Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Ясно, что коэффициент при степени
2
y
3
b
3
b
xy
3
0y py q
3 2 3
0 , 0
3
b
x bx cx d если x y то pyy q
1 6 12 35
2 1 4 4 27
2 1 2 0
2 1 0
21
можно обратить в нуль, для чего доста-
точно положить
(или трехчленное) уравнение
. Осуществив подстановку
.
, получим неполное
Уравнение Бхаскары
В качестве примера полезности сведения к неполному уравнению рассмотрим
уравнение Бхаскары. Бхаскара великий индийский математик, которого называли Бхаскара Ачарья (Ачарья означает мудрец). Он родился в 1114 году, умер
в возрасте 71 года. Уравнение имеет вид: . Используем
подстановку
, то есть или . Чтобы
найти неполное уравнение, нужно найти коэффициенты разложения многочле-
на по степеням разности . Можно сделать это непо-
средственно или используя схему Горнера:
.
Приходим к уравнению , решения которого имеют вид
. Корни исходного уравнения имеют вид
.
91
Неполные кубические уравнения с действительными коэффициентами
3
0y py q
1
1 2 3
3
0 ,
2
y
q
y y y
p
23
0
4 27
qp
23
1
0
27
t qt p
3
tz
12
, tt
12
tt
3
12
3
p
tt
23
2 4 27
q q p
u
u
3
p
vu
v
33
12
t t u v
uv
, uv
, u v u v
Будем считать теперь, что коэффициенты p и q в уравнении
–
действительные числа.
Случай 1. Кратные корни
Этот случай рассмотрен ранее. Формулы для случая действительных коэффи-
циентов остаются прежними, то есть
.
Случай 2. Один действительный и два
сопряженных комплексных корня
Рассмотрим случай:
. Покажем, что тогда имеется один действи-
тельный корень и два комплексно сопряженных корня. Корни квадратного
уравнения
есть различные действительные числа, то есть
В рассматриваемом случае
, где
, дискриминантом которого является ,
,
и
– действительное число. В качестве
можно выбрать действительное значение кубического корня, то есть
Поскольку
Поскольку
, то v также есть действительное число, то есть
, то
. Итак,
и
.
.
.
.
Формулы для нахождения корней имеют вид:
92
23
,
2 4 27 3
q q p p
u действительный кубический корень из v
u
,
12
13
,
22
y u v y u v i u v
3
13
22
y u v i u v
1
y
2
y
3
y
uv
uv
3
6 9 0yy
6, 9pq
2
3 2 3 2
6 9 81 81 32 49 7
8
27 4 27 4 4 4 4 2
pq
97
8
2 2 2
q
2u
6
1
3 3 2
p
v
u
1
2 1 3y u v
2
1 3 1 3 3 1
2 1 2 1 3
2 2 2 2 2 2
y u v i u v i i
32
31
3
22
y y i
3 1 3 1
3, 3, 3
2 2 2 2
ii
23
0
4 27
qp
3
2
0
27
p
t qt
3
tz
Условие
означает, что корень
,
– действительное число. Корни
.
не являются действительными и комплексно сопряжены, поскольку
и
Пример. Решим уравнение
.
. Имеем
и
.
Число uесть действительный кубический корень из числа
то есть
. Тогда
и
,
и
.
Ответ:
Случай 3. Три различных действительных корня
Рассмотрим оставшийся случай:
ратное уравнение
.
, где
;
;
. Ранее мы рассмотрели квад-
. Теперь это уравнение имеет дей-
93
ствительные коэффициенты. Дискриминант данного квадратного уравнения ра-
23
4 27
qp
33
12
,t u t v
Im 0u
3 3 3
v u u
vu
vu
2
vu
3
p
vu
vu
2
3
p
uv uu u
Im 0u
0u
2
u
3
p
2
3
p
u
2
vu
2
22
3
p
uv uu u
vu
2Reu u u
2Imu u u
12
13
, ( ) ( )
22
y u v y u v i u v
3
13
( ) ( )
22
y u v i u v
3
1
, 2Re 2Re
2
q
y u u u
2
1 3 1 3
( ) ( ) ( ) ( ) Re 3 Im
2 2 2 2
y u v i u v u u i u u u u
3
1 3 1 3
( ) ( ) ( ) ( ) Re 3Im
2 2 2 2
y u v i u v u u i u u u u
23
3
1 2, 3
, , = 0 , 2Re , Re 3Im
4 27 2
q p q
p q u y u y u u
вен
. Он отрицателен, поэтому корни
этого квадрат-
ного уравнения не являются действительными и комплексно сопряжены, то
есть
или
общих формул имеем
скольку
венству
и
, или
, то
. Условие
. Поэтому имеет место один из трех случаев
, где – корень кубический из единицы. Кроме того, из
. Если
и тогда
, то
, а
. Но по-
, что противоречит ра-
также приводит к противоречию:
. Поэтому остается случай
.
