Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Поэтому , где числа и взаимно просты, . Числа
и различны и находятся среди чисел
являются сомножителями в произведении
. Следовательно, они
! . Значит,
! де-
лится на число .
б. Число есть степень простого числа: , где − простое, причем
. Поскольку
дятся среди чисел
как и в предыдущем пункте.
, числа
. Тогда число
меньше числа и оба нахо-
! делится на
в. Число есть квадрат простого числа, отличного от двух, , .
В этом случае и . Поэтому делится на .
Рассмотренные выше случаи показывают, что в случае составного числа
, отличного от 4, число делится на число .
г. Остался случай
скольку число
не делится на число
, для которого утверждение задачи верно, по-
Задача 3. Докажите, что число делится на 10. При каких значениях
число делится на 100?
Решение. По формуле суммы геометрической прогрессии имеем
. Значит, делится на 10 (надо взять
, поэтому если , то
, то есть
Выясним, при каких значениях число делится на 100. Для этого заме-
тим, что, раскрыв скобки в выражении
, получим
слагаемое, равное 1, и слагаемых, равных, которые получаются, если ровно
в одной скобке выбрать, а в остальных скобках выбрать 1. Оставшиеся слагаемые содержат множитель
, то есть
, где , ес-
ли .
41
Применим это к числу :
.
Отсюда видно, что делимость числа на 100 равносильна делимости на
10 числа . Итак, число делится на 100 тогда и только тогда, когда
делится на 10.
Задача 4. Докажите, что среди чисел вида имеется бесконечно
много простых чисел.
Решение. Заметим сначала, что
остаток от деления простого числа, не равного 2, на 4 есть либо 1,
либо 3;
произведение чисел вида снова даст число такого же вида; для это-
го достаточно перемножить
и
:
.
Поэтому в разложении числа вида на простые сомножители обязательно
встретится число такого же вида . Например, число 15 имеет вид ,
а именно , в его разложении сомножитель 3 также имеет вид
. Предположим теперь, что простых чисел вида конечное
число. Перечислим их:
.
Рассмотрим следующее число:
. Нетрудно
проверить, что число можно записать в виде . Поэтому в его
разложении на простые сомножители имеется хотя бы одно простое число та-
кого же вида . Значит, число должно делиться на одно из чисел, пере-
численных в списке
.
42
Но это невозможно, поскольку первое слагаемое в записи числаделится на
любое из чисел списка
из этих чисел.
Задача 5. Найдите все простые числа , для которых числа и –
простые.
Решение. Если не делится на , то одно из чисел или
делится на (из трех последовательных чисел и
ровно одно число делится на ). Поэтому и не являются
простыми. Значит, делится на . Поскольку число – простое,
то .
Задача 6. Остаток от деления некоторого натурального числа равен 3, а остаток
от деления этого же числа на 15 равен 1. Найдите остаток от деления этого числа на 30.
, а второе слагаемое, то есть , не делится ни на одно
Ошибочное решение. Обозначим число, о котором идет речь в условии задачи
символом . С учетом условия задачи можно написать ,
, . Тогда , а . Вычтем из числа
число и получим . Отсюда делаем вывод, что оста-
ток от деления числа на 30 есть 11.
Ответ, к которому мы пришли, все же нельзя считать правильным. Действи-
тельно, поскольку , , , то или
. Последнее равенство невозможно ни для каких целых чисел
и (левая часть равенства делится на 3, а правая не делится). Таким образом,
чисел, о которых идет речь в задаче, не существует. Правильным был бы от-
вет: чисел, о которых идет речь в задаче не существует, поэтому у них нет никакого остатка при делении на 30.
Задача 7. Остаток от деления некоторого натурального числа равен 3, а остаток
от деления этого же числа на 15 равен 6. Найдите остаток от деления этого числа на 30.
43
Решение. Обозначим число, о котором идет речь в условии задачи символом.
С учетом условия задачи можно написать
, , . Тогда
. Числа, соответствующие такому условию, суще-
ствуют, например:
, число равно 21;
, число равно 51;
при четном числе число
не является целым.
Очевидно, что чисел бесконечно много, поскольку если , то подойдет число
, тогда . В этих случаях число
имеет остаток 21.
Применим теперь рассуждение, приведенное в предыдущей задаче:
, а
.
Тем самым остаток равен 21, что уже и установлено нами.
Замечание. Решение для задачи 6 стало бы абсолютно верным, если бы мы
рассуждали так: если число, о котором идет речь в условии задачи, существует,
то оно дает остаток 11. Но ни одного такого числа не существует. Поэтому неправильно говорить, что оно дает остаток 11.
Задача 8. Покажите, что если , , то сумма
не мо-
жет быть целым числом.
Решение. Умножим сумму
знаменателей, встречающихся в сумме. Произведение
на произведение всех нечетных
есть
сумма
целых слагаемых, в которые превратятся слагаемые суммы с нечетными
знаменателями, и
дробей вида
c нечетными числителями
.
