Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Примеры и задачи с использованием Excel. Учебное пособие
.pdf
71
Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если в схеме Бернулли n → ∞,
то для всех m справедлива локальная формула Муавра — Лапласа:
( ) ( )
( )
2
2
1
,
1
,.
2
n
x
p m x
npq
m np
x e x
npq
−
−
==
(4.6)
Определение. Функция φ(x), определенная формулой (4.6), называется
плотностью стандартного нормального распределения.
Значения функции φ(x) можно найти одним из следующих способов:
– можно воспользоваться Приложением 2;
– используя функцию НОРМ.СТ.РАСП(z; интегральная) из Excel, в которой аргумент «Интегральная» должен равняться 0 (рис. 4.4).
Очевидно, что функция φ(x) является четной. Поэтому при определении
φ(x) для отрицательных x нужно воспользоваться равенством φ(x) = φ(–x).
Рис. 4.4. Значение функции φ(x) в точке x = 1
Интегральная теорема Муавра — Лапласа. Если в схеме Бернулли
n → ∞, np → ∞, то для вероятности P (m1 ≤ m ≤ m2) того, что число событие А
произойдет не менее m1 и не более m
2
, справедлива приближенная интегральная
формула Муавра — Лапласа.
72
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
1 2 2 1
2
12
12
,
1
,
2
,.
n
хx
y
p m m m x x
х y dy e dy
π
m np m np
xx
npq npq
−
− −
−
= =
−−
==
(4.7)
Определение. Функция Ф(x), определенная формулой (4.7), называется
функцией распределения стандартного нормального распределения. Значения функции Ф(x) можно найти одним из следующих способов:
– можно воспользоваться Приложением 3;
– используя функцию НОРМ.СТ.РАСП(z; интегральная) из Excel, в которой аргумент «Интегральная» должен равняться 1 (рис. 4.5).
Функцию Ф(x) при отрицательных значениях переменной можно определить по формуле Ф(–x) = 1 – Ф(x).
Рис. 4.5. Значение функции Ф(x) в точке x = 1
Замечание. Если x ≥ 3, то значения функции Ф(x) приравнивать к 1.
В интегральной теореме Муавра — Лапласа наряду с нункцией Ф(x) также принято использовать функцию:
( )
2
2
0
0
1
2
x
y
х e dy
π
−
=
,
которая является нечетной, т.е. Ф
0
(–x) = Ф0(x).
73
Между ними существует простая взаимосвязь:
( ) ( )
0
1
2
хх = +
.
Значения функции Ф
0
(x) для неотрицательных значений аргумента можно
найти, используя функцию ГАУСС из Excel.
4.4. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ
Пример 1. Стрелок попадает в мишень с вероятностью р = 0,8. Найти
вероятность того, что в результате пяти независимых выстрелов стрелок попадает:
a) ровно четыре раза;
б) не менее трех раз;
в) хотя бы один раз.
Решение. По условию задачи заданы следующие исходные данные:
5; 0,8; 1 1 0,8 0,2n p q p= = = − = − =
.
а) для решения данной задачи применим формулу (4.1), в которой число
успехов равно m = 4. Таким образом, искомая вероятность:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 5 4 4 1
4
55
5!
4 0,8 0,2 0,8 0,2 0,4096
4!1!
pC
−
= = =
.
Для нахождения вероятности
( )
414
55
4p C p q=
можно воспользоваться
функцией БИНОМ.РАСП из Excel (рис. 4.6);
б) применив (4.3), найдем вероятность p5 (≥ 3) того, что результате пяти
независимых выстрелов стрелок попадает не менее трех:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 5 5 5 5
3 5 3 4 5 4 5 5 5
3 4 5
5 5 5
3 2 4 5
3 3 5 3 4 5
0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2
5! 5! 5!
0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 0,9415.
3!2! 4!1! 5!0!
p p m p p p
C C C
− − −
= = + + =
= + + =
= + + =
74
Рис. 4.6. Значение вероятности p5(4), найденной по формуле Бернулли
в) применив (4.3), найдем вероятность p5 (≥ 1) того, что результате пяти
независимых выстрелов стрелок попадает хотя бы один раз:
( ) ( )
5
55
1 1 0 1 0,2 0,99968p m p = − = − =
.
