Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
cos sinz r i
22
cos sin cos sin cos2 sin2z r i r i r i
cos sin cos sin
n
nn
z r i r n i n
cos sinz r i
n
z
n
1
cos sinri
1
cos sin
nn
r n i n
1
cos si (cos inn s)
n
r rnn ii
2 , kk
1
1
2
2 ,
,
n
n
rr
rr
k
n k k
k
n
Возведение в натуральную степень. Формула Муавра
Пусть
Тогда
, а n– натуральное число.
и индукцией
по n можно доказать, что справедлива формула
.
Последняя формула, содержащая правило для возведения в натуральную степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме,
называется формулой Муавра. Она была найдена А. Муавром в 1707 году; современная ее запись предложена Л. Эйлером в 1748 году. Согласно формуле
Муавра, при возведении в степень комплексного числа модуль возводится в
эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Вычисление корней в тригонометрической форме
Пусть дано комплексное число
Комплексное число , для которого справедливо равенство
корнем степени
из числа z. Мы покажем, что такие числа существуют.
Запишем число в тригонометрической форме:
и
и натуральное число n.
, называется
. Тогда
. Равенство чи-
сел, записанных в тригонометрической форме, означает, что модули чисел равны, а аргументы отличаются на
, то есть имеют место равенства
.
71
22
cos sin ,
n
k
kk
r i k
nn
k
22
cos sin , 0, 1, ..., 1
n
k
kk
r i k n
nn
22
cos sin
n
s
ss
ri
nn
22
cos sin
n
t
tt
ri
nn
st
0 t s n
st
2,kk
22
2
s t s t
n n n
0 0 1
st
s t n
n
22st
nn
2
s
t
22
cos sin , 0, 1, ..., 1
n
k
kk
r i k n
nn
cos sinz r i
l
0 1 1
, , ....,
ln
l
l nq p
0, ..., 1pn
Таким образом, любой корень имеет вид
На первый взгляд, таких корней бесконечно много, поскольку
.
. Мы пока-
жем, что различных корней всего n.
Проверим сначала, что различными корнями являются комплексные числа
.
Действительно, пусть два корня
ство
таковы, что
означало бы, что аргументы этих чисел отличаются на
, причем
. Равен-
и
.
Но
. Ясно, что
не есть целое кратное
различны.
Покажем теперь, что формула
перечисляет все корни степени n из числа
верим, что если
, то
на число n с остатком и получим
. Поэтому
и рассматриваемые корни
и
. Для этого про-
. Для этого разделим целое число
, где
. Тогда
72
22
cos sin
n
l
ll
ri
nn
22
cos sin
n
nq p nq p
ri
nn
22
cos 2 sin 2
n
pp
r q i q
nn
22
cos sin
n
p
pp
ri
nn
0 1 1
, , ....,
l p n
cos sinz r i
22
cos sin , 0, 1, ..., 1
n
k
kk
r i k n
nn
i
i
cos sinz r i
1z
0
0 2 0 2
1 cos sin , 0, 1, ..., 1
n
k
kk
i k n
nn
22
cos sin , 0, 1, ..., 1
k
kk
i k n
nn
2
21
2 2 2 2 2 2 2 2
cos sin cos sin cos sini i i
n n n n n n
.
Значит,
.
Вывод: существует ровно n различных корней степени n из числа
. Они задаются формулами
.
Корни из единицы. Кубические корни из произвольного числа
Корни степени n из единицы можно записать более компактно. Эти корни при-
нято обозначать
ней из произвольного комплексного числа
деть, что если
, а не символами
, то
и корни степени n из единицы запишутся в виде
, как мы это делали при извлечении кор-
. Нетрудно ви-
или
.
Кроме того,
.
73
Аналогично можно записать
1
k
k
cos sinz r i
1
22
cos sin
n
ri
nn
01
01
22
cos sin cos sin
n
r i i
n n n n
1 0 1
2
2 2 2 2
cos sin
n
ri
nn
11
2
1 1 0 1
2 2 2 2
cos sin cos sin
n
r i i
n n n n
2
2 0 1
01
k
k
0
1
1
2 2 1 3
cos sin
3 3 2 2
ii
2
2 1 1
4 4 1 3
cos sin
3 3 2 2
ii
cos sinz r i
.
Заметим, что корни из произвольного числа
записать в виде
или окончательно
.
Аналогично
можно также
или окончательно
. В общем случае получаем
Для корней степени 3 из числа 1 формулы примут вид:
;
;
.
.
Для корней третьей степени из произвольного числа
74
имеем
3
0 1 0 2 0
1 3 1 3
cos sin , ,
3 3 2 2 2 2
r i i i
.
k
cos sinz r i
n
r
k
1
2 2 2 2
cos sin
n
k
kk
ri
nn
2
n
0 1 1
, , ...,
n
n
r
1 1 cos0 sin0zi
0 360 0 360
1 cos sin , 0, 1, 2, 3, 4
55
k
kk
ik
0
1 cos0 sincos0 ,i
1
360 1 360 1
cos sin cos72 sin72
55
ii
1
cos72 ,sin72
𝑥
1
𝜔
𝜔
𝑦
Эти формулы мы будем использовать при решении кубических уравнений.