44
При этом при всех значениях . Ясно, что
для некоторого
. Умножив произведение на
числа
да видно, что число
(
– нечетное число), не являющегося целым числом. Отсю-
не является целым, поэтому число также не мо-
, получим сумму целых чисел и
жет быть целым.
Упражнения
1. Что можно сказать о делимости суммы и разности двух чисел, одно из кото-
рых делится, а другое не делится на число ? Докажите сформулированное
вами утверждение.
2. Что можно сказать о делимости суммы и разности двух чисел, оба из кото-
рых не делятся на число?
3. Докажите что для любого натурального число делится на 2 и не
делится на 4.
Указание. Отсутствие делимости на 4 доказывается по индукции. Индукци-
онный переход: пусть не делится на 4, тогда
.
Поскольку первое слагаемое в сумме по предположению индукции не де-
лится на 4, а второе делится на 4, то
также не делится на 4.
4. С помощью алгоритма Евклида найдите наибольший общий делитель чи-
сел и ; выразите его в виде где если
а) ,
б) 87.
5. Разложите число на простые множители.
6. Докажите, что если
45
,
. Чему равно наимень-
, то
шее общее кратное чисел и ? Вычислите произведение
.
7. Докажите, что для любого целого и любого целого положительного су-
ществует единственное целое число такое, что .
8. Пусть числа и взаимно просты. Докажите, что взаимно просты числа
а) и ,
б) и ,
в) и .
9. Покажите, что если – простое число, то
10. Покажите, что если и – простое число, то
.
11. Покажите, что среди чисел вида , имеется бесконечное множе-
ство простых чисел.
12. Покажите, что для любого натурального числа найдется такое натураль-
.
ное число , что числа – составные.
Указание. Для рассмотрите число
числа , если .
13. Найдите остаток от деления:
а) числа
б) числа
на
на ,
в) числа на ,
г) числа
14. Верно ли равенство
на .
?
. Приведите пример для
46
Индивидуальные задания
1. .
2. .
3.
.
4.
.
5. .
6. .
7. .
8.
.
9. .
10.
.
11.
.
12.
.
13. .
14.
.
15.
.
16. .
17.
37.
18.
.
19. .
20.
.
21.
.
22. .
23.
.
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .
29.
.
30.
.
31. .
1. , .
2. , .
3. , .
4. , .
17. , .
18. ,
19. , .
20. , .
Задание 1 .Докажите методом математической индукции, что если , то
Задание 2. С помощью алгоритма Евклида найдите наибольший общий де-
литель чисел и . Для уравнения
числа , если
47
вычислите целые
5. , .
6. , .
7. , .
8. , .
9. , .
10. , .
11. , .
12. , .
13. , .
14. , .
15. , .
16. , .
21. , .
22. , .
23. , .
24. , .
25. , .
26. , .
27. , .
28. , .
29. , .
30. , .
31. , .
Задание 3. Найдя разложение чисел и на простые множители, вычислите
1.
,
17.
,
2.
,
18.
,
3.
,
19.
,
4.
,
20.
,
5.
,
21.
,
6.
,
22.
,
7.
,
23.
,
8.
,
24.
,
9.
,
25.
,
10.
,
26.
,
11.
,
27.
,
12.
,
28.
,
13.
,
29.
,
14.
,
30.
,
их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, если
48
15.
,
31.
,
16.
,
Задание 4.Найдите каноническое разложение числа на простые множители.
1.
17.
2.
18.
3.
19.
4.
20.
5.
21.
6.
22.
7.
23.
8.
24.
9.
25.
10.
26.
11.
27.
12.
28.
13.
29.
14.
30.
15.
31.
16.
49
Глава 3. Комплексные числа
Рис. 1
𝑎 𝑏
𝑏
𝑎
𝑥
𝑦
Понятие комплексного числа
Уравнение , как мы знаем, не имеет решения, если – действитель-
ное число.
Попробуем расширить множество действительных чисел так, чтобы уравнение
имело решение. Мы знаем, что действительные числа можно рас-
сматривать как множество точек числовой прямой. На этой прямой должны
быть выбраны
начало отсчета (начало координат),
отрезок единичной длины (масштаб),
положительное направление отсчета.
Добавим к этой прямой вторую ось, проходящую через уже выбранное начало
координат с тем же масштабом и перпендикулярную первой прямой. Будем
отождествлять точки плоскости с парами действительных чисел , координа-
тами точки плоскости в выбранной нами системе координат (рис. 1), и называть
точки получившейся плоскости комплексными числами. Итак, комплексное
число – это точка с координатами
, . Множество всех комплекс-
ных чисел будем обозначать символом (от лат. complex). Действительным
числам соответствуют теперь точки вида
, .
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]