Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Примеры и задачи с использованием Excel. Учебное пособие
.pdf
М.Н. Михин, Т.Б. Белова
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ EXCEL
Учебное пособие
Москва
Ай Пи Ар Медиа
2024
УДК 519.21
ББК 22.171
М69
Авторы:
Михин М.Н. — канд. физ.-мат. наук, доц., зав. кафедрой математических
и естественно-научных дисциплин филиала РГГУ в г. Домодедово;
Белова Т.Б. — канд. техн. наук, доц. кафедры математических
и естественно-научных дисциплин филиала РГГУ в г. Домодедово
Рецензенты:
Казаков К.Е. — канд. физ.-мат. наук, доц., ст. науч. сотр.
Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН;
Степнова О.В. — канд. экон. наук, доц., зав. кафедрой
экономики и управления Ступинского филиала МАИ
Михин, Михаил Николаевич.
М69 Теория вероятностей. Примеры и задачи с использованием Excel :
учебное пособие / М.Н. Михин, Т.Б. Белова. — Москва : Ай Пи Ар Медиа,
2024. — 153 с. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-4497-3325-2
Настоящее учебное пособие подготовлено на основе лекций, читае-
мых преподавателями кафедры математических и естественно-научных
дисциплин филиала РГГУ в г. Домодедово. В издании даны основные понятия теории вероятностей: элементы комбинаторики, случайные события
и их вероятности, основные теоремы теории вероятностей, случайные величины, законы их распределения и числовые характеристики. Рассмотре-
но достаточное количество задач с подробным решением. Приведены примеры использования Excel для вероятностных задач. Также имеются варианты заданий для индивидуальных работ студентов.
Подготовлено с учетом требований Федерального государственного
образовательного стандарта высшего образования.
Учебное пособие предназначено для студентов всех специальностей
и направлений подготовки высшего образования, учебными планами кото-
рых предусмотрено изучение дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика».
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4497-3325-2 © Михин М.Н., Белова Т.Б., 2024
© Оригинал-макет. Оформление.
ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2024
3
Учебное издание
Михин Михаил Николаевич
Белова Татьяна Борисовна
Редактор А.А. Балакирева
Технический редактор, компьютерная верстка Е.В. Савенкова
Обложка Я.А. Кирсанов, С.С. Сизиумова, фотобанк Freepik
Подписано к использованию 17.07.2024. Объем данных 7 Мб.
ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа»
8 800 555 22 35 (бесплатный звонок по России)
E-mail: sales@iprmedia.ru
4
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................. 6
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ...................................... 7
1.1. События. Действия над событиями ................................................................ 7
1.2. Общее определение и свойства вероятности .............................................. 13
2. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ ................ 16
2.1. Классическое определение вероятности ...................................................... 16
2.2. Элементы комбинаторики ............................................................................. 17
2.2.1. Выборки и генеральная совокупность ................................................ 17
2.2.2. Основные правила комбинаторики ..................................................... 18
2.2.3. Перестановки, размещения и сочетания без повторений ............... 18
2.2.4. Перестановки, размещения и сочетания с повторениями .............. 22
2.3. Геометрическое определение вероятности ................................................. 26
2.4. Типовые примеры ........................................................................................... 28
3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ.
ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА .................................... 39
3.1. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей ....................... 39
3.2. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей
взаимно независимых событий ............................................................................ 41
3.3. Теоремы сложения вероятностей ................................................................. 43
3.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса ......................................... 46
3.4.1. Формула полной вероятности ............................................................. 47
3.4.2. Формула Байеса ..................................................................................... 48
3.5. Типовые примеры ........................................................................................... 50
4. СХЕМА БЕРНУЛЛИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ ....................................................................... 66
4.1. Формула Бернулли ......................................................................................... 66
4.2. Формула Пуассона ......................................................................................... 69
4.3. Формулы Муавра — Лапласа ....................................................................... 70
4.4. Типовые примеры ........................................................................................... 73
5
5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ........................... 82
5.1. Понятие случайной величины ...................................................................... 82
5.2. Функция распределения случайной величины ........................................... 82
5.3. Дискретные случайные величины ................................................................ 85
5.4. Непрерывные случайные величины ............................................................. 92
5.5. Функции от случайных величин ................................................................. 100
5.6. Числовые характеристики случайных величин ........................................ 105
5.6.1. Математическое ожидание случайной величины .......................... 105
5.6.2. Математическое ожидание функции от случайной величины.
Свойства математического ожидания ..................................................... 109
5.6.3. Дисперсия. Моменты высших порядков ........................................... 114
5.7. Решение типовых задач ............................................................................... 121
5.7.1. Задачи на дискретные случайные величины .................................... 121
5.7.2. Задачи на непрерывные случайные величины ................................... 132
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ .................................................................... 142
ПРИЛОЖЕНИЯ ..................................................................................................... 150
Приложение 1. Таблица значений функции ..................................................... 150
Приложение 2. Плотность стандартного нормального распределения ......... 151
Приложение 3. Функция распределения стандартного
нормального закона ............................................................................................. 152
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................... 153
6
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих учебный курс
«Теория вероятностей и математическая статистика», и содержит стандартные
задачи разделов: классическое и геометрическое определения вероятности,
элементы комбинаторики, теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы полной вероятности и вероятности гипотез (формула Байеса), схема последовательных независимых испытаний, случайные величины и их основные
характеристики.
Весь материал разбит на 5 глав, в каждой из которых даются основные
теоретические сведения, используемые для решения типовых примеров.
