Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Примеры и задачи с использованием Excel. Учебное пособие
.pdf
81
Рис. 4.9. Обратное значение функции стандартного
нормального распределения для вероятности 0,05
Решая последнее уравнение для натуральных значений n, получаем, что
n = 132.
82
5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
5.1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Пусть Ω — пространство элементарных событий.
Определение. Случайной величиной X = X(ω) называется функция, за-
данная на пространстве Ω, принимающая вещественные значения.
В дальнейшем случайные величины будут обозначаться заглавными бук-
вами: X, Y, Z и т.д., а их числовые значения строчными буквами: x, y, z и т.д.
Примерами случайных величин являются:
– число очков, выпавших при бросании игрального кубика;
– число очков, выпавших при бросании шести игральных кубиков;
– число успешных испытаний в схеме Бернулли;
– количество студентов, присутствующих на занятии;
– время ожидания общественного транспорта;
– координата точки, упавшей на отрезок [0; 1].
В общем случае случайные величины делятся на дискретные и непре-
рывные.
Определение. Случайная величина называется дискретной, если множе-
ство ее значений конечно или счетно, т.е. все ее значения можно пронумеровать
натуральными числами.
Определение. Непрерывной называется случайная величина, возможные
значения которой непрерывно заполняют некоторую область.
5.2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Важнейшей характеристикой случайной величины является ее функция
распределения.
Определение. Функцией распределения (вероятностей) случайной ве-
личины X называется функция FX(x), значения которой в точке x равно вероятности события {X < x}:
( ) ( )
X
F x P X x=
для всех
( )
;x − +
. (5.1)
Функцию распределения случайной величины X принято обозначать FX(x)
или F(x), если очевидно о распределении какой случайной величины идет речь.
83
Теорема (основные свойства функции распределения). Функция рас-
пределения F(x) случайной величины X обладает следующими свойствами:
1. F(x) ограничена, т.е. 0 ≤ F ≤ 1.
2. F(x) — неубывающая функция при x
( )
;x − +
, т.е. если x1 < x2, то
( ) ( )
21
xFxF
.
3. Вероятность попадания случайной величины X в интервал [x1 ; x2) равна
приращению ее функции распределения на этом промежутке, т.е.
( ) ( ) ( )
1221
xFxFxXxP −=
. (5.2)
4.
( ) ( )
lim 0
x
F F x
→−
− = =
.
5.
( ) ( )
lim 1
x
F F x
→+
+ = =
.
6. F(x) непрерывна слева в каждой точке, т.е.
( ) ( )
0
0
0
lim xFxF
xx
=
−→
.
7. Функция F(x) имеет разрывы первого рода (скачки) в возможных зна-
чениях дискретных случайных величин. При этом величины этих скачков рав-
ны вероятностям, с которыми реализуются соответствующие возможные значе-
ния случайной величины.
1. Ограниченность функции распределения следует из того, что функция
распределения является вероятностью.
2. Если x1 < x
2
, то событие
2
Xx
можно представить как объединение
двух непересекающихся событий
1
Xx
и
12
x X x
. Отсюда, используя
аксиому сложения, получается:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 1 1 2
2 1 2
.
F x P X x P x x P x X x
F x P x X x
= = + =
= +
(5.3)
Так как
( )
12
0P x X x
, из (5.3) следует требуемое соотношение (5.2).
3. Следует из формулы (5.3).
4. Событие
X −
является невозможным событием, следовательно:
( ) ( )
0F P X− = − =
.
84
5. Событие
X +
является достоверным событием, следовательно:
( ) ( )
1F P X+ = + =
.
6. Для любого числа x0 (в том числе, если x0 является значением дискрет-
ной случайной величины), найдется достаточно малое ε > 0 такое, что проме-
жуток
( )
00
;xx
−
не содержит других значений рассматриваемой дискретной
случайной величины. В этом случае события
0
Xx
и
0
Xx
−
неразли-
чимы.
