Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Примеры и задачи с использованием Excel. Учебное пособие
.pdf
21
Определение. Сочетанием из n элементов по m называется любой неупо-
рядоченный набор, содержащий m элементов, выбранных из общей совокупно-
сти в n элементов.
Теорема. Число сочетаний из n различных элементов по m вычисляется
по формуле:
( )
!
!!
m
n
n
С
m n m
=
−
. (2.3)
Доказательство. Число сочетаний отличается от числа размещений
только тем, что входящие в него элементы неупорядочены; m различных элементов можно упорядочить m! способами. Следовательно, каждому размещению соответствует m! сочетаний. Отсюда:
!
mm
nn
A Сm=
или
( )
!
! ! !
m
m
n
n
An
С
m n m m
==
−
.
Замечание. Число сочетаний
m
n
С
можно найти с помощью Excel, исполь-
зуя функцию ЧИСЛКОМБ (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Число сочетаний
2
6
C
Определение. Числа
m
n
С
называются биномиальными коэффициен-
тами.
22
Эти коэффициенты обладают следующими свойствами:
1) свойство симметрии —
m n m
nn
СС
−
=
;
2) свойство Паскаля —
1
11
m m m
n n n
С С С
−
−−
=+
;
3) свойство суммы —
01
... 2
nn
n n n
С С С+ + + =
.
2.2.4. Перестановки, размещения и сочетания с повторениями
Рассмотрим выборку с возвращением. В этом случае каждый взятый элемент из генеральной совокупности возвращается обратно. В этом случае получаем, что каждый раз мы выбираем элемент из генеральной (исходной) сово-
купности. Таким образом, один и тот же элемент может быть выбран несколько раз.
Определение. Если при случайном выборе m элементов из n элементы
возвращаются обратно и упорядочиваются, то это размещения с повторе-
ниями.
Число всех размещений из n элементов по m с повторениями обозначает-
ся символом
m
n
A
.
Теорема. Число всех размещений из n элементов по m с повторениями
вычисляется по формуле:
mm
n
An=
. (2.4)
Первый элемент может быть выбран n способами, второй также n способами и т.д. В итоге получаем:
mm
n
m
A n n n n= =
.
Замечание. Число размещений с повторениями
m
n
A
можно найти с помо-
щью Excel, используя функцию ПЕРЕСТА (рис. 2.4).
Определение. Пусть в множестве с n элементами есть k различных эле-
ментов, при этом 1-й элемент встречается n1 раз, 2-й элемент встречается
n2 раз, …, k-й элемент встречается nk раз, причем n1 + n2 + … + nk = n. Переста-
новки из n элементов данного множества называются перестановками с по-
вторениями из n элементов.
23
Число перестановок с повторениями из n элементов обозначается символом Pn(n1, n2, …, nk).
Рис. 2.4. Число размещений с повторениями
2
5
A
Теорема. Число перестановок с повторениями из n элементов вычисляет-
ся по формуле:
( )
12
12
!
, ,...,
! ! ... !
nk
k
n
P n n n
n n n
=
. (2.5)
Допустим, что 1 встречается n1 раз, 2 встречается n2 раз, 3 встречается
n3 раз …, k встречается nk раз, причем n1 + n2 + … + nk = n.
Одна из последовательностей имеет вид:
1 2 3
1 1 12 2 2 3 3 3 ...
k
n n n n
k k k
.
Следовательно, можно поступить следующим образом: сначала необходимо выбрать n1 элементов (единиц) из n; из оставшихся n – n1 необходимо выбрать n2 элементов (двоек) и т.д. Получаем:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
21
12
1 2 2 2 1 1
1 2 ... ...
1 2 2 2 1 1
1 2 2 3 2 1 1
, ,..., ...
... ! ... ! ! !
... .
! ... ! ! ... ! ! ! ! !
kk
k k k k k k k
nn
nn
n k n n n n n n n n n n
k k k k k k k
k k k k k k k
P n n n C C C C
n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n
−−
− − −
+ + + + + + + +
− − −
− − −
= =
+ + + + + + + +
=
+ + + + +
24
Произведя сокращения, получим:
( )
( )
12
12
1 2 1 2
... !
!
, ,...,
! ! ... ! ! ! ... !
k
nk
kk
n n n
n
P n n n
n n n n n n
+ + +
==
.
Пример 2.4. Сколько существует шестизначных десятичных чисел,
в каждом из которых три цифры 4 и три цифры 5?
Решение. Здесь n1 = 3, n3 = 3 и n = n1 + n2 = 6. Искомое число шестизначных десятичных чисел, в каждом из которых три цифры 4 и три цифры 5:
( )
6
6! 4 5 6
20
3!3
3,
23
3
!
P
= = =
.
Определение. Если при случайном выборе m элементов из n элементы
возвращаются обратно без последующего упорядочивания (т.е. каждый из
m элементов может встретиться 0, 1, … или n раз в любом сочетании), то это
сочетания с повторениями.
Число всех сочетаний из n элементов по m с повторениями обозначается
символом
m
n
C
.
Нахождение числа сочетаний с повторениями поясним на следующем
примере.
Пример 2.5. В три ящика необходимо разложить 5 одинаковых шаров.
Сколькими способами это можно сделать.
Решение. Применим следующую схему: будем считать количество последовательностей из 0 и 1, в которой 1 означает шар, 0 — ящик. Например,
следующие последовательности:
1) 1101101 — в первом и втором ящиках по 2 шара, в третьем ящике
один шар;
2) 1111100 — в первом ящике 5 шара, во втором и третьем ящиках ша-
ров нет;
3) 0111011 — первый ящик пуст, во втором ящике 3 шара, в третьем ящи-
ке 2 шара.
Поясним: количество 1 перед первым 0 указывает сколько шаров попало
в первый ящик; количество 1 между первым и вторым 0 указывает сколько ша-
ров попало во второй ящик; количество 1 после второго 0 указывает сколько
шаров попало в третий ящик.
25
Таким образом, число способов, для того чтобы разложить 5 шаров по
3 ящикам равна числу всех возможных последовательностей из 5 единиц
и 2 нулей, т.е.
5 2 5
3 7 7
7! 6 7
21
2! 5! 2
C СС
= = = = =
.
Теорема. Число всех сочетаний из n элементов по m с повторениями вы-
числяется по формуле:
1
11
m m n
n n m n m
C C C
−
+ − + −
==
. (2.6)
Доказательство. Достаточно повторить рассуждения, приведенные
в предыдущем примере.
Заметим, что в числе n + m – 1 единица вычиталась по той причине, что
число нулей на 1 меньше, чем число n.
Замечание. Число сочетаний с повторениями
m
n
C
можно найти с помо-
щью Excel, используя функцию ЧИСЛКОМБА (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Число сочетаний с повторениями
3
5
C
Пример 2.6. Имеющиеся n шаров распределяются по k ящикам. Найти
вероятность того, что в первом ящике окажется ровно n1 шаров, во втором —
ровно n1 шаров и т.д., в k-м — ровно nk шаров, n1 + n2 +… + nk = n.
Решение. Число всевозможных исходов — каждый из n шаров может
распределиться в любой из k ящиков — kn.
26
Число благоприятных исходов рассчитывается следующим образом. Сна-
чала из n шаров выбирается n1 шаров, затем из оставшихся n – n1 шаров выбирается n2 шаров, после этого из оставшихся n – n1 – n2 выбирается n3 шаров
и т.д.:
( )
( )
( )
( )
31
12
1 1 2 1 2 2
...
1 2 2
1
1 1 2 1 2 1 1 2
...
... !
!
!!
... .
! ! ! ! ! ! ! ! ... !
k
k
nn
nn
n n n n n n n n n n
k
k k k
C C C C
n n n n
nn
nn
n n n n n n n n n n n n
−
−
− − − − − − −
−
−
=
− − − −
−
= =
− − −
Таким образом, используя классическое определение вероятности, получаем:
12
!
! ! ... !
n
k
n
p
nnk n
=
.
2.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Пусть теперь рассматривается непрерывная вероятностная схема, т.е.
пространство элементарных исходов представляет собой некоторую ограни-
ченную область (отрезок, круг, шар и т.д.) k-мерного пространства (прямой,
плоскости, трехмерного пространства и т.д.).
Пусть Ω — некоторая область, имеющая меру mes (Ω) (длину, площадь,
объем и т.д.) такую, что 0 < mes (Ω) < ∞. Пусть внутри области Ω находится область A.
Определение. Геометрической вероятностью называют отношение меры области A к мере области Ω:
( )
( )
( )
mes A
PA
mes
=
. (2.7)
В качестве меры, как правило выбирают:
– на прямой — длину;
– на плоскости — площадь;
– в пространстве — объем.
27
Пример 2.7. (Задача о встрече.) Двое друзей договорились встретиться
в определенном месте между десятью и одиннадцатью часами. Пришедший
первый ждет другого в течение 15 мин, после чего уходит. Найти вероятность
того, что друзья встретятся.
Решение. Обозначим момент прихода одного из друзей через x, а момент
прихода другого друга через y. На плоскости; в качестве единицы масштаба
выберем минуту. Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60. Для того, чтобы встреча произошла необходимо и достаточно, что-
бы выполнялось неравенство |x – y| ≤ 15.
Исходы, благоприятствующие встрече, изображены в выделенной области (рис. 2.6).
Рис. 2.6. Задача о встрече
Искомая вероятность равна отношению площади выделенной области
к площади всего квадрата:
2
22
2
60 45 45 7
1
60 60 16
p
−
= = − =
.
Пример 2.8. В квадрат со стороной 2 вписана окружность. В квадрат слу-
чайным образом брошена точка. Определите вероятность того, что точка окажется внутри окружности.
Решение. Применим геометрическое определение вероятности, согласно
которому (на плоскости), вероятность попадания точки в окружность, вписан-
28
ной в квадрат, равна отношению площади окружности, вписанной в квадрат,
к площади этого квадрата:
22
22
1
24
o
SR
p
Sa
= = = =
.
2.4. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ
Пример 1. Игральный кубик бросается два раза. Найти вероятности того,
что сумма выпавших очков более восьми.
Решение. Составим вспомогательную таблицу:
1-й бросок
2-й бросок
1 2 3 4 5 6 1
2 3 4 5 6 7 2
3 4 5 6 7 8 3
4 5 6 7 8 9 4
5 6 7 8 9
10
5
6 7 8 9 10
11
6
7 8 9
10
11
12
Число всевозможных исходов — n = 36.
Число благоприятных исходов (выделенные ячейки) — m = 10.
Таким образом, используя классическое определение вероятности, получаем:
10 5
36 18
m
pn= = =
.
Пример 2. Игральный кубик бросается два раза. Найти вероятности того,
что оба раза появится одинаковое число очков.
Решение. Решим этот пример двумя способами.
1 способ. Число всевозможных исходов — n = 36.
Благоприятными являются следующие исходы: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4),
(5; 5) и (6; 6).
29
Таким образом, число благоприятных исходов — m = 6.
Используя классическое определение вероятности, получаем:
61
36 6
m
p
n
= = =
.
2 способ. Искомая вероятность равна вероятности того, что при втором
броске выпадет тоже число очков, которое выпало при первом броске. В этом
случае: число всевозможных исходов — n = 6; число благоприятных исходов —
m = 1; искомая вероятность — p = m / n = 1 / 6.
Пример 3. Монету подбрасывают 3 раза. Найти вероятность выпадения
ровно двух «гербов».
Решение. Найдем число всевозможных исходов. Для этого поступим сле-
дующим образом: если выпал «орел», то записываем 1, если выпала «решка»,
то записываем 0. Всевозможные исходы можно записать в виде следующей
таблицы:
1 2 3
0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 1 1 1 0 0 1 0 1
1 1 0 1 1
1
Очевидно, что число всевозможных исходов — т = 8.
Число благоприятных исходов равно числу строк, содержащих ровно
две 1, т.е. m = 3.
Таким образом, используя классическое определение вероятности, получаем:
3
8
m
pn==
.
30
Пример 4. Из колоды карт (36 листов) случайным образом берут 6 карт.
Найти вероятность того, что:
а) все эти карты будут одной масти (событие A);
б) среди них 5 карт одной масти (событие B).
Решение. Вероятности каждого событий найдем двумя способами: учитывая порядок карт и не учитывая порядок карт:
а) вероятность того, что все эти карты будут одной масти (событие A).
1 способ. В первом решении будем предполагать, что 6 карт взяли одновременно, т.е. порядок карт не учитывается.
Число всех возможных исходов (число способов выбрать 6 карт из
36 возможных) определяем с помощью сочетаний:
6
36
36! 31 32 33 34 35 36
1947792
30! 6! 2 3 4 5 6
nC
= = = =
.
Для вычисления числа сочетаний
6
36
C
можно воспользоваться функцией
ЧИСЛКОМБ:
( )
ЧИСЛКОМБ 36 194 9; 26 77==
.
Число благоприятных исходов (выбираем одну из четырех мастей, затем
из 9 карт данной масти выбираем 6 карт):
6
9
9! 7 8 9
4 4 4 336
6! 3! 2 3
mC
= = = =
.
Используя классическое определение вероятности, получаем:
6
9
6
36
4 336
0,000173
1947792
mC
p
nC
= = = =
.
2 способ. Во втором решении выбор карт будем производить последовательно. Тогда число всех возможных исходов определяем с помощью размещений:
6
36
36!
31 32 33 34 35 36 140210240
30! 6!
nA= = = =
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]