Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
В логике так называют умозаключение, позволяющее из наличия какого-либо
признака у части предметов данного класса делать вывод о присутствии этого
признака у всех его предметов.
Метод математической индукции
Интуитивно ясно, что любое множество натуральных чисел может содержать
сколь угодно большие натуральные числа, однако в любом таком множестве
найдется самое маленькое (по-другому, наименьшее) натуральное число. Этот
факт позволяет доказывать утверждения, справедливые для всех натуральных
чисел следующим образом.
Пусть требуется доказать, что утверждение
верно для любого натураль-
ного числа . Мы утверждаем, что можно доказывать это следующим образом.
1. (База индукции.) Проверить, что верно утверждение
2. (Индукционный переход.) Предположить, что утверждение
.
верно и
проверить, что верно утверждение , где – любое натуральное
число.
Если доказаны утверждения 1 и 2, то утверждение
верно для любого нату-
рального числа .
Последнее утверждение носит название «аксиома индукции». Что позволяет
нам считать, что аксиома индукции верна? Если изобразить натуральные числа
на числовой прямой, то они образуют множество, для которого левее любой его
точки есть лишь конечное число натуральных чисел. Отсюда видно, что в любом множестве натуральных чисел есть наименьшее число, то есть число, левее
которого нет элементов данного множества. Приведем рассуждение, которое
позволяет понять, почему метод доказательства, приведенный выше, который
называется методом математической индукции, верен.
11
Предположим, что утверждение
верно не для любого натурального числа
. Тогда существует наименьшее число , для которого утверждение
верно. Число не может быть равно единице, поскольку утверждение
верно. Поэтому число также натуральное. Утверждение
ется верным, поскольку
утверждение
неверно. Но мы доказали (см. индукционный переход), что
если верно, то
что предполагаемого числа
Проверим справедливость формулы вычисления числа
– наименьшее из натуральных чисел, для которых
верно. Полученное противоречие показывает,
не существует.
для вавилонской за-
не-
явля-
дачи методом математической индукции. Итак, мы проверяем, что утверждение
:
есть верное утверждение.
1. (База индукции.) Если , то получаем верное равенство
.
2. (Индукционный переход.) Предположим, что равенство
является верным. Проверим, что равенство
также верно. Заметим, что левая часть последнего равенства отличается
от левой части предыдущего равенства одним дополнительным слагаемым
. Поэтому
.
Преобразуем правую часть равенства:
.
Поскольку
,
12
получаем, что верно равенство
.
Согласно методу математической индукции мы можем утверждать, что
формула
верна для всех натуральных
чисел.
Рассмотрим еще один пример. Докажем, что утверждение
: число
+5 делится на 3
справедливо для любого натурального числа . (Факт делимости символически
записывают так: +5 .)
1. (База индукции.) Проверим, что верно утверждение
. Действительно,
. Число 9 делится на 3, поэтому утверждение
верно.
2. (Индукционный переход.) Предположим, что утверждение
верно,
то есть +5 , и проверим, что утверждение верно, если –
натуральное число, то есть докажем, что
+5
+5 . Действительно,
.
Сумма двух чисел, делящихся на , также делится на , и все доказано.
Замечание. Проверку базы индукции отбрасывать нельзя, иначе мы могли бы
«доказать», что все натуральные числа равны между собой. Действительно, ин-
дукционный переход верен: предположив, что числа и равны, то есть
, добавив единицу к правой и левой части равенства, мы получили бы
также верное равенство .
13
Разновидности метода математической индукции
1. Вместо доказательства утверждения
можно доказывать по индукции, что утверждение
для всех натуральных чисел
верно, начиная с
некоторого натурального числа . Для этого нужно изменить базу ин-
дукции и проверить справедливость утверждения
, удовлетворяющих неравенству
, предполагая доказанным
утверждение , доказать справедливость утверждения
. Затем для всех
.
2. Индукционный переход можно изменить и доказывать следующее: пред-
положить, что утверждение
верно для всех натуральных чисел,
меньших произвольного натурального числа , и доказать, что верно
утверждение
.
Неверные рассуждения
Задача. Найдите ошибку в следующих «доказательствах» по индукции.
1. Докажем, что любые чисел равны.
Если , то утверждение верно: имеется только одно число и оно равно са-
мому себе.
Рассмотрим произвольных чисел
. Отбросив последнее число, по-
лучим число. По предположению индукции они равны:
чисел, и предположение индукции дает:
эти два равенства, получим:
. Теперь отбросим первое число. Снова получим набор из
. Объединяя
, что и требовалось дока-
зать.
2. Докажем, что любые точек лежат на одной прямой.
При это верно. Осталось доказать утверждение для произвольного числа
14
, предполагая, что оно верно для . В самом деле, отбросив последнюю
точку, получим прямую , на которой лежат точки
зать, что точка
лежит на этой прямой. Отбросим первую точку, получим
прямую , на которой лежат точки . Могут ли прямые и
различными? Нет, так как обе они проходят через точки и
. Нам надо дока-
, а через две
быть
точки можно провести лишь одну прямую. Значит, и совпадают и проходят
через все точек.
Доказательство с ошибкой
Докажем по индукции, что если и число
также целое для любого натурального числа . База индукции
целое, то число
очевидно представляет собой верное утверждение.