Геометрическое изображение корней
Формулы
что все они имеют одинаковый модуль
для корней степени n из числа
показывают,
, причем соседние корни
и
отличаются на угол
то есть точки
ны на окружности радиуса
образуют правильный n - угольник и расположе-
с центром в начале координат.
Изобразим, например, геометрически расположение корней степени 5 из еди-
ницы. В нашем примере
. Тогда
. При этом
,
изображается точкой
на координатной плоскости. Получаем
следующую картину:
75
и
Применение комплексных чисел в тригонометрии
2
cos cos72
5
2
sin sin72
5
5
22
cos sin 1
55
i
22
cos sin
55
i
n
ab
2
3
4
5
6
11
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
ab
ab
ab
ab
ab
ab
5
5 4 2 3 2
2 2 2 2 2 2 2
1 cos sin cos 5 cos sin 10 cos sin
5 5 5 5 5 5 5
i i i
3 2 3 4 4 5 5
2 2 2 2 2
10 cos sin 5 cos sin sin
5 5 5 5 5
i i i
5 4 3 2
2 2 2 2 2
cos 5 cos sin 10cos sin
5 5 5 5 5
i
2 3 4 5
2 2 2 2 2
10 cos sin 5cos sin sin 1
5 5 5 5 5
ii
5 3 2 4
2 2 2 2 2
cos 10cos sin 5cos sin 1
5 5 5 5 5
4 2 3 5
2 2 2 2 2
5cos sin 10cos sin sin 0
5 5 5 5 5
Задача 1. Выразите
Заметим сначала, что
и
в радикалах.
, поскольку
один из корней пятой степени из единицы. Для вычисления
треугольник Паскаля:
есть
используем
Тогда
Приравняем действительные и мнимые части:
76
.
,
.
Исключим
2
2
cos
5
2
2
sin
5
22
cos 1 sin
2
2 2 3 5
2 2 2 2 2
5 1 sin sin 10 1 sin sin sin 0
5 5 5 5 5
53
2 2 2
16 sin 20 sin 5sin 0
5 5 5
53
16 20 5 0t t t
2
sin
5
t
42
16 20 5 0tt
400 4 5 16 80D
2
20 80 5 5
32 8
t
42
16 20 5 0tt
1,2
5 5 2
55
84
t
2
54
2 2 2 2
sin sin
5 4 2 4
22
sin 5 5
54
2
2 2 10 2 5 6 2 5 5 1
cos 1 sin 1
5 5 16 16 4
51
cos72
4
2
sin72 5 5
4
sin7x
sinx
cosx
7
cos sin cos7 sin7x i x x i x
7
7 6 5 2
cos sin cos 7 cos sin 21cos sinx i x x i x x x x
4 3 3 4 2 5 6 7
35 cos sin 35cos sin 21 cos sin 7cos sin sini x x x x i x x x x i x
6 4 3 2 5 7
sin7 7cos sin 35cos sin 21cos sin sinx x x x x x x x
из второго уравнения, выразив его через
по форму-
ле
. Получим уравнение
.
После раскрытия скобок и приведения подобных получим
Биквадратное уравнение
, поэтому
уравнения
или
имеет дискриминант
. Положительные корни
равны
, где
.
.
Учтем, что
Затем вычислим
Ответ:
Задача 2. Выразите величину
формуле Муавра
и
. Получим
.
,
через
.
и
. С одной стороны, по
, с другой стороны,
.
Приравнивая мнимые части (используя подчеркнутые слагаемые), получаем
.
Ответ:
77
.
Индивидуальные задания
Вариант 1
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме
3. Пусть
Вычислите
.
4. Найдите все комплексные корни
уравнения
.
Вариант 2
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской и алгебраической форме
квадратные корни из комплекс-
ного числа
Вариант 3
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме
3. Пусть
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской форме кубические корни из
комплексного числа
.
Вариант 4
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской и алгебраической форме
квадратные корни из комплекс-
ного числа
.
Вариант 5
1. Пусть
Вариант 6
1. Пусть
78
Вычислите
2. Представьте число в
тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Решите уравнение
.
Вычислите
2. Представьте число
в тригонометрической форме
3. Пусть
Вычислите
.
4. Решите уравнение
.
Вариант 7
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской и алгебраической форме
кубические корни из комплекс-
ного числа
Вариант 8
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской и алгебраической форме
квадратные корни из комплекс-
ного числа .
Вариант 9
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме
3. Пусть
Вариант 10
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
79
Вычислите
.
4. Найдите комплексные корни
уравнения
.
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской форме квадратные корни из
комплексного числа
Вариант 11
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Найдите комплексные корни
уравнения
.
Вариант 12
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Найдите комплексные корни
уравнения
.
Вариант 13
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме
3. Пусть
Вычислите
.
4. Найдите комплексные корни
уравнения: .
Вариант 14
1. Пусть
Вычислите
.
2. Представьте число
в тригонометрической форме.
3. Пусть
Вычислите
.
4. Вычислите в тригонометриче-
ской и алгебраической форме
квадратные корни из комплекс-
ного числа
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]