим описанный способ вычислений на примере.
Пример. Вычислим
. Выполним последовательно «деления
уголком»:
Итак, . Найдем линейное выражение для наиболь-
шего общего делителя. В результаты деления с остатком в алгоритме Евклида
будем подставлять числовое значение частного
, а остальные переменные
оставлять в виде символов:
35
;
.
Окончательно имеем: .
Замечание. Понятие наибольшего общего делителя можно определить и для
целых чисел. В этом случае если наибольший общий делитель, то число
также является наибольшим общим делителем. Более того, любые два
наибольших делителя отличаются друг от друга только знаком. Наибольший
общий делитель можно также находить по алгоритму Евклида, и он выражается
линейно с целочисленными коэффициентами через исходные числа. Мы будем
использовать обозначение
для положительного наибольшего де-
лителя целых чисел.
Взаимно простые числа
Определение. Целые числа и называются взаимно простыми, если 1 яв-
ляется их наибольшим общим делителем (при этом также является их
наибольшим общим делителем).
Следствие 1 из алгоритма Евклида (критерий взаимной простоты).
Целые числа и взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие целые числа и , что .
Доказательство. Выше доказано, что существуют такие целые числа
и , что . Пусть и взаимно просты, тогда
, и все доказано.
С другой стороны, если существуют такие целые числа и , что ,
то любой общий делитель чисел и должен быть также делителем 1. Значит,
и наибольший общий делитель должен быть также делителем 1 и может быть
равен только 1 или Поэтому числа и взаимно просты.
36
Определение. Натуральное число, отличное от единицы, называется про-
стым, если оно делится (нацело) только на себя и на единицу.
Замечание. Если одно простое число делится на другое простое число, то они
равны.
Следствие 2 (делимость произведения на простое число). Если произведение
нескольких целых чисел делится на простое число, то хотя бы одно из них делится на это простое число.
Доказательство. Проверим утверждение следствия для двух сомножителей.
Пусть − простое число и . Если , то все доказано. Рассмотрим случай, когда не является делителем .
Поскольку число – простое и общим делителем чисел и может быть только число 1 или , то . Отсюда следует, что существуют такие
целые числа и , что . Умножив последнее равенство на число ,
получаем . Поскольку , то из делимости обоих слагаемых
левой части равенства на число следует, что , и все доказано.
Пусть утверждение следствия доказано для сомножителей. Проверим спра-
ведливость утверждения для
Если
, то все доказано. В противном случае не делит
чае, как мы показали выше,
го сомножителя. Пусть
. В этом слу-
. Предположение индукции позволяет
.
утверждать, что для некоторого номера .
Основная теорема арифметики
В школьной программе изучается разложение натуральных чисел на простые
сомножители, однако не рассматривается вопрос о возможности и единственности такого разложения. Возможность и единственность разложения устанавливается в следующей теореме, которую обычно называют основной теоремой
арифметики.
37
Теорема (основная теорема арифметики). Всякое натуральное число , от-
личное от единицы, представимо в виде произведения простых сомножите-
лей. Это представление единственно с точностью до перестановки простых
сомножителей (произведение может содержать один сомножитель).
Доказательство. Пусть . Доказательство будем вести индукцией по .
Если , то теорема верна и в разложении имеется один простой сомножитель. Пусть утверждение доказано для натуральных чисел, не меньших, чем ,
но меньших , то есть . Докажем справедливость утверждения теоремы для случая . Если – простое число, то все доказано:
произведение в этом случае состоит из одного сомножителя и
представление единственно в силу того, что простое число, делящее другое
простое число, равно ему.
Если – не простое число, то , причем справедливы неравенства
,. По предположению индукции числа и можно представить в виде произведения простых чисел и тем самым представить число в
нужном виде.
Единственность. Пусть имеется два разложения числа на простые сомножи-
тели: и . Пусть соответствует разложению с
меньшим числом сомножителей, то есть . Тогда
.
Индукция по числу .
База индукции. Если , то доказываемое утверждение примет вид
.
Если , то все доказано. Пусть . Произведение
простое число . Поэтому одно из чисел произведения
делится на
38
делится на
простое число
и, значит, ему равно. Перенумеруем сомножители в правой
части равенства так, чтобы это число стало первым в произведении. Тогда
можно считать, что
. Сократив равенство
на сомножитель
, имеем
следующее.
Если , то , что невозможно.
Для будем иметь: . Поскольку
– простые чис-
ла, это также невозможно.
Значит , то есть сомножители
в равенстве
отсутствуют.
Индукционный шаг. Пусть единственность разложения установлена для всех
случаев, когда число сомножителей в левой части равенства меньше или
равно числу . Докажем единственность для +1 сомножителя в левой части
равенства. Из равенства
следует, что какое-то из чисел произведения
делится на . Перенумеровав, если нужно числа , будем
считать, что это число
Поскольку оба числа и – простые, то
Сократив его на множитель , получим:
.
, и мы имеем равенство
.
. Число
сомножителей в левой части уменьшилось и можно применить предположение
индукции. По предположению индукции получаем, что +1 , а левая и правая часть равенства
отличаются только перестановкой
сомножителей.
Следствие. Любое натуральное число , отличное от единицы, можно единственным образом представить в виде
– простые числа.
, где
и
Такая запись называется каноническим разложением числа .
39
Решение задач на делимость
Задача 1. Пусть – натуральное число, большее 2. Докажите, что между чис-
лами и содержится, по крайней мере, одно простое число. Покажите, что
отсюда следует бесконечность множества простых чисел.
Решение. По условию задачи , поэтому целое число больше 1.
Если оно простое, то, поскольку
при , число находится между числами и , и все
доказано.
Если число не простое, то оно имеет, по меньшей мере, один простой делитель для которого .
Если допустить, что при этом , то – делитель произведения и
делитель числа . Поэтому – делитель их разности , что невозможно, поскольку . Следовательно, и .
Если бы простых чисел было конечное число, то все они были бы меньше само-
го большого простого числа
дачи: существует хотя бы одно простое число, больше чем
, что противоречит первому утверждению за-
.
Задача 2. Докажите, что число
! не делится на число только в том
случае, когда − простое или .
Решение.
1. Если − простое, то числа и
! взаимно просты. Поэтому
делится на число .
2. Пусть теперь составное число. Возможны следующие случаи.
а. Число не является степенью простого числа. Тогда в разложении
имеется, по крайней мере, два разных простых сомножителя.
40
! не
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]