Для доказательства индукционного перехода заметим, что
тогда
Последнее равенство показывает, что число
жению индукции числа и
целые.
целое, так как по предполо-
, но
Ошибка состоит в том, что мы не доказали справедливость индукционного пе-
рехода от случая к случаю . В этом случае возникает равенство
— целое, нами не проверялось и могло, вообще говоря, оказаться
. Но утверждение о том, что число
неверным. Однако в данном случае оно верно и нужно было только дополни-
тельно проверить индукционный переход от случая к случаю . При-
.
чина возникшей ошибки в том, что числа вида и могут не быть
натуральными числами. Число является натуральным только для значений параметра , начиная с .
15
Доказательство неравенств по индукции
Докажем, что для любого натурального числа и для любых неотрицательных чисел
произведение которых равно единице, то есть
, справедливо неравенство: , причем
равенство достигается в том и только том случае, когда
.
Доказательство проведем по индукции. Если , то из условия
получаем , и мы имеем очевидно верное неравенство
. Проверим справедливость утверждения для случая . В этом случае
имеем неравенство , если и . Возможны
два случая.
1. ; тогда из условий и следует, что
; неравенство выполняется как равенство
.
2. ; из условий и получаем тогда, что оба числа
и
не могут одновременно быть больше единицы. Кроме того,
. Поэтому
либо , и тогда, поделив обе части равенства на
(поскольку ), получим, что
;
либо, наоборот, , тогда .
В любом из этих случаев числа и
справедливо неравенство
противоположны по знаку и
. Раскрыв скобки и перенеся
слагаемые, имеющие знак минус, в противоположную часть неравенства,
получим
. Поэтому .
16
Мы убедились не только в справедливости доказываемого неравенства, но и в
том, что неравенство выполняется как равенство только в случае, когда
.
(Индукционный переход.) Предположим, что если , то справедливо неравенство , причем равенство достигается в
том и только том случае, когда . Покажем, что если
, то справедливо неравенство
Для этого снова рассмотрим следующие случаи.
1.
. Тогда
и неравенство
выполняется как равенство
2. В противном случае среди чисел
ные единице. Невозможно, чтобы числа, не равные единице, все были
больше (меньше) единицы, ибо тогда их произведение было бы также
больше (меньше) единицы. Поэтому среди чисел
найдутся два числа, одно из которых больше единицы, а
другое меньше единицы. Пусть это будут числа и
числа и
противоположны по знаку и, как показано выше,
.
.
имеются числа, не рав-
. В этом случае
. Но тогда
.
В правой части последнего неравенства имеется неотрицательных чисел
, произведение которых равно единице, причем
. К ним применимо предположение индукции, и мы можем
утверждать, что справедливо строгое неравенство
Поэтому
.
.
17
Справедливость неравенства
полностью доказана.
Из доказательства видно, что неравенство
выполняется как равенство только в случае, когда
.
Неравенства: среднее арифметическое и среднее геометрическое
Выражение
ским, а выражение
ским чисел
.
называется средним арифметиче-
называется средним геометриче-
Используем доказанное выше неравенство для доказательства того, что для лю-
бых неотрицательных чисел
. Равенство при этом достигается тогда и только тогда, когда
.
справедливо неравенство
Действительно, в случае, когда хотя бы одно из чисел равно нулю, среднее геометрическое становится равным нулю, и мы получаем очевидное верное нера-
венство
гда числа
. Поэтому остается доказать неравенство для случая, ко-
положительны. Для этого рассмотрим числа
, произведение которых, как нетрудно проверить, равно едини-
це. Для них можем записать доказанное выше неравенство
, которое выполняется как равенство, только если имеет
место равенство всех переменных
, то есть если
Последнее неравенство легко приводится к виду
. Кроме того,
, откуда следу-
.
ет, что
.
18
Тем самым мы установили, что
.
Замечание. Выражение
и обозначается
Можно показать, что для любых неотрицательных чисел
неравенство:
только тогда, когда
называется средним гармоническим чисел
.
, то есть
, причем равенство достигается тогда и
верно
Задача. Докажите, что для любого натурального числа большего единицы, то
есть , справедливо неравенство
.
Решение. Докажем это утверждение по индукции. Если , то неравенство
примет вид
Индукционный переход. Пусть неравенство
, которое верно.
верно. Докажем,
что верно неравенство
Поскольку
.
, проверим справед-
ливость последнего неравенства. Если мы докажем, что
гда
и неравенство
будет доказано.
Из неравенства
,
получаем
при значениях
и
, то то-
19
.
Поэтому
, а значит, справедливо и неравенство
.
Упражнения
1. Докажите, что если , то справедливы равенства
а)
б)
в)
.
;
;
2. Докажите справедливость неравенства
Замечание. Запись суммы
означает, что суммиру-
ются дроби, знаменатели которых меняются в интервале от до .
Если , то знаменатели изменяются от до , и сумма имеет вид:
.
Если , то знаменатели изменяются от до , и в сумме —
три слагаемых:
.
3. Докажите неравенство Бернулли
, .
4. Докажите неравенства
а) для любого натурального ;
б)
для любого натурального .
Решение задачи б. Базис индукции: пусть , тогда неравенство примет
вид
. Это верное неравенство.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]