7. Пусть xk является значением случайной величины X. В этом найдется
достаточное малое числа ε > 0, такое, что промежуток
( )
;
kk
xx+
не будет со-
держать других возможных значений случайной величины. В этом случае со-
бытие
k
Xx
+
может быть представлено в виде объединения трех несов-
местных событий:
k k k k k
X x X x X x x X x
+ = +=
.
Отсюда, используя аксиому сложения, получается выражение:
( ) ( ) ( ) ( )
k k k k k
X x X x XP P P Px x X x
+ + +=+=
,
которое, с учетом определения функции распределения, приводит к следующе-
му равенству:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0;
.
k k k
k k k
F F P
PF
x x X x
XxFxx
+=
== −+
= + +
В силу этого свойства по функции распределения дискретной случайной
величины можно однозначно восстановить ее ряд распределения.
С помощью функции распределения можно вычислить вероятность собы-
тия
Xx
:
( ) ( )
1P X x F x = −
.
85
Замечание. Иногда функцией распределения называется вероятность со-
бытия
Xx
. Такое определение ничего не меняет во всех рассуждениях.
Единственное изменение касается свойства 6: функция F(x) будет непрерывной
справа.
5.3. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Как уже говорилось, дискретной называется случайная величина, множе-
ство значений которой конечно или счетно.
Дискретную случайную величину удобно характеризовать рядом распределения.
Определение. Рядом распределения (вероятностей) дискретной слу-
чайной величины называется таблица, состоящая из двух строк: в первой строке перечислены все возможные значения случайной величины, а во второй пе-
речислены соответствующие им вероятности pi = P(X = xi) того, что случайная
величина X примет значение xi:
1
1
in
in
X x x x
P p p p
При этом сумма элементов второй строки должна равняться 1, т.е. долж-
но выполняться равенство:
12
... ... 1
n
p p p+ + + + =
.
Дискретную случайную величину X можно задать графически полигоном
(многоугольником) распределения — ломаной линией, проходящей через
точки с координатами (xk; pk).
Функцию распределения дискретной случайной величины можно опреде-
лить следующим образом:
( )
k
k
xx
F x p
=
. (5.4)
Пример 5.1. Производится один опыт, в результате которого может про-
изойти событие A с вероятностью p.
86
Рассмотрим случайную величину:
1, если событие произошло;
0, если событие не произошло.
A
X
A
=
Для случайной величины X построить ряд распределения и найти ее
функцию распределения.
Решение. Очевидно, что ряд распределения имеет вид:
01
1
X
P p p−
где q = 1 – p.
Используя соотношение (5.4), найдем функцию распределения случайной
величины X.
Пусть x ≤ 0. В этом случае событие {X < x} является невозможным, так
как случайная величина X не принимает значений меньших 0. Отсюда получается:
( )
0
i
i
xx
F x p
==
.
Пусть 0 < x ≤ 1. В этом случае событие {X < x} совпадает с событием
{X = 0}, следовательно:
( ) ( )
0 1 .
i
i
xx
F x p P X p
= = = = −
Пусть x > 1. В этом случае событие {X < x} является достоверным, следовательно:
( ) ( ) ( )
0 1 1 1
i
i
xx
F x p P X P X p p
= = = + = = − + =
.
Таким образом, функция распределения примет вид:
( )
0, 0;
1 , 0 1;
1 1.
x
F x p x
x
= −
87
Как видим, функция распределения дискретной случайной величины является разрывной. При этом она является «непрерывной слева» так как при
подходе к точке разрыва слева функция F(x) сохраняет значение.
Пример 5.2. Для случайной величины X, равной числу выпавших «гер-
бов» при подбрасывании четырех монет, найти функцию распределения.
Решение. Обозначим: 1 — появление «герба», 0 — появление «решки».
В этом случае пространство элементарных событий имеет вид:
№ 1 2 3 4 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 3 0 0 1
0
4 0 0 1 1 5 0 1 0
0
6 0 1 0 1 7 0 1 1 0 8 0 1 1 1
9 1 0 0 0
10 1 0 0 1
11 1 0 1 0
12 1 0 1 1
13 1 1 0 0
14 1 1 0 1
15 1 1 1 0
16 1 1 1 1
Тогда, используя классическое определение вероятности, получается:
( )
1
0
16
PX==
;
( )
41
1
16 4
PX= = =
;
( )
63
2
16 8
PX= = =
;
88
( )
41
3
16 4
PX= = =
;
( )
1
4
16
PX==
.
