Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Нужно теперь научиться складывать и умножать новые числа. Желательно при
этом, чтобы действительные числа, являющиеся частью множества новых чисел, складывались и умножались так же, как и раньше.
Сложение и умножение определим так:
Например,
.
.
Заметим, что действительные числа складываются и умножаются так:
, которое теперь следовало бы записать в виде
имеет решение. А именно, если , то
этому, как нетрудно видеть,
является решением этого уравнения.
. Кроме того, уравнение
, и по-
Убедимся, что новые операции обладают свойствами, к которым мы привыкли
при обращении с действительными числами.
1. Для любого комплексного числа верно равенство , то есть
,
число
играет такую же роль, как число ноль для действительных
чисел.
2. Операция сложения коммутативна, то есть при сложении неважно, какое
слагаемое записано первым, а какое вторым, результат будет один и тот
же:
.
3. Операция сложения ассоциативна, то есть при сложении трех слагаемых
неважно, какое из сложений выполнять сначала (неважен порядок выполнения двух сложений):
4. Операция умножения коммутативна:
5. Операция умножения ассоциативна:
6. Справедлив закон дистрибутивности:
.
.
.
.
51
Проверим, например, свойство 6. Пусть
. То-
гда
, и левая часть равенства 6 примет вид:
Для правой части равенства 6 имеем:
Очевидно, что число, полученное в результате вычисления левой части равенства, совпадает с числом, полученным в результате вычисления правой части, и
свойство 6 доказано.
Перечисленные свойства позволяют, например, пользоваться формулой сокра-
щенного умножения:
Задача. Докажите справедливость равенства
.
.
Замечание. Если операция умножения не коммутативна, как это бывает,
например, при умножении матриц, то указанная формула умножения может
быть записана только в виде
.
Переход к алгебраической форме записи комплексного числа
Для того чтобы привычнее было работать с комплексными числами, будем записывать их в так называемой алгебраической форме. Для этого вычислим
комплексное число вида
.
52
Нетрудно видеть, что
разом, любое комплексное число
можно записать в виде
. Таким об-
Поскольку числа
тельным числам, мы можем записать их в виде и . Число
.
и
складываются и умножаются подобно действи-
обозначим
символом и будем называть мнимой (или комплексной) единицей. Мы приходим к более удобной записи произвольного комплексного числа:
. Это представление называется алгебраической записью ком-
плексного числа.
При сложении и умножении комплексных чисел в алгебраической форме можно просто производить обычные вычисления с буквенными выражениями, учи-
тывая, что . Кроме того, полезно знать, что
Задача. Сформулируйте правило для вычисления степени
.
Пусть — комплексное число, записанное в алгебраической форме,
где и — вещественные числа. Числа и называются соответственно ве-
щественной и мнимой (англ. real, imaginary) частями и обозначаются
и .
Если , то число называется мнимым или чисто мнимым числом.
Если , то число является действительным (вещественным).
Вещественные числа на комплексной плоскости занимают горизонтальную ось,
мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине
горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной
и мнимой осями.
Ясно, что равенство имеет место тогда и только тогда, когда
они задают одну и ту же точку на комплексной плоскости, то есть
53
или
.
Таким образом, два комплексных числа, записанных в алгебраической
форме, равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Этот факт часто используется при решении уравнений, содержа-
щих комплексные числа в алгебраической форме.
Пример. Решим уравнение
.
Запишем число в алгебраической форме: . Тогда уравнение примет
вид:
. Раскрыв скобки и приведя подобные
слагаемые, получим уравнение . Приравняв
действительные и мнимые части чисел, стоящих в левой и правой части равенства, получим систему уравнений
.
Сложив уравнения системы, получим , откуда . Затем получаем 1, то есть .
Существование и единственность комплексного
числа, обратного к данному числу
Пусть дано комплексное число , отличное от нуля, то есть
. Покажем, что существует единственное комплексное число
, для
которого . Число называется обратным к числу и обозначается
. Действительно, пусть . Тогда
. Комплексные числа равны тогда и только тогда,
когда равны их действительные и мнимые части, то есть и
. Получаем систему уравнений
.
54
Умножим первое уравнение системы на , а второе — на число . Получим
систему уравнений
. Сложим первое и второе уравнение и
получим
. Поскольку , то
.
Если мы умножим первое уравнение системы на , а второе — на число, то
получим
. Сложим первое и второе уравнение и получим
, откуда
. Отсюда следует, что если обратное число
существует, то оно определено однозначно. Проверка показывает, что найден-
ное нами число
является обратным для ненулевого числа .
Итак, обратное комплексное число для числа, отличного от нуля, существует и
при этом только одно. Оно имеет вид
.
Замечание. На практике для вычисления числа, обратного к данному комплексному числу, пользуются умножением числителя и знаменателя на сопряженное комплексное число. При этом сопряженным числом к числу
называется число . Оно обозначается символом , то есть
.
