Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Примеры и задачи с использованием Excel. Учебное пособие
.pdf
31
Для вычисления числа сочетаний
6
36
A
можно воспользоваться функцией
ПЕРЕСТ:
( )
ПЕРЕСТ 36;6 140210240==
.
Число благоприятных исходов (выбираем одну из четырех мастей, затем
из 9 карт данной масти выбираем последовательно 6 карт):
4 9 8 7 6 5 4 241920m = =
.
Используя классическое определение вероятности, получаем:
241920
0,000173
140210240
m
p
n
= = =
;
б) вероятность того, среди них 5 карт одной масти (событие B).
1 способ. В первом решении будем предполагать, что 6 карт взяли одно-
временно, т.е. порядок карт не учитывается.
Число всех возможных исходов (число способов выбрать 6 карт из
36 возможных) определяем с помощью сочетаний:
6
36
36! 31 32 33 34 35 36
1947792
30! 6! 2 3 4 5 6
nC
= = = =
.
Число благоприятных исходов (выбираем одну из четырех мастей, затем
из 9 карт данной масти выбираем 5 карт и еще одну из 27 оставшихся):
55
99
9! 6 7 8 9
4 27 108 108 108 13608
5! 4! 2 3 4
m C C
= = = = =
.
Используя классическое определение вероятности, получаем:
( )
5
9
6
36
4 27 13608
0,006986
1947792
mC
PB
nC
= = = =
.
32
2 способ. Во втором решении выбор карт будем производить последовательно. Тогда число всех возможных исходов определяем с помощью размещений:
6
36
36!
31 32 33 34 35 36 140210240
30! 6!
nA= = = =
.
Число благоприятных исходов (выбираем одну из четырех мастей, затем
из 9 карт данной масти выбираем последовательно 5 карт и еще одну из
27 оставшихся, которая может быть выбрана любой по счету):
( )
4 9 8 7 6 5 27 6 108 9 8 7 6 5 9797760m = = =
.
Используя классическое определение вероятности, получаем:
( )
9797760
0,006986
140210240
m
PA
n
= = =
.
Пример 5. Найти вероятность того, что четырехзначный номер билета не
содержит одинаковых цифр.
Решение. Число всевозможных исходов — n = 104 = 10 000.
Число благоприятных исходов (первая цифра — любая из 10 возможных,
вторая цифра не должна совпадать с первой цифрой, третья цифра не должна
совпадать с первыми двумя и т.д.):
10 9 8 7 5040m = =
.
Таким образом, используя классическое определение вероятности, получаем:
5040
0,504
10000
m
pn= = =
.
Пример 6. Найти вероятность того, что билет, номер которого состоит из
шести цифр, читается одинаково слева направо и справа налево.
Решение. Число всевозможных исходов — n = 106 = 1 000 000.
33
Число благоприятных исходов (первая цифра — любая из 10 возможных,
вторая цифра — любая из 10 возможных, третья цифра — любая из 10 возможных, четвертая цифра должна совпасть с третьей цифрой, пятая цифра должна
совпасть с второй цифрой, шестая цифра должна совпасть с первой цифрой):
10 10 10 1 1 1 1000m = =
.
Используя классическое определение вероятности, получаем:
1000
0,001
1000000
m
pn= = =
.
Пример 7. Пять конвертов случайным образом раскладываются в пять
ящиков. Найти вероятность того, что в каждом ящике окажется ровно один
конверт.
Решение. Число всевозможных исходов (каждый конверт может оказать-
ся в каждый из ящиков):
5
5n =
.
Число благоприятных исходов (число способов переставить между собой
5 конвертов):
5!m =
.
Используя классическое определение вероятности, получаем:
54
5! 4! 24
0,0384
5 5 625
m
p
n
= = = = =
.
Пример 8. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Из урны случайным обра-
зом извлекают два шара. Найти вероятность того, что они оба белые.
Решение. Число всевозможных исходов (выбираем два шара из 18 воз-
можных):
( )
2
18
18! 18! 1 2 ... 16 17 18 17 18
153
2! 18 2 ! 2!16! 1 2 1 2 ... 16 2
nC
= = = = = =
−
.
34
Число благоприятных исходов (выбираем два шара из 10 белых шаров):
( )
2
10
10! 8! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 10
45
2! 10 2 ! 2!8! 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 2
mC
= = = = = =
−
.
Используя классическое определение вероятности, получаем:
2
10
2
18
45
153
mC
p
nC
= = =
.
Пример 9. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Из урны случайным обра-
зом извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что извлекли два белых и три
черных шара.
