Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Примеры и задачи с использованием Excel. Учебное пособие
.pdf
41
Теорема (умножения вероятностей для двух событий). Вероятность
произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на
условную вероятность другого, при условии, что первое произошло:
( ) ( )
( )
( )
( )
P AB P B P A B P A P B A==
. (3.2)
Формула (3.2) обобщается на случай любого конечного числа событий.
Замечание. Теорема умножения применима и в том случае, когда одно из
событий А и B является невозможным событием. Так если событие В является
невозможным, то в этом случае вместе с Р(В) = 0 имеют место равенства
P(А | В) = 0 и P(АВ) = 0.
Теорема (умножения вероятностей для n произвольных событий событий):
( )
( )
( ) ( )
( )
1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1
... ... ...
n n n
P A A A P A P A A P A A A P A A A A
−
=
. (3.3)
Пример 3.2. При подготовке к экзамену по «Теории вероятностей» сту-
дент выучил 15 из 20 экзаменационных вопросов. Вычислить вероятность того,
что студент ответит на каждый из трех вопросов экзаменационного билета.
Решение. Обозначим события:
А
1
— студент знает ответ на первый вопрос билета;
А
2
— студент знает ответ на второй вопрос билета;
А
3
— студент знает ответ на третий вопрос билета.
В силу зависимости событий А
1
, А2 и А3 для нахождения вероятности их
произведения применяем (3.3):
( )
( )
( )
( )
1 2 3 1 2 1 3 1 2
15 14 13
0,3991.
20 19 18
P A A A P A P A A P A A A= = =
3.2. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ВЗАИМНО НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ
Определение. События A и B называются независимыми, если условная
вероятность любого из них равна безусловной, т.е. выполняются равенства:
( )
( )
APBAP =
; (3.4)
42
( )
( )
P B A P B=
.
В этом случае формула (3.2) упрощается и принимает вид:
( ) ( ) ( )
BPAPABP =
.
Перейдем к понятию независимости n событий, которое базируется на
понятии независимости двух событий.
Определение. События А1, А2, …, Аn называются взаимно независимыми
(независимыми в совокупности), если каждое из них не зависит от произве-
дения любого числа остальных событий и от каждого в отдельности.
Замечание. Из попарной независимости событий Аi и Аj (i ≠ j, i, j = 1, n) не
следует, что события А1, А2, …, Аn независимы в совокупности (взаимно независимы) (см. пример 3.5).
Теорема (умножения вероятностей для n взаимно независимых событий событий). Если события А1, А2, …, Аn независимы, то
( )
( ) ( )
( )
1 2 1 2
... ...
nn
P A A A P A P A P A=
.
Пример 3.3. Пусть события A и B независимы. Доказать, что независи-
мыми являются пары событий
А
и B, A и В, А и В.
Решение. Применяя определение независимости событий и используя вероятность противоположного события, имеем:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
11P B A P B A P B P B P B A P B= − = − = =
;
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
11
1
11
1;
P A B P A B
P A B
P A B
PB
P B P B
P A P B
P A P B Р А Р В
P B P B
P A P A P A B P A
+
−+
= = = =
−
−−
−−+
= = =
−−
= − = =
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
11P A B P A B P A P A P A B P A= − = − = =
.
43
Пример 3.4. Зависимы или независимы несовместные события?
Решение. Пусть события A и B несовместные, т.е.
=AB
, причем
P(В) ≠ 0. Тогда P(А | В) = 0, так как события не пересекаются. Следовательно,
A и B зависимы. Таким образом, несовместные события зависимы.
Пример 3.5. Пусть эксперимент состоит в выборе одного из четырех ша-
ров. Пусть три из них занумерованы цифрами 1, 2, 3, а на четвертом шаре имеются все эти цифры. Обозначим через Ai (i = 1, 2, 3) событие, состоящее в том,
что на выбранном шаре имеется цифра i. Являются ли события А1, А2 и А3 независимыми.
Решение. Так как, каждая цифра встречается дважды, то
( ) ( ) ( )
2
1
4
2
321
==== APAPAP
.
Так как две различные цифры присутствуют только на одном шаре, то
( ) ( ) ( )
4
1
313221
=== AAPAAPAAP
,
следовательно, события А1, А2 и А3 попарно независимы.
Все три различные цифры присутствуют только на одном шаре:
( ) ( ) ( ) ( )
8
1
4
1
321321
== APAPAPAAAP
.
Таким образом, получаем, что события А
1
, А2 и А3 зависимы в совокупно-
сти, в то время как они являются попарно независимыми.
3.3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Аксиома сложения вероятностей Р(А + В) = Р(А) + Р(В) выражает правило
сложения вероятностей для несовместных событий. Если же рассматриваемые
события A и B окажутся совместными, то правило сложения вероятностей
усложняется.
Теорема (сложения вероятностей для двух событий). Для двух произ-
вольных событий A и B вероятность появления хотя бы одного из этих событий
44
(т.е. вероятность суммы событий A и B) равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е.