Пример 2. Предприятие поставляет свою продукцию 22 магазинам, от
каждого из которых, независимо от заявок других магазинов, может поступить
заявка на очередной день с вероятностью 0,6. Найти наивероятнейшее число
заявок.
Решение. Исходные данные:
22; 0,6; 1 0,4n p q p= = = − =
.
Используя (4.4), найдем наивероятнейшее число заявок:
0
0
0
,
22 0,6 0,4 22 0,6 0,6,
12,8 13,8.
np q m np p
m
m
− +
− +
Так как m0 — целое число, то наивероятнейшее число m0 = 13.
Пример 3. Магазин получил 500 бутылок сока. Вероятность того, что при
перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что
число разбитых бутылок:
а) ровно три;
б) меньше трех;
в) больше одной.
75
Решение. Исходные данные:
500; 0,003; 500 0,003 1,5n p np
= = = = =
.
Так как число испытаний n = 1 000 достаточно «велико», вероятность
p = 0,002 — достаточно «мала», а λ = np = 1,5 < 10, целесообразно применение
формулы Пуассона (4.5):
а) при m = 3, получаем:
( )
2
1,5
500
1,5
3 0,1255
! 3!
m
p e e
m
−−
= =
.
Для нахождения вероятности p
500
(3) можно воспользоваться функцией
ПУАССОН.РАСП из Excel (рис. 4.7);
Рис. 4.7. Значение вероятности, найденной по формуле Пуассона
для трех успешных испытаний при λ = 1,5
б) при m < 3, получаем:
( ) ( ) ( ) ( )
500 1000 1000 1000
0 1 2
1,5 1,5 1,5
3 0 1 2
1,5 1,5 1,5
0! 1! 2!
0,2231 0,3347 0,2510 0,8088.
p m p p p
e e e
− − −
= + +
+ + =
= + + =
76
в) переходя к вероятности противоположного события, получаем:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
500 500 500 500
1 1 1 1 0 1
1 0,2231 0,3347 0,4422.
p m p m p p = − = − + =
= − + = •
Пример 4. Найти вероятность того, что среди 1 460 человек ровно трое
родились 29 февраля.
Решение. Вероятность того, что один конкретный человек родился
29 февраля, равна р = 1 / 1 461, так как 29 февраля бывает ровно 1 раз в 4 года.
Далее находим коэффициент λ:
1
1461
1
1460 == np
.
Применяя формулу Пуассона, получаем:
31
1460
(3) 0,0613
3! 6
e
pe
−
−
= =
.
Аналогичный результат получим, используя функцию ПУАССОН.РАСП
(3;1;0) из Excel.
Пример 5. Симметричную монету бросают 400 раз. Определить вероят-
ность появления герба:
а) от 185 до 210 раз;
б) ровно 200 раз;
в) не менее 200 раз.
Решение. Для решения задачи применим локальную и интегральную теоремы Муавра — Лапласа, для которых n = 400, так как монету подбрасывали
400 раз, p = q = 1/2, так как монета симметрична.
Вычислим промежуточные величины, присутствующие в локальной и ин-
тегральной формулах:
400 0,5 200; 200 0,5 100; 100 10np npq npq= = = = = =
.
77
а) используя интегральную теорему Муавра — Лапласа, получим:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
21
210 185
185 210
210 200 185 200
1 1 5 0,8413 0,0668 0,7745.
10 10
np np
P m x x
npq npq
,
−−
− = − =
−−
= − = − − = − =
Для нахождения Ф(1) и Ф(–1,5) применяем либо Приложение 3, либо
функцию НОРМ.СТ.РАСП из Excel (рис. 4.8);
Рис. 4.8. Значения функции Ф(x) в точках x = 1 и x = –1,5
б) используя локальную теорему Муавра — Лапласа, получим:
( ) ( )
( )
400
1 1 200
200
1 200 100 1
0 0,03989.
10 10 10
np
px
npq npq npq
−
= =
−
= = =
Для нахождения φ(0) применяем либо Приложение 2, либо функцию
НОРМ.СТ.РАСП из Excel:
( )
НОРМ.СТ.РАСП 0;0 0,3989.==
в) используя интегральную теорему Муавра — Лапласа, получим:
( ) ( )
( ) ( )
400 400
400 200
200 200 400
400 200 200 200
20 0 1 0,5 0,5.
10 10
np np
p m p m
npq npq
−−
= − =
−−
= − = − = − =
Таким образом поставленная задача решена.
78
Пример 6. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,05.
Найти вероятности того, что в партии из 180 деталей число бракованных дета-
лей окажется:
а) равно 10;
б) не менее 15.
Решение. Вычислим промежуточные величины, присутствующие в ло-
кальной и интегральной формулах:
0,05p =
;
1 1 0,05 0,95qp= − = − =
;
180 0,05 18 0,5 9np = = =
;
180 0,05 0,95 9 0,95 8,55; 8,55 2,92.npq npq= = = = =
а) используя локальную теорему Муавра — Лапласа, получим:
( ) ( ) ( )
180
1 1 10 9 1
10 0,34 0,03989
2,92 2,92 2,92
px
npq
−
= = =
;
б) используя интегральную теорему Муавра — Лапласа, получим:
( ) ( )
( ) ( )
180 180
180 15
15 15 180
180 9 15 9
58,48 2,05 1 0,98 0,02.
2,95 2,95
np np
p m p m
npq npq
−−
= − =
−−
= − = − = − =
Таким образом поставленная задача решена.
Пример 7. Команда состоит из 10 отличных и 15 хороших стрелков.
Каждый стрелок производит по своей мишени 5 независимых выстрелов. От-
личный стрелок при каждом выстреле попадает в цель с вероятностью 0,9, хо-
роший — с вероятностью 0,8. Определить вероятность того, что общее число
попаданий будет не менее 110.
79
Решение. Найдем вероятность попадания при одном выстреле для произ-
вольного стрелка. Для этого воспользуемся формулой полной вероятности.
Пусть искомое событие А — мишень поражена одним стрелком. Рассмотрим
следующие гипотезы:
H1 — стреляет отличный стрелок;
H2 — стреляет хороший стрелок.
Очевидно, что:
( )
1
10 2
10 15 5
PH ==
+
;
( )
2
10 3
10 15 5
PH ==
+
;
( )
1
0,9P A H =
;
( )
1
0,8P A H =
.
Отсюда получаем:
( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 2 2
23
0,9 0,8 0,84
55
p P A P H P A H P H P A H= = + = + =
;
1 1 0,84 0,16qp= − = − =
.
Заметим, что общее число выстрелов равно:
10 5 15 5 125N = + =
.
Теперь найдем вероятность р
125
(≥ 110) того, что при 125 выстрелах число
попаданий будет не менее 110. Для этого применим интегральную теорему Муавра — Лапласа:
1
110 110 125 0,84
1,25
125 0,84 0,16
np
x
npq
− −
= =
;
80
2
125 125 125 0,84
5
125 0,84 0,16
np
x
npq
− −
= =
;
( ) ( )
125 125 2 1
100 110 125
5 1,25 1 0,8944 0,1056.
p m p m x x = − =
= − = − =
Таким образом поставленная задача решена.
Пример 8. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле р = 0,6.
Найти наименьшее число выстрелов, которое надо произвести по мишени, что-
бы с вероятностью 0,95 число попаданий было не менее 70.
Решение. По условию задачи 0,95 = pn(m ≥ 70). Для вычисления
pn(m ≥ 70) применим интегральную теорему Муавра — Лапласа:
( ) ( )
70
0,95 70 70
2 70 0,6 70 0,6
1.
3
0,24 0,24
nn
n np np
p m p m n
npq npq
n n n
nn
−−
= = − =
−−
= − = −
Заметим, что мы использовали то, что при больших значениях x (x ≥ 3)
Ф(x) ≈ 1.
Далее получаем:
70 0,6
0,05
0,24
n
n
−
=
.
Используя Приложение 3, находим, что
70 0,6
1,6449
0,24
n
n
−
=−
.
Аналогичный результат можно получить, используя функцию НОРМ.СТ.
ОБР из Excel (рис. 4.9).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]