Пример. Вычислим для комплексного числа :
.
Вычисление корней в алгебраической форме
Из комплексного числа можно извлекать квадратные, кубические и т.д. корни.
Задача. Вычислите корни четвертой степени из числа .
Способ 1. Для вычисления корней четвертой степени из числа можно
55
сначала извлечь квадратный корень, а затем снова извлечь квадратный корень.
Пусть и
. Тогда . При-
равняв действительные и мнимые части чисел, стоящих в правой и левой частях
равенства, получим систему уравнений:
. Решаем ее. Поскольку
(это видно из второго уравнения системы), то
Ясно, что тогда
Затем извлекаем квадратный корень из числа :
Решаем систему уравнений
Поскольку (это видно из второго уравнения системы), то
.
Таким образом, , поэтому имеем корни
:
: и
. Еще два корня получатся после извлечения корней из числа
. Итак, имеется четыре корня степени 4 из числа
.
56
Замечание. Для вычисления корней из числа можно воспользоваться
1)
;
2)
;
3)
;
4) ;
5)
;
6)
.
свойствами комплексного сопряжения. Справедливы следующие свойства:
В частности, равенство
означает, что если есть корень из числа ,
то есть корень из числа . Поэтому, например, поскольку
.
, то
Способ 2. Мы приводим этот способ для того, чтобы научиться решать так
называемые возвратные уравнения.
Замечание. Примером возвратного уравнения является уравнение вида
. Оно называется так потому, что коэффи-
циенты уравнения, расположенные симметрично относительно середины уравнения, равны. Например, крайние коэффициенты слева и справа равны. Ясно,
что не является корнем. Поэтому такое уравнение делят сначала на
получают уравнение
ние
. Затем делают замену
, то
, то есть уравнение .
, а затем преобразуют его к виду
. Поскольку
. Получают квадратное уравне-
и
Решая его, находят корни и , а затем находят переменную из равенств
и
.
57
Уравнение решается похожим способом с
той лишь разницей, что делают замену
, то
. Получают квадратное уравнение
, то есть уравнение .
. Поскольку
Второй способ извлечения корня четвертой степени из числа состоит
в том, что мы пытаемся сразу извлечь корень четвертой степени,
то есть ищем число , для которого
. Тогда
.
Приравняв действительные и мнимые части, получим систему уравнений:
.
Умножим первое уравнение системы на , а второе на и сложим их. Получим уравнение . Разделим последнее уравнение на и перейдем к уравнению
.
Разделим обе части последнего уравнения на
. Разделим его на
и положим
Такие уравнения решают с помощью подстановки
. Имеем
и перейдем к уравнению
:
. Тогда
58
.
Решив получившееся квадратное уравнение, находим:
и
. Из этих равенств, решив два квадратных уравнения,
находим и получаем четыре значения:
,
, то есть
Поскольку
и
. Подставляя
, соответственно, имеем 4 случая:
,
,,
во второе уравнение системы, имеющее
,
.
,
вид , получаем:
Последнее уравнение имеет два действительных решения . Тогда
. Тем самым получены два корня из числа . Они равны
и .
Для случая
получаем , и тогда
. Разделив обе части равенства на , получим .
Имеем . Тогда . Тем самым получены еще два корня из
числа , равные и .
В случаях
и
действительных решений нет.
Ответ:
.
Историческая справка. Модель комплексных чисел как пар действительных
(или вещественных) чисел была построена Гамильтоном в 1837 году. Суще-
ственно ранее, в 1685 году в работе «Алгебра» Валлис (Англия) показал,
59
что комплексные корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами можно представить геометрически точками на плоскости. Но это осталось незамеченным. Следующий раз геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось в работе Весселя (1799 г.). Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работ Ж. Р.
Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя.
Символ для обозначения ввел Леонард Эйлер в XVIII веке. Комплексных
чисел, чисел новой природы, оказалось достаточно для решения любого квадратного уравнения (включая случай отрицательного дискриминанта), а также
уравнений 3-ей и 4-ой степени.
Математики XVI века и следующих поколений вплоть до начала XIX века относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они
считали эти числа «мнимыми» (Декарт), «несуществующими», «вымышленными», «возникшими от избыточного мудрствования» (Кардано)… Лейбниц
называл эти числа «изящным и чудесным убежищем Божественного духа», а
символ
считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать
его на своей могиле).
Однако использование аппарата комплексных чисел (несмотря на подозрительное к ним отношение) позволило решить многие трудные задачи. Поэтому со
временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникли в теорию алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение. Например, один
из трудных вопросов для математиков XVII-XVIII веков состоял в определении
числа корней алгебраического уравнения степени , то есть уравнения вида
. Как оказалось, ответ на этот вопрос за-
висит от того, среди каких чисел – действительных или комплексных – следует
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]