Решение. Число всевозможных исходов (выбираем 5 шаров из 18 возможных):
( )
5
18
18! 18! 14 15 16 17 18
8568
5! 18 5 ! 5!13! 2 3 4 5
nC
= = = = =
−
.
Число благоприятных исходов (выбираем два шара из 10 белых шаров
и три шара из 8 черных шаров):
( ) ( )
23
10 8
10! 8! 10! 8!
2! 10 2 ! 3! 8 3 ! 2!8! 3!5!
9 10 6 7 8
2520.
2 2 3
m C C= = = =
−−
= =
Используя классическое определение вероятности, получаем:
23
10 8
5
18
2520 5
8568 17
m C C
p
nC
= = = =
.
Пример 10. На один ряд, состоящий из 10 мест, случайно рассаживаются
10 студентов. Найти вероятность того, что 2 определенных студента окажутся
рядом.
Решение. Применим классическое определение вероятности.
35
Число всевозможных исходов (число перестановок из 10 элементов, так
как 10 студентов рассаживаются ровно на 10 мест) — n = 10!
Число благоприятных исходов (двое рассматриваемых студентов могут
между собой меняться местами — 2!, оставшиеся 8 студентов также могут
между собой меняться местами — 8!, два соседних места в ряду из 10 мест —
10 вариантов ((1, 2); (2, 3); (3, 4); (4, 5); (5, 6); (6, 7); (7, 8); (8, 9), (9, 10)):
2! 7! 8m =
.
Согласно, классического определения вероятности, получаем:
2! 8! 9 2
0,2
10! 10
m
p
n
= = = =
.
Пример 11. За круглый стол, состоящий из 10 мест, случайно рассажи-
ваются 10 студентов. Найти вероятность того, что 2 определенных студента
окажутся рядом.
Решение. Рассмотрим два способа решения данного примера.
1 способ. Число всевозможных исходов (число перестановок из 10 элементов, так как 10 студентов рассаживаются ровно на 10 мест) — n = 10!
Число благоприятных исходов (двое рассматриваемых студентов могут
между собой меняться местами — 2!, оставшиеся 9 студентов также могут
между собой меняться местами — 8!, два соседних места за круглым столом из
9 мест — 9 вариантов ((1, 2); (2, 3); (3, 4); (4, 5); (5, 6); (6, 7); (7, 8); (8, 9); (9, 10);
(10, 1)):
2! 7! 9m =
.
Согласно, классического определения вероятности, получаем:
2! 8! 10 2
10! 9
m
p
n
= = =
.
2 способ. Пусть один из двух студентов занял место за круглым столом.
Найдем вероятность того, что второй студент окажется рядом.
Очевидно, что число всевозможных исходов (число свободных мест) —
n = 9; число благоприятных исходов (число соседних мест) — m = 2.
36
Таким образом, используя классическое определение вероятности, получаем:
2
9
m
p
n
==
.
Пример 12. Колода карт (52 листа) делится поровну между четырьмя иг-
роками. Найти вероятность того, что каждый игрок имеет короля (событие А).
Решение. Используя формулу (2.5) числа перестановок с повторениями,
найдем число всевозможных исходов:
( )
4
52! 52!
13!13!13!13!
13!
n ==
.
Найдем число благоприятных исходов. Четыре короля можно упорядочить 4! способами, и каждый порядок представляет одну возможность получения одного короля каждым игроком. Оставшиеся 48 карт, согласно (2.5), можно
распределить
( )
4
48! 48!
12!12!12!12!
12!
=
способами. Таким образом, число благопри-
ятных исходов равно:
( )
4
48!
4!
12!
m =
.
Следовательно, искомая вероятность равна:
( )
( ) ( )
44
48! 52!
4! : 0,105
12! 13!
PA=
.
Пример 13. На доске записана последовательность длины 10, состоящих
из цифр 0, 1, 2, 4. Найти вероятности следующих событий:
а) последовательность содержит ровно 4 единицы (событие A);
б) последовательность содержит 4 нуля, 2 единицы, 3 двойки и 1 четверка
(событие B).
37
Решение. Число всевозможных исходов (каждый элемент последовательности может принимать одно из четырех значений):
10
4n =
.
Число благоприятных исходов для события A (выбираем 4 из 10 элементов последовательности для записи единиц, а остальные 6 элементов могут
принимать одно из трех значений):
46
10
C3
A
m =
.
Следовательно, вероятность события A равна:
( )
46
10
10
C 3 153090
0,145998
4 1048576
PA
= = =
.
Число благоприятных исходов для события B найдем, используя (2.6):
10!
12600
4! 2! 3!1!
B
m ==
.
Следовательно, вероятность события B равна:
( )
10
12600
0,012016
4
PA=
.