,
Поскольку
следующий вид:
Таким образом, все корни – действительные числа, которые можно найти
по формулам
и
, получаем, что формулы
,
примут теперь
;
,
.
94
.
Заметим, что выписанные корни действительны и различны, поскольку
Im 0u
0
3
6 4 0yy
6, 4pq
2 3 2 3
46
4 8 4
4 27 4 27
qp
0
3
33
2 2 2 2 cos sin
2 4 4
q
u i i
11
2 cos sin 2 1
44
22
u i i i
1ui
1 2,3
2Re 2, Re 3Im 1 3y u y u u
2; 1 3
2
q
a bi
,ab
0
3
39 18 0yy
39, 18pq
2 3 2 3
3
18 39
81 13 81 2197 2116
4 27 4 27
qp
2116 46i
9 46
2
q
i
u a bi
3
( ) 9 46a bi i
.
Пример 1. (
Решим уравнение
. Три различных действительных корня).
. Имеем
. Вычислим :
. Следовательно,
, то есть уравнение
имеет три различных действительных корня. Для нашего примера
.
Поэтому
Но тогда
, то есть
. Ответ:
.
.
Замечание. Вычисление кубического корня из числа
не всегда явля-
ется простым делом. Однако если этот корень можно представить в виде
где
Пример 2. (
Решим неполное уравнение
, то вычисление значительно упрощается.
. Три различных действительных корня).
,
. Вычислим дис-
криминант :
и
Найдем кубический корень u из числа
в алгебраической
,
.
форме. Для этого представим его в виде
95
. Тогда
.
Вычислим модуль левой и правой части.
3
3
3 2 2
()a bi a bi a b
3
2 2 3
9 46 9 46 81 2116 2197 13 13i
22
13ab
a
22
13 9 4 4 9ab
2, 3
3, 2
ab
ab
3 3 2 3 2
( ) 3 ( 3 ) 9 46a bi a ab i b a b i
2, 3ab
2 2 2 2
23
4 27 23
3
12 9 3
( 3 )( ) 4(3 96)a bi a a b i b a b i
2 2 2 2
32
9 12 3 27 4 23
( 3 ) 9 46(3 )a a b i b iab
3, 2ab
3
9 46 (3 2 )ii
32ui
1 2,3
2Re , Re 3Imy u y u u
1 2, 3
2 3 6, 3 3 2yy
6; 3 2 3
4 3 2
0x ax bx cx d
, , , a b c d
4 3 2
x ax bx cx d
.
Значит,
.
Будем искать целые значения для коэффициентов
вим 13 в виде суммы квадратов целых чисел:
.
Но
Поэтому для случая
имеем
.
.
и b. Для этого предста-
. Значит,
Во втором случае
Имеем равенство
Ответ:
Уравнения четвертой степени. Метод Феррари
Рассмотрим уравнение
.
. Поэтому
, то есть
, если
. Тогда
.
.
.
, где
.
Феррари предложил представить многочлен
квадратов следующим образом:
96
разности
2
2
4 3 2 2
2
ax
x ax bx cx d x x
,,
2
2 2 2
2 2 2
22
2
2 2 2
2
42
a x ax
bx cx d x x
22
2
2 2 2
2
42
a x ax
x x bx cx d
2
2
22
2
4
a
x x b x c a d
2
2
2
4 2 0
4
a
D c a b d
2
2
2
4 2 0
4
a
c a b d
2 2 3 2
2 4 4 8 8 0c ca bd b d a d
3 2 2 2
8 4 2 8 4 0b ca d c bd a d
, где
.
Учтем, что
Раскрыв скобки в равенстве
и приведя подобные, получим
.
или
.
Преобразовав правую часть равенства, получим:
.
Выражение, стоящее в правой части равенства должно быть полным квадратом.
Это будет так, если дискриминант квадратного трехчлена, стоящего справа, обратится в 0. Вычислим этот дискриминант и приравняем его к нулю:
.
Тогда
.