По всему учебному пособию теоретический материал сопровождается
решенными иллюстративными примерами и задачами, позволяющими глубже
понять отдельные положения теории и освоить приемы решения индивидуаль-
ных задач, приведенных конце пособия.
В результате изучения данного пособия студент должен:
1) знать:
– основные понятия и правила комбинаторики: правила сложения и умножения, перестановки, размещения и сочетания;
– понятие случайного события и его вероятности;
– основные теоремы теории вероятностей;
– формулу Бернулли, формулу Пуассона и теоремы Муавра — Лапласа
для схемы последовательных независимых испытаний;
– знать дискретные и непрерывные случайные величины;
– основные законы распределения случайных величин;
– основные функции Excel, используемые в теории вероятностей;
2) уметь:
– вычислять вероятность с применением комбинаторных формул;
– применять основные понятия и теоремы для нахождения вероятностей
различных случайных событий;
– решать задачи на последовательные независимые испытания;
– решать задачи, связанные с законами распределения дискретных слу-
чайных величин: находить ряд распределения, строить функцию распределе-
ния, вычислять числовые характеристики;
– решать задачи, связанные с законами распределения непрерывных слу-
чайных величин: находить плотность и функцию распределения, вычислять
числовые характеристики;
– применять математические и статистические функции Excel при решении вероятностных задач.
7
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ
1.1. СОБЫТИЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ
Пространство элементарных событий. Под опытом (экспериментом,
испытанием) G принято понимать воспроизведение некоторого конкретного
комплекса условий для наблюдения исследуемого явления. Всякое испытание
заканчивается одним и только одним из исходов. Опыт называется случайным,
если его результат точно нельзя предсказать.
Определение. Возможные события ω1, ω2, … опыта G называются эле-
ментарными событиями, если они являются простейшие неделимые и взаим-
но исключающимися и в результате опыта G одно из них обязательно происходит.
Определение. Совокупность Ω всех элементарных событий ω опыта G
называется пространством элементарных событий, или пространством эле-
ментарных исходов.
Пример 1.1. Если монета подбрасывалась один раз, то пространством
элементарных событий будет являться:
1,0=
,
где 1 — элементарное событие, обозначающее появление «герба» при подбрасывании монеты, 0 — элементарное событие, обозначающее появление «решки» при подбрасывании монеты.
Пример 1.2. Если монета три раза (или подбрасываются три монеты), то
пространством элементарных событий будет являться:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,0,0 , 0,0,1 , 0,1,0 , 0,1,1 , 1,0,0 , 1,0,1 , 1,1,0 , 1,1,1=
.
Пример 1.3. Рассмотрим подбрасывание игрального кубика. Очевидно,
что элементарными исходами является число, выпавших очков, т.е. ωi — выпало ровно i очков, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Таким образом, пространство элементарных исходов содержит шесть
элементов:
1 2 3 4 5 6
, , , , ,
=
или
1,2,3,4,5,6=
.
8
События, действия над ними. В теории вероятностей принято рассмат-
ривать три вида событий: случайное, достоверное и невозможное.
Определение. Случайным событием (или просто событием) называется
любое подмножество пространства элементарных событий Ω.
Случайные события будем обозначать заглавными латинскими буквами
А, В, С и т.д.
Определение. Событие называется достоверным, если в результате опы-
та G оно непременно должно произойти.
Очевидно, что достоверное событие равносильно пространству элементарных событий, следовательно, достоверное событие следует обозначать сим-
волом Ω.
Определение. Событие называется невозможным, если в результате
опыта G оно заведомо не может произойти.
Очевидно, что невозможное событие не содержит ни одного элементарного исхода, следовательно, невозможное событие следует обозначать симво-
лом Ø.
Пример 1.4. Пусть X — число выпавших очков при подбрасывании иг-
рального кубика. Тогда:
X > 6 — невозможное событие;
X < 7 — достоверное событие;
X — выпало нечетное число очков — случайное событие.
Определение. Суммой (объединением) событий A и B называется событие:
С A B A B= + =
,
которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из
этих событий. Событию А + В соответствует множество, элементы которого
принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.
На диаграмме Эйлера — Венна сумма событий А + В изображается по
аналогии с операцией объединения двух множеств (рис. 1.1).
Определение. Произведением (пересечением) событий A и B называется событие:
С AB A B==
,
9
которое происходит тогда и только тогда, когда все события происходят одно-
временно. Событию АВ соответствует множество, элементы которого принадлежат одновременно множествам A и B.
Рис. 1.1. Изображение суммы событий
На диаграмме Эйлера — Венна произведение событий АВ изображается
по аналогии с операцией пересечения двух множеств (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Изображение произведения событий
Определение. Разностью событий A и B называется событие:
\С A B A B=−=
,
которое происходит тогда и только тогда, когда событие А произошло, а событие В не произошло. Событию А – В соответствует множество, элементы которого принадлежат множеству A, но при этом не принадлежат множеству B.
10
На диаграмме Эйлера — Венна разность событий А – В изображается по
аналогии с операцией разности двух множеств (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Изображение разности событий
Определение. Событие A называется противоположным событию А, ес-
ли оно состоит в том, что что событие А не происходит. Событию A соответ-
ствует множество элементов пространства Ω, которого не принадлежат множеству A (рис. 1.4), т.е. справедливо соотношение:
\AA=
.
Рис. 1.4. Изображение противоположного события
Определение. События A и B называется несовместимыми, если их сов-
местное появление невозможно, т.е. АВ = Ø.
Определение. События H1, …, Hn образуют полную группу событий, ес-
ли в результате опыта хотя бы одно из них должно произойти, т.е. если
Н
1
+ Н2 + ... + Hn = Ω.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]