( ) ( ) ( ) ( )
P A B P A P B P AB+ = + −
. (3.5)
Обозначим:
mA — число элементарных событий, благоприятствующих событию A;
mB — число элементарных событий, благоприятствующих событию B;
mAB — число элементарных событий, благоприятствующих совместному
осуществлению событий A и B;
m
A + B
— число элементарных событий, благоприятствующих осуществле-
нию сумме событий A и B.
Используя теорему о количестве элементов объединения двух произвольных множеств, получим равенство:
A B A B AB
m m m m
+
= + −
.
Разделив данное равенство на число всех возможных исходов n, получим:
A B A B AB
m m m m
n n n n
+
= + −
или
( ) ( ) ( ) ( )
P A B P A P B P AB+ = + −
.
Пример 3.6. Бросают две монеты. Рассматриваются два события:
A — выпадение «герба» на первой монете;
B — выпадение «герба» на второй монете.
Найти вероятность события A + B.
Решение. Очевидно, что пространство элементарных исходов состоит из
четырех исходов: «герб» — «герб», «герб» — «решка», «решка» — «герб»,
«решка» — «решка».
Применим теорему сложения вероятностей.
Очевидно, что P(A) = P(В) = 1/2 и P(АВ) = 1/4, так как событию AB благоприятствует всего один исход, а число возможных исходов равно 4.
45
Окончательно, применив (3.5), получим:
( )
1 1 1 3
2 2 4 4
P A B+ = + − =
.
Заметим, что задачу можно решить с помощью противоположного собы-
тия. Рассмотрим событие
AB+
— выпадение пары «решка» — «решка».
Для трех событий формула сложения вероятностей имеет вид:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
.
P A B С P A P B P С
P AB P AС P BС P ABС
+ + = + + −
− − − +
Теорема (сложения вероятностей для n событий). Для вероятности
суммы n событий справедливо равенство:
( )
( )
( )
( )
( )
11
,1
12
, , 1
... 1 ... .
n n n
i i i j
i i i j
ij
n
n
i j k n
i j k
i j k
P A P A P A A
P A A A P A A A
= =
=
=
= − +
+ − + −
Теорема (сложения вероятностей для n взаимно независимых событий). Для вероятности суммы n взаимно независимых событий справедливо
равенство:
( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
... 1 ... .
nn
P A A A P A P A P A+ + + = −
Применив формулу де Моргана в общей записи:
1 2 1 2
... ...
nn
A A A A A A+ + + =
,
получим:
( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
... 1 ... 1 ...
n n n
P A A A P A A A P A A A+ + + = − + + + = −
.
46
Так как события А1, А2, …, Аn взаимно независимы, то противоположные
им события
12
, ,...,
n
A A A
будут также взаимно независимы (см. пример 3.3).
Тогда, применив теорему об умножении вероятностей для взаимно независимых событий, получаем:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2
... 1 ... 1 ... .
n n n
P A A P A A P A P A P A+ + = − = −
Теорема (сложения вероятностей для n взаимно независимых событий). Для вероятности суммы n зависимых в совокупности событий справед-
ливо равенство:
( )
( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 1 2 1
... 1 ... ... .
n n n
P A A A P A P A A P A A A A
−
+ + + = −
(3.6)
Пример 3.7. При подготовке к экзамену по «Теории вероятностей» сту-
дент выучил 15 из 20 экзаменационных вопросов. Вычислить вероятность того,
что студент ответит хотя бы на один вопрос из трех вопросов экзаменационного билета.
Решение. Обозначим события:
А
1
— студент знает ответ на первый вопрос билета;
А
2
— студент знает ответ на второй вопрос билета;
А
3
— студент знает ответ на третий вопрос билета.
В силу зависимости событий А
1
, А2 и А3 для нахождения вероятности
наступления хотя бы одного из них, применим (3.6):
( )
( )
( ) ( )
1 2 3 1 2 1 3 1 2
5 4 3
1 1 0,9912.
20 19 18
P A A A P A P A A P A A A+ + = − = − =
3.4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.
ФОРМУЛА БАЙЕСА
Следствием двух основных теорем теории вероятностей — теоремы сложения и умножения вероятностей — является формула полной вероятности
и формула Байеса.
47
3.4.1. Формула полной вероятности
Пусть некоторое событие A может произойти совместно с одним из события H1, …, Hn, образуют полную группу попарно-несовместных событий, т.е.
ij
HH =
при
ij
;
1
...
n
HH+ + =
.
Далее эти события Hi будем называть гипотезами. При этом неизвестно
какая из гипотез предшествовала событию A. Требуется найти вероятность события A. При этом подразумевается, что можно вычислить два набора чисел:
1) P(H1), …, P(Hn) — вероятности гипотез;
2) P(А | H1), …, P(А | Hn) — условные вероятности, соответствующие со-
бытию A и гипотезам H1, …, Hn.
Теорема (формула полной вероятности). Пусть известны гипотезы
H1, …, Hn. Вероятность появления события А, которое может наступить лишь
при условии появления одной из гипотез H1, …, Hn равна сумме произведений
вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A относительно каждого из них, т.е.