Таким образом, для случайной величины X — число выпавших «гербов»
при подбрасывании трех монет, ряд распределения принимает следующий вид:
0 1 2 3 4
1 16 1 4 3 8 1 4 1 16
X
P
Найдем функцию распределения.
При x ≤ 0, имеем:
( ) ( )
0F x P X x= =
.
При 0 < x ≤ 1 получаем:
( ) ( ) ( )
0 1 16F x P X x P X= = = =
.
При 1 < x ≤ 2 получаем:
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1 16 1 4 5 16F x P X x P X P X= = = + = = + =
.
При 2 < x ≤ 3 получаем:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2
1 16 1 4 3 8 11 16.
F x P X x P X P X P X= = = + = + = =
= + + =
При 3 < x ≤ 4 получаем:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 3
1 16 1 4 3 8 1 4 15 16.
F x P X x P X P X P X P X= = = + = + = + = =
= + + + =
89
При x > 4 получаем:
0 1 2 3 4
1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 1.
F x P X P X P X P X P X= = + = + = + = + = =
= + + + + =
Таким образом, функция распределения примет вид:
( )
0, 0;
1 16, 0 1;
5 16, 1 2;
11 16, 2 3;
11 16, 3 4;
1 4.
x
x
x
Fx
x
x
x
=
•
Рассмотрим основные распределения дискретных случайных величин.
Определение. Случайная величина X имеет вырожденное распределе-
ние, сосредоточенное в точке x0, если:
( )
0
1P X x==
.
Вырожденное распределение описывает неслучайные величины.
Определение. Случайная величина X имеет распределение Бернулли с
параметром p (0 < p < 1), если:
( )
1Xp
==
,
( )
01Xp
= = −
. (5.5)
Распределением Бернулли описывается число успехов при одном испы-
тании.
Определение. Случайная величина X распределена по биномиальному
закону с параметрами (n, p), если:
( ) ( )
1
nm
mm
n
P X m C p p
−
= = −
, (5.6)
где m = 0, 1, …, n, 0 < p < 1, n ≥ 1.
90
Функция распределения F(x) имеет вид ступенчатой функции с разрыва-
ми в точках x = 0, 1, …, n, причем величина скачка в точке x = k равна вероятно-
сти
( ) ( )
1
nk
kk
n
P X k C p p
−
= = −
.
Значения выражения (5.6) можно определить, используя функцию БИНОМ.РАСП из Excel, в которой аргумент «Интегральная» должен равняться 0
(см. 4.1).
Биномиальное распределение является моделью случайных эксперимен-
тов, состоящих из n независимых однородных испытаний Бернулли: если
X1, X2, …, Xn независимые случайные величины, распределенные по закону
Бернулли с параметром p, то случайных величина
=
=
n
k
k
XX
1
имеет биноминаль-
ное распределение с параметрами (n, p).
Определение. Случайная величина X распределена по закону Пуассона
с параметром λ (λ > 0), если:
( )
!
m
m
P X m e
m
−
==
, (5.7)
где m = 0, 1, 2, …
Значения выражения (5.7) можно определить, используя функцию
ПУАССОН.РАСП из Excel, в которой аргумент «Интегральная» должен равняться 0 (см. 4.2).
Распределение Пуассона является приемлемой моделью для описания
случайного числа появлений определенных событий в фиксированном проме-
жутке времени, в фиксированной области пространства.
Распределение Пуассона является приемлемой моделью для описания
случайного числа появлений определенных событий в фиксированном проме-
жутке времени, в фиксированной области пространства.
Пусть λ — интенсивность потока, т.е. среднее число событий, происхо-
дящих в единицу времени. Если постоянная интенсивность потока λ известна,
то вероятность появления k событий за время t задается формулой:
( )
( )
!
k
t
te
P X k
k
−
==
. (5.8)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]