Последнее уравнение является кубическим относительно и всегда имеет корень в поле . Поэтому число может быть найдено, и будут определены
97
числа
,
4 3 2
0x ax bx cx d
, , ,a b c d
2
22
2
4
a
x b x c a d
2
Ax Bx C
2
2
4
a
Ab
B c a
2
Cd
2
x
2
Ax Bx C
2
40B AC
2
4B AC
0AC
0, 0AC
2B signB AC
2
22
2sign( ) sign( )Ax Bx C Ax B ACx C Ax B C
2
2
22
2
4
a
x x b x c a d
2
2
2
2
2 sign( )
4
a
x b x B d
и тем самым левая часть уравнения
будет
представлена в виде разности квадратов. Разлагая ее в произведение и приравнивая каждый сомножитель к нулю, получим два квадратных уравнения, из которых и найдем 4 корня исходного уравнения.
Замечание. В случае действительных коэффициентов
и действитель-
ного числа получаем квадратный трехчлен
с действительными коэффициентами. Его можно записать в виде
где
ного трехчлена в виде полного квадрата вида
,
,
. Для представления этого квадрат-
, особенно в программах
вычисления на компьютере, полезно использовать следующие формулы. Квад-
ратный трехчлен
является полным квадратом только в случае, ко-
гда он имеет одинаковые корни, что соответствует равенству нулю дискрими-
,
нанта:
При условии, что
. Тогда
, имеем
В этом случае для полного квадрата
.
и
.
будем иметь:
.
98
При условии, что
0, 0AC
2
,AA
2
CC
2
22
2sign( ) sign( )Ax Bx C Ax B ACx C Ax B C
2
2
sign( )i Ax B C
42
2 12 8 0x x x
2
2
4 2 2
2 12 8x x x x x
2
2 2 2
2 2 12 8x x x x
2
22
2 2 12 8x x x
32
8 8 64 80 0D
32
8 10 0
1
2
2 2 2
2 2 12 8 4 12 9 2 3x x x x x
22
23x x
2
2
2
0xx
2
2
2 2 2
1 2 3 0 2 2 2 4 0 x x x x x x
1 3,1 3, 1 3, 1 3ii
432
4 4 12 21 0x x x x
2
2
4 3 2 2
4 4 12 21 2x x x x x x x
2
22
2 4 12 21x x x x
2
22
2 4 12 21x x x
.
, имеем
, поэтому
Пример 1. Решим неполное уравнение четвертой степени
Решение. Преобразуем левую часть уравнения:
Приравниваем дискриминант к нулю:
. Последнее уравнение имеет корень
, то есть
Уравнение
примет теперь вид
.
.
или
. Поэтому
.
.
Решив два квадратных уравнения, получим ответ.
Ответ:
Пример 2. Решим уравнение
Решение. Представим многочлен в левой части уравнения в виде разности
квадратов:
Находим дискриминант и приравниваем его к нулю:
.
99
.
.
3 2 3 2
8 16 72 144 0 2 9 18 0D
2
2 9 2 0
.
2
2
2 2 2
2 4 12 21 4 20 25 2 5x x x x x
22
25xx
2
2
2
02x x x
2
2
2 2 2
2 2 2 5 0 3 4 7 0x x x x x x
3, 3, 2 3, 2 3x i i
4 3 2
4 5 4 4 0x x x x
2 2 2
( 2 ) ( 2) 0x x x
2 2 2 2
( 2 ) ( 2) 0x x i x
2 2 2 2 2
( 2 ) ( 2 10) 0 ( 2)x x x x x
2,x x i
3
1 2 11 2 ,ii
3
1 3 26 18ii
3
2 2 11ii
3
3 18 26ii
3
2 3 46 9ii
3
27 54 0xx i
Последнее уравнение имеет корень
Поэтому
. Уравнение
.
, то есть
примет вид
.
Получаем ответ:
.
Замечание. Некоторые уравнения сводятся методом Феррари к сумме (а не к
разности) квадратов. Например, уравнение
уравнению
. Тем не менее, левую часть равенства можно
сводится к
представить в виде разности квадратов:
и разложить ее
в произведение двух квадратных трехчленов.
В данном примере все же проще воспользоваться разложением на множители
и найти корни
.
Задания для проведения контрольных работ
Проверьте справедливость равенств и при необходимости используйте их при
решении задания 1в.
,
,
.
Вариант 1
1. Решите уравнения, используя формулы Тартальи-Кардано:
а)
;
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]