( ) ( )
( )
( )
( )
11 nn
P A P H P A H P H P A H= + +
. (3.7)
Событие А можно представить в виде:
( )
1 2 1 2nn
A A A H H H AH AH AH= = + + + = + + +
,
причем события
( )
( )
ij
AH AH =
при i ≠ j, т.е. события АHi и АHj несов-
местны.
Тогда по аксиоме сложения:
( ) ( ) ( )
( )
12 n
P A P AH P AH P AH= + + +
.
Далее, применяя для каждого слагаемого теорему умножения вероятностей:
( ) ( )
( )
i i i
P AH P H P A H=
,
48
получим:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 2 2 nn
P A P H P A H P H P A H P H P A H= + + +
.
Формулу (3.7) называют формулой полной вероятности.
3.4.2. ФОРМУЛА БАЙЕСА
Пусть имеется полная группа попарно-несовместных событий — гипотез
H1, …, Hn. Вероятности этих гипотез до проведения опыта известны и равны
соответственно Р(H1), …, Р(Hn). Эти вероятности называются априорными.
Требуется найти условную вероятность P(Hi | A) события H
i
, если известно, что
событие A произошло. Условные вероятности P(H1 | A), …, P(Hn | A) называются апостериорными.
Теорема (формула Байеса, формула вероятности гипотез). Если собы-
тие A произошло, то условные вероятности P(Hi | A) вычисляются по формуле,
которая носит название формулы Байеса:
( )
( )
( )
( )
ii
i
P H P A H
P H A
PA
=
. (3.8)
По определению условной вероятности, имеем:
( )
( )
( )
i
i
P AH
P A H
PA
=
.
Далее, применяя теорему умножения вероятностей:
( ) ( )
( )
i i i
P AH P H P A H=
,
получаем:
( )
( )
( )
( )
ii
i
P H P A H
P H A
PA
=
.
49
Если после опыта, который заканчивается появлением события A, производится еще один опыт, в котором появляется или не появляется событие B, то
условная вероятность этого последнего события вычисляется по формуле полной вероятности, в которую подставлены не прежние вероятности гипотез
Р(Hi), а новые P(Hi | A):
( ) ( )
( )
1
n
kk
k
P B A P H A P B H A
=
=
.
Пример 3.8. Имеются 3 урны состава I (по 6 белых и 4 черных шара),
5 урн состава II (по 7 белых и 3 черных шара) и 2 урны состава III (по 8 белых
и 2 черных шара). Случайным образом была выбрана урна, из которой случайным образом извлекли шар. Требуется найти:
а) вероятность того, что извлеченный шар оказался белым;
б) вероятность того, что была выбрана урна состава III, если извлеченный
шар оказался белым.
Решение:
а) для нахождения вероятности того, что извлеченный шар оказался белым, применим формулу полной вероятности. Рассмотрим событие: A — выбранный шар оказался белым.
Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез (одного из
событий, образующих полную группу событий):
H1 — выбрана урна состава I;
H2 — выбрана урна состава II;
H3 — выбрана урна состава III.
Вероятности гипотез:
( ) ( )
( )
1 2 3
3 5 2
0,3; 0,5; 0,2
3 5 2 3 5 2 3 5 2
P H P H P H= = = = = =
+ + + + + +
.
Условные вероятности:
( )
1
6
0,6
64
P A H ==
+
— вероятность выбора белого шара, при условии
того, изначально она находилась в урне состава I;
( )
2
7
0,7
73
P A H ==
+
— вероятность выбора белого шара, при условии
того, изначально она находилась в урне состава II;
50
( )
3
8
0,8
82
P A H ==
+
— вероятность выбора белого шара, при условии
того, изначально она находилась в урне состава III.
Используя формулу полной вероятности, найдем вероятность выбора бе-
лого шара:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 2 2 3 3
0,3 0,6 0,5 0,7 0,2 0,8 0,69.
P A P A H P H P A H P H P A H P H= + + =
= + + =
б) для нахождения вероятности того, что была выбрана урна состава III,
если извлеченный шар оказался белым применим формулу Байеса:
( )
( )
( )
( )
33
3
0,2 0,8 16
.
0,69 69
P A H P H
P H A
PA
= = =
3.5. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ
Пример 1. На семи карточках написаны буквы, образующие слово «теле-
фон». После перестановки карточек наудачу последовательно берут пять из
них, и прикладывают справа одну к другой. Найти вероятность образования
слова «фенол».
Решение. Применим теорему умножения вероятностей для нескольких
событий. Вероятность Р(Ф) того, что первой буквой будет «Ф», равна 1/7. Вероятность P(E | Ф) того, что второй буквой будет «Е», при условии, что букву
«Ф» уже взяли, равна 2/6 и т.д. В итоге, согласно (3.3), получаем:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 1 1
.
7 6 5 4 3 1260
P ФЕНОЛ P Ф P Е Ф P Н ФЕ P О ФЕН P Л ФЕНО==
= = •
Пример 2. При трехкратном подбрасывании монеты выпало два «герба».
Найти условную вероятность того, что при втором подбрасывании выпал
«герб».
Решение. Рассмотрим следующие события:
B — при трехкратном подбрасывании выпало два «герба»;
A — при втором подбрасывании выпал «герб».
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]