Пример 14. Для уменьшения общего количества игр 16 футбольных ко-
манд разбили на две группы. Определить вероятность того, что две наиболее
сильные команды окажутся:
а) в разных подгруппах (событие A);
б) в одной подгруппе (событие B).
Решение. Рассмотрим два способа решения данного примера.
1 способ. Число всевозможных исходов (число способов выбрать 8 команд из 16 возможных):
( )
8
16
16! 16!
8! 16 8 ! 8! 8!
n С= = =
−
.
38
Число благоприятных исходов для события A (выбираем 1 из 2 сильных
и 7 из 14 обычных команд):
( ) ( )
17
2 14
2! 14! 2 14!
1! 2 1 ! 7! 14 7 ! 7! 7!
A
m СС
= = =
− −
.
Следовательно, вероятность события A равна:
( )
2 14! 16! 2 14! 8! 8! 8
:
7! 7! 8! 8! 7! 7! 16! 15
PA
= = =
.
Число благоприятных исходов для события B (выбираем 1 из 2 групп
и 6 из 14 обычных команд):
( )
6
14
14! 2 14!
22
6! 14 6 ! 6! 8!
B
m С
= = =
−
.
Следовательно, вероятность события B равна:
( )
2 14! 16! 2 14! 8! 8! 7
:
6! 8! 8! 8! 6! 8! 16! 15
PA
= = =
.
2 способ. Пусть для одной из команд группа выбрана. Далее решаем задачу относительно второй команды.
Число всевозможных исходов (число свободных мест) — n = 15.
Число благоприятных исходов для события A (8 свободных мест в противоположной группе) — mA = 8.
Следовательно, вероятность события A равна:
( )
8
15
A
m
PAn==
.
Число благоприятных исходов для события B (7 свободных мест той же
группе) — mB = 7.
Следовательно, вероятность события B равна:
( )
7
15
B
m
PBn==
.
39
3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ.
ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА
3.1. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.
ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть известно, что событие B произошло. Требуется найти вероятность
события A. Тот факт, что событие B произошло приводит к изменению пространства элементарных событий так, что именно событие B теперь играет роль
достоверного события.
Пример 3.1. Бросаются два игральных кубика. Найдем вероятность того,
что сумма выпавших очков равна 8, если заранее известно, что
а) сумма выпавших очков есть четное число;
б) сумма выпавших очков больше 6;
с) сумма выпавших больше 10.
Решение. Выпишем всевозможные исходы:
1-й кубик
2-й кубик
1 2 3 4 5
6
1
2 3 4 5 6 7 2
3 4 5 6 7 8 3
4 5 6 7 8 9 4
5 6 7 8 9
10
5
6 7 8 9 10
11 6 7 8 9
10
11
12
а) из таблицы видно, что число всевозможных исходов равно 36, но число
исходов, удовлетворяющих условию, при которых сумма очков есть четное
число, равно 18. Из них ровно в 5 исходах сумма очков равна 8. Пользуясь
классическим определением вероятности, находим, что искомая вероятность
равна р = 5 / 18;
б) число исходов, удовлетворяющих условию, при которых сумма выпавших больше 6, равно 21. Пользуясь классическим определением вероятности, находим, что искомая вероятность равна р = 5 / 21;
с) в этом случае искомая вероятность равна 0, так два рассматриваемых
события являются несовместными.
40
Заметим, что безусловная вероятность того, что сумма выпавших очков,
равная 8, равна 5 / 36, т.е. задание дополнительного условия может повлиять на
вычисление вероятности.
Найдем условную вероятность P(А | В) события А при условии, что событие В уже произошло.
Для простоты рассмотрим классическую схему. Естественно положить,
что данная вероятность есть отношение числа исходов m
АВ
, благоприятных
совместному (одновременному) осуществлению событий А и В, к числу исходов, благоприятных событию В, т.е.
( )
AB
B
m
P A B
m
=
.
Разделив числитель и знаменатель на число всевозможных исходов n, получим:
( )
( )
( )
AB
B
P AB
mn
P A B
m n P B
==
.
Последняя формула может служить общим определением условной веро-
ятности.
Определение. Условной вероятностью P(А | В) события А при условии,
что событие В уже произошло, называется отношение вероятности совместного
(одновременного) осуществления событий А и В к вероятности события В:
( )
( )
( )
Р АB
P A B
РB
=
. (3.1)
Из формулы (3.1) вытекает равенство P(АВ) = P(В) P(А | В). Исходя из
симметричности использования букв в выражении P(AB) имеет место формула:
( ) ( )
( )
P AB P A P B A=
.
Очевидно, что обе формулы можно объединить в одну формулу, которую
принято называть теоремой умножения вероятностей